Асферическое пространство

Асферическое пространство — топологическое пространство в котором все гомотопические группы $\pi _{n}(X)$ кроме $n=1$ тривиальны. Для симплектических многообразий значение термина немного отличается; смотри симплектически асферическое многообразие.

Если конечномерный CW-комплекс асферичен, то его фундаментальная группа не имеет кручения.

Каждое асферическое пространство $X$ по определению является K(G,1) пространством, где $G=\pi _{1}(X)$ является фундаментальной группой $X$ . Кроме того, оно является классифицирующим пространством для группы $G$ , рассматриваемой как топологическая группа с дискретной топологией.

Пусть $X$ $X$ асферическое пространство и $K$ $K$ — связный CW-комплекс.
- Любое непрерывное отображение из 2-мерного остова $K$ в $X$ может быть продолжено до непрерывного отображения, определённого на всём $K$ .
- Для любого гомоморфизма фундаментальных групп $h\colon \pi _{1}K\to \pi _{1}X$ существует непрерывное отображение $\varphi \colon K\to X$ , которое индуцирует $h$ . Более того, $\varphi$ единственно с точностью до гомотопии.

Все компактные поверхности кроме сферы и проективной плоскости являются асферическими.
Тор любой размерности асферичен.
Любое гиперболическое многообразие асферично.
Болле того, метрические пространства с неположительной кривизной в смысле Александрова (то есть, локально CAT(0) пространства) асферичны. В случае римановых многообразий это следует из теоремы Картана — Адамара.
Дополнение узла в $\mathbb {S} ^{3}$ является асферическим по теореме о сфере
Любое нильмногообразие асферично.
Бесконечномерное линзовое пространство $\mathbb {S} ^{\infty }/\mathbb {Z} _{p}$ асферично.

Свойства