АссистентНовый вопросИсторияОбласти знаний
Партнёрские проектыСпецпроектыСтать автором
Сменить язык
О РУВИКИ
ТехнологииДанные, аналитика и ИИХранение и обработка данныхВременной ряд

Временной ряд

ИИ-обзор статьи
Временной ряд — это последовательность точек данных, упорядоченных в хронологическом порядке, используемая для анализа статистических закономерностей и прогнозирования будущих значений в различных областях науки и техники.
Классификация методов анализа
Методы анализа временных рядов делятся на частотную (спектральный, вейвлет-анализ) и временную области (автокорреляция, кросс-корреляция). Также выделяют параметрические подходы, оценивающие параметры модели, и непараметрические, оценивающие ковариацию или спектр без структурных предположений.
Отличие временного ряда от панельных данных
Временной ряд — одномерная панель, где уникальность определяется только временным полем. Панельные данные требуют дополнительного идентификатора, срезовые — только невременного.
Методы и инструменты прогнозирования
Прогнозирование временных рядов включает статистические модели для стохастического моделирования и оценки будущих значений. Для реализации применяются программные средства: Julia, Python, R, SAS, SPSS, а для масштабных рядов — Apache Spark и библиотека Spark-TS.
Основные классы моделей временных рядов
Классические модели включают авторегрессию (AR), скользящее среднее (MA) и их комбинации, такие как ARMA и ARIMA. Обобщением служит ARFIMA, а модель с переменными коэффициентами (TVAR) допускает эволюцию параметров. Мультивариантные расширения (VAR, VARMA) применяются для векторных данных, при наличии экзогенных рядов добавляется суффикс X (например, ARMAX).
Типы графиков временных рядов
Визуализация временных рядов включает наложенные графики (все ряды на одном поле) и раздельные графики (каждый ряд отдельно на одной временной оси).

Экспертиза РАН

Logo-ran-black.png
Проведена экспертиза
Российской академией наук
Подробнее
Aprove.svg

Экспертиза РАН

Arrow-Right.png
Logo-ran.png
Проведена экспертиза
Российской академией наук
Подробнее

англ. Time series (времено́й ряд) — это последовательность точек данных, проиндексированных (или перечисленных, или отображённых на графике) в хронологическом порядке. Наиболее часто временной ряд представляет собой последовательность, полученную в последовательные равноотстоящие моменты времени, то есть это последовательность дискретных данных. Примеры временных рядов включают высоты океанских приливов, количество солнечных пятен, а также ежедневное значение закрытия промышленного индекса Доу — Джонса.

Временные ряды часто изображаются с помощью графика изменений (также называемого временным линейным графиком). Временные ряды применяются в статистике, обработке сигналов, распознавании образов, эконометрике, математических финансах, прогнозировании погоды, предсказании землетрясений, электроэнцефалографии, системах управления, астрономии, инженерии связи, а также практически во всех областях прикладных наук и инженерии, в которых выполняются временные измерения.

Анализ временных рядов — это совокупность методов анализа данных временных рядов с целью выявления значимых статистических характеристик и других особенностей данных. Прогнозирование временных рядов заключается в использовании модели для предсказания будущих значений на основе ранее наблюдаемых данных. В большинстве случаев данные временных рядов моделируются посредством стохастических процессов. Хотя регрессионный анализ часто используется для поиска связей между двумя или более различными временными рядами, термин «анализ временных рядов» используется, как правило, для анализа взаимосвязей между отдельными временными точками внутри одного ряда.

Данные временных рядов имеют естественную временную упорядоченность, что отличает анализ временных рядов от панельных исследований без естественного порядка наблюдений (например, объяснение заработной платы людей через уровень их образования, когда данные респондентов можно ввести в любом порядке). Кроме того, анализ временных рядов отличается от пространственного анализа, где наблюдения обычно соответствуют географическим координатам (например, цены на жильё в зависимости от расположения). Стохастическая модель для временного ряда, как правило, отражает тот факт, что наблюдения, близкие по времени, более коррелированы, чем удалённые. Также во временных рядах используется естественное направленное течение времени: значения за определённый период считаются производными из прошлых значений, а не будущих (см. обратимость во времени).

