Группа крашеных кос

Как и группа кос, группа крашеных кос допускает ряд различных воплощений, которые приводят к изоморфным группам. Ниже представлены основные такие воплощения, рассматриваемые в литературе.

Классическое определение группы крашеных кос основано на их умножении. Произведение ${\displaystyle \alpha \beta }$ двух крашеных кос ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ с одинаковым числом нитей является крашеной косой, тривиальная коса является крашеной, а обратная коса к крашеной является крашеной. В связи с этим множество ${\displaystyle P_{n}}$ всех крашеных кос из ${\displaystyle n}$ нитей, рассматриваемое вместе с операцией умножения, является группой, которая называется группой крашеных кос^[1][2].

Группа крашеных кос изоморфна фундаментальной группе конфигурационного пространства ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}$ упорядоченных наборов ${\displaystyle n}$ различных точек евклидовой плоскости^[1][3]:

${\displaystyle P_{n}\cong \pi _{1}(\operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2}))}$.

Группа крашеных кос изоморфна группе крашеных сплетающих автоморфизмов свободной группы.

Группа крашеных кос изоморфна крашеной группе классов отображений замкнутого диска с ${\displaystyle n}$ проколами^[4][5]:

${\displaystyle P_{n}\cong {\rm {PMCG}}(D_{n}^{2};\partial D_{n}^{2})}$.

Группа крашеных кос является конечно представленной. Простейшее её задание выглядит следующим образом.

Для таких ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$, что ${\displaystyle 1\leq i<j\leq n}$, пусть

${\displaystyle A_{i,j}:=\sigma _{j-1}\sigma _{j-2}\ldots \sigma _{i+1}\sigma _{i}^{2}\sigma _{i+1}^{-1}\ldots \sigma _{j-2}^{-1}\sigma _{j-1}^{-1}}$.

Данные ${\displaystyle n(n-1)/2}$ кос порождают группу крашеных кос ${\displaystyle P_{n}}$^[1][6]. Они называются стандартными образующими или образующими Маркова^[7].

В этих образующих группа крашеных кос может быть задана следующими соотношениями^[6]:

${\displaystyle A_{r,s}^{-1}A_{i,j}A_{r,s}={\begin{cases}A_{r,s}^{-1}A_{i,j}A_{r,s},&s<i\ {\text{ или }}\ i<r<s<j;\\A_{r,j}A_{i,j}A_{r,j}^{-1},&s=i;\\A_{r,j}A_{s,j}A_{i,j}A_{s,j}^{-1}A_{r,j}^{-1},&i=r<s<j,\\{\text{[}}A_{r,j},A_{s,j}{\text{]}}A_{i,j}{\text{[}}A_{r,j},A_{s,j}{\text{]}}^{-1},&r<i<s<j,\end{cases}}}$

где ${\displaystyle [x,y]=xyx^{-1}y^{-1}}$ — коммутатор элементов ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$.