Транспозиция (математика)

Транспозицией конечного множества ${\displaystyle X=\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}}$ называется такая его перестановка ${\displaystyle f}$, то есть биекция из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle X}$, что существуют такие индексы ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$, что ${\displaystyle f(a_{i})=a_{j}}$, ${\displaystyle f(a_{j})=a_{i}}$ и ${\displaystyle f(a_{k})=a_{k}}$ для всех остальных индексов ${\displaystyle k.}$ Транспозиция называется элементарной, если индексы ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ — соседние.

Транспозиция является частным случаем циклической перестановки и часто обозначается символом ${\displaystyle (a_{i},a_{j})}$ или ${\displaystyle (a_{j},a_{i})}$.

Перестановка ${\displaystyle f}$ множества ${\displaystyle X=\{a,b,c,d,e\}}$, заданная правилом

${\displaystyle f(a)=a,\ f(b)=e,\ f(c)=c,\ f(d)=d,\ f(e)=b,}$

является транспозицией и записывается символом ${\displaystyle (b,e)}$.

Любая перестановка конечного множества может быть представлена в виде композиции элементарных транспозиций.

Знак перестановки может быть вычислен из разложения перестановки в произведение транспозиций: ${\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma )=(-1)^{m}}$, где ${\displaystyle m}$ — число транспозиций в разложении.