Анализ временных рядов применим как к вещественным, непрерывным данным, так и к дискретным числовым, либо к дискретным символьным данным (например, последовательностям символов — букв и слов в английском языке[1]).

Методы анализа

Методы анализа временных рядов делятся на два класса: методы частотной области и временной области. К первым относятся спектральный анализ и вейвлет-анализ; ко вторым — анализ автокорреляции и кросс-корреляции. Во временной области корреляционный анализ может выполняться с помощью масштабированной корреляции, уменьшая необходимость перехода к частотному представлению.

Также техники анализа временных рядов можно разделить на параметрические и непараметрические методы. Параметрические подходы исходят из предположения, что #стационарный стохастический процесс описывается небольшой совокупностью параметров (например, авторегрессионной или моделью скользящего среднего). Задача таких подходов — оценить параметры модели, описывающей процесс. Непараметрические методы, напротив, непосредственно оценивают ковариацию или спектр процесса без предположения структурной формы.

Методы анализа также классифицируются как линейные и нелинейные, а также унитивариантные и мультвариантные.

Панельные данные

Временной ряд — частный случай панельных данных. Панельные данные — более широкое понятие, означающее многомерный набор данных, в то время как временной ряд — одномерная панель, как и срезовые данные. Отличие определяется тем, что делает запись уникальной: если это только временное поле, значит, перед нами временной ряд; если требуется дополнительный идентификатор (например, номер студента, код страны, тикер акции), то речь о панельных данных; если уникальность обусловлена только не-временным идентификатором, то это срезовые данные.

Анализ

Существует несколько типов задач и методов анализа временных рядов, подходящих для различных целей.

Мотивация и задачи

В статистике, эконометрике, количественных финансах, сейсмологии, метеорологии, геофизике главная задача анализа временных рядов — прогнозирование. В обработке сигналов, автоматике и инженерии связи — обнаружение сигналов. Кроме того, анализ временных рядов применяется в добыче данных, распознавании образов, машинном обучении — для кластеризации[2],[3][4] классификации[5], поиску по содержимому[6], выявлению аномалий и прогнозированию[7].

Исследовательский анализ

undefined

Простейшим подходом к изучению регулярных временных рядов является визуальный — при помощи линейного графика. На таком графике обычно отображаются, например, данные по смертности от туберкулёза в США[8], годовые изменения и относительные изменения по годам. Суммарная смертность снижалась каждый год до середины 1980-х, после чего иногда наблюдались незначительные (в относительном выражении значительные, но не абсолютные) увеличения.

Исследование аналитиков показало две основные проблемы исследовательского анализа временных рядов: выявление формы интересных закономерностей и объяснение этих закономерностей[9]. Визуальные инструменты, представляющие данные временного ряда в виде тепловых матриц, помогают преодолеть эти сложности.

Оценивание, фильтрация и сглаживание

Этот подход основывается на гармоническом анализе и фильтрации сигналов в частотной области с помощью преобразования Фурье, оценивания спектральной плотности. Значительный вклад в методы военного времени внесли математики Норберт Винер, инженеры Рудольф Калман, Деннис Габор и другие — для фильтрации сигналов от шума и прогнозирования значений сигнала.

Эквивалентные методы могут применяться во временной области (например, калмановский фильтр; см. фильтрация (обработка сигналов) и сглаживание).

Другие методы:

  • Анализ автокорреляции для исследования сериальной зависимости
  • спектральный анализ для поиска циклических явлений, не связанных с сезонностью (например, 11-летний цикл солнечной активности)[10][11]
  • Декомпозиция на компоненты: тренд, сезонность, медленные и быстрые изменения, циклы и нерегулярности (см. оценка тренда, декомпозиция временного ряда)

Аппроксимация кривой

Аппроксимация кривой[12][13] — построение кривой или функции, наиболее точно отражающей изменчивость данных[14], иногда под ограничениями[15].[16] Аппроксимация включает интерполяцию (точное восстановление значений между точками)[17][18] и сглаживание — построение сглаженной функции[19].[20] Смежная задача — регрессионный анализ[21], которому больше интересны вопросы статистического вывода (например, степень неопределённости кривой, аппроксимирующей наблюдаемые шумные данные). Аппроксимирующие кривые используются как для визуализации данных[22], так и для оценки значений функции при отсутствии данных[23], а также суммирования взаимосвязей между несколькими переменными[24]. Экстраполяция — использование кривой вне диапазона наблюдаемых данных[25] — сопряжена с неопределённостью и может отражать скорее специфику метода, чем свойства самих данных[26].

Экстраполяция — оценка значений переменной за пределами исходного диапазона наблюдений. Она, в отличие от интерполяции, сопряжена с большей неопределённостью и риском получения неверных результатов.

Аппроксимация функции

Как правило, задача аппроксимации функции состоит в выборе функции из определённого класса, максимально близко воспроизводящей целевую функцию. Выделяют две основные группы задач: 1) когда целевая функция известна (теория аппроксимации), и 2) когда функция не задана явно, а дана совокупность точек (временной ряд). В последнем случае применяются методы интерполяции, экстраполяции, регрессии, аппроксимации кривой. Если значения лежат в конечном множестве, задача сводится к классификации. Для временных рядов важно также построение аппроксимации данных "на лету" (в режиме онлайн), чтобы поддерживать запросы к временным рядам с гарантированными оценками ошибки[27].

Во многих случаях задачи регрессии, классификации, аппроксимация пригодности объединяются в статистической теории обучения как задачи обучения с учителем.

Прогнозирование

В статистике прогнозирование рассматривается как часть статистического вывода. Прогнозирование временных рядов — передача знаний о части совокупности на всю совокупность или на другие, часто будущие, моменты времени. Методы включают:

  • Полные статистические модели для стохастического моделирования и генерации альтернативных траекторий ряда
  • Простые и сложные модели для оценки вероятного значения ряда в ближайшем будущем (прогноз)
  • Прогнозирование обычно реализуется с помощью статистических/программных средств (Julia, Python, R, SAS, SPSS и др.)
  • Для масштабных временных рядов используются, например, Apache Spark и библиотека Spark-TS[28]

Классификация

Отнесение паттерна временного ряда к одной из категорий, например, распознавание слова по ряду движений рук (язык жестов).

Сегментация

Разделение временного ряда на последовательность сегментов, каждый с характерными свойствами. Например, звуковой сигнал конференции можно разметить по участникам. Цель — выявить границы сегментов и описать динамические свойства каждого сегмента (используются методы обнаружения изменений, марковские модели с прыжками и др.).

Кластеризация

Временные ряды можно кластеризовать, однако при анализе подпоследовательностей требуется особая осторожность[29].[4] Выделяют:

  • кластеризацию целых временных рядов (несколько рядов — найти кластеры),
  • кластеризацию подпоследовательностей (один ряд, разбиение на окна),
  • кластеризацию временных точек.

Кластеризация подпоследовательностей

Кластеризация подпоследовательностей часто даёт случайные кластеры, обусловленные особенностями извлечения признаков при разбивке окон[30]. Было показано, что центры кластеров (усреднённые ряды) сводятся к синусоидальным паттернам, не содержащим информации о структуре исходных данных.

Модели

Классические модели (AR, ARMA, ARIMA и их вариации)

Модели временных рядов могут принимать разные формы, описывая различные стохастические процессы. Классическими считаются авторегрессионная модель (AR), интегрированная (I) и модель скользящего среднего (MA) — все они линейно зависят от предыдущих точек[31]. Их комбинации: ARMA, ARIMA, а обобщением служит ARFIMA. К важным модификациям относится модель с переменными во времени коэффициентами (TVAR), допускающая эволюцию динамики системы. Мультивариантные расширения (VAR, VARMA, VARIMA и др.) применяются для векторных данных; если присутствует экзогенный ряд — к аббревиатуре добавляют X (напр., ARMAX).

Модели с переменными во времени коэффициентами (TVAR)

Модели TVAR (time-varying autoregressive) полезны при анализе нестационарных временных рядов, чьи динамические свойства со временем меняются сложным образом (не обязательно по классическим паттернам тренда или сезонности). Здесь коэффициенты авторегрессии зависят от времени (задаются базисами), что позволяет моделировать структурные сдвиги, режимные переходы, эволюции динамики. Подходы распространены в обработке сигналов[32][33], экономике[34], финансах[35], мониторинге надежности[36][37][38], телекоммуникациях[39][40], нейронауках[41], науках о климате[42], гидрологии[43]. Оценка параметров TVAR осуществляется методами сглаживания ядрами[44], рекурсивного метода наименьших квадратов[45], калмановской фильтрации[46].

Нелинейные модели

Нелинейная зависимость значения ряда от предыдущих данных важна для описания, в частности, хаотических временных рядов. Иногда предсказания по нелинейным моделям оказываются существенно лучше, чем по линейным (например, нелинейная модель авторегрессии с экзогенными переменными). Подробно вопрос рассматривается у Канца и Шрайбера[47], Абарбанеля[48].

К другим типам нелинейных моделей относятся подходы к моделированию изменения дисперсии ряда (гетероскедастичность). Такие модели (ARCH, GARCH, TARCH, EGARCH, FIGARCH, CGARCH и др.) позволяют описывать или предсказывать изменчивость ряда на основе недавних измерений. В альтернативных схемах разброс может рассматриваться как результат дополнительного внутреннего стохастического процесса (двойной стохастический процесс).

Прочие подходы

Современные нефункциональные ("модель-свободные") анализы часто используют различные вейвлет-преобразования и их композиции с нейронными сетями[49]. Мультимасштабные (мультирезолюционные) методы разбивают ряд для выявления зависимостей на разных масштабах (см. марковская мультифрактальная смена режимов для моделирования волатильности).

Скрытая марковская модель — вероятностная модель, в которой анализируется процесс с неявными (скрытыми) состояниями; такой подход широко используется, например, в распознавании речи.

Реализации многих этих моделей представлены в Python-пакете sktime.

Обозначения

Для формального задания временного ряда X, проиндексированного натуральными числами, используется запись:

X = (X₁, X₂, ...)

Другой вариант:

Y = (Y_t : t ∈ T), где T — индексное множество.

Условия

Теория строится, как правило, на двух классах условий:

Эргодичность более сильное условие, чем стационарность. Стационарность бывает строгой и по второму порядку (широком смысле). Модели и приложения разрабатываются в обеих парадигмах.

Анализ временных рядов может проводиться также для сезонно-стационарных и нестационарных рядов. В случае изменяющихся по времени амплитуд спектральных компонент используют временнó-частотный анализ (см. временнó-частотное представление)[50].

Инструменты

Типовые методы анализа данных временных рядов:

Метрики

К числу характеристик временных рядов (для классификации и регрессии) относятся[52]:

  • Унитивариантные линейные характеристики
    • Моменты (математика)
    • Накопленная энергия
    • Автокорреляция
    • Параметры спектра (чайлдовые полосы, HRF)
    • Момент Хьорта
    • Параметры БПФ
    • Параметры авторегрессии
    • Критерий Манна — Кендалла
  • Унитивариантные нелинейные характеристики
    • Характеристики суммы корреляций
    • Кореляционная размерность
    • Корреляционная энтропия
    • Аппроксимативная энтропия[53]
    • Выборочная энтропия
    • Вейвлет-энтропия, энтропия Фурье
    • Энтропия Реньи, дисперсионная энтропия
    • Маргинальная предсказуемость
    • Индекс динамического сходства
    • Дразнители Ляпунова, методы перестановок, локальные потоки
  • Другие одновариантные характеристики
    • Алгоритмическая сложность
    • Оценка сложности по Колмогорову
    • Состояния скрытых марковских моделей
    • Подпись грубого пути[54]
    • Потеря повторяемости, показатели нестационарности
  • Двухвариантные линейные характеристики
    • Максимальная линейная кросс-корреляция
    • Линейная когерентность
  • Двухвариантные нелинейные характеристики
    • Нелинейная взаимозависимость
    • Динамическая синхронизация фаз
    • Меры синхронизации фаз, захвата фаз
  • Меры сходства[55]
    • Кросс-корреляция
    • Dynamic time warping
    • Скрытая марковская модель
    • Редакционное расстояние
    • Полная корреляция
    • Оценка Ньюи — Уэста
    • Преобразование Прайса — Уинстена
    • Метрики в метрических пространствах (расстояния Минковского, Махаланобиса)
    • Метрики стандартного отклонения (глобальные, локальные, скользящие)
    • Интерпретация как стохастический ряд (корреляция Пирсона, ранговая корреляция Спирмена)
    • Интерпретация как функция плотности вероятности (тест Колмогорова — Смирнова, критерий Крамера — фон Мизеса)

Визуализация

Визуализация временных рядов возможна двумя классами графиков:

  • Наложенные графики: все ряды на одном поле (линейный график, перекрёстные графики, slope graph и др.)
  • Раздельные графики: каждый ряд отдельно, но по одной оси времени (horizon graphs, reduced line chart, silhouette graph и др.)[56]

Примечания

  1. ↑ Lin, Jessica. A symbolic representation of time series, with implications for streaming algorithms // Proceedings of the 8th ACM SIGMOD workshop on Research issues in data mining and knowledge discovery / Jessica Lin, Eamonn Keogh, Stefano Lonardi … [и др.]. — New York : ACM Press, 2003. — P. 2–11. — ISBN 978-1-4503-7422-4. — doi:10.1145/882082.882086.
  2. ↑ Warren Liao, T. (November 2005). “Clustering of time series data—a survey”. Pattern Recognition. 38 (11): 1857—1874. Bibcode:2005PatRe..38.1857W. DOI:10.1016/j.patcog.2005.01.025. S2CID 8973749.
  3. ↑ Aghabozorgi, Saeed; Seyed Shirkhorshidi, Ali; Ying Wah, Teh (October 2015). “Time-series clustering – A decade review”. Information Systems. 53: 16—38. DOI:10.1016/j.is.2015.04.007. S2CID 158707.
  4. ↑ 1 2 3 Li, Aimin; Siqi, Xiong; Junhuai, Li (April 2023). “AngClust: Angle Feature-Based Clustering for Short Time Series Gene Expression Profiles”. IEEE/ACM Transactions on Computational Biology and Bioinformatics. 20 (2): 1574—1580. Bibcode:2023ITCBB..20.1574L. DOI:10.1109/TCBB.2022.3192306. PMID 35853049.
  5. ↑ Keogh, Eamonn. On the need for time series data mining benchmarks: A survey and empirical demonstration // Proceedings of the eighth ACM SIGKDD international conference on Knowledge discovery and data mining / Eamonn Keogh, Shruti Kasetty. — 2002. — P. 102–111. — ISBN 1-58113-567-X. — doi:10.1145/775047.775062.
  6. ↑ Agrawal, Rakesh. Efficient similarity search in sequence databases // Foundations of Data Organization and Algorithms / Rakesh Agrawal, Christos Faloutsos, Arun Swami. — 1993. — Vol. 730. — P. 69–84. — ISBN 978-3-540-57301-2. — doi:10.1007/3-540-57301-1_5.
  7. ↑ Chen, Cathy W. S.; Chiu, L. M. (4 September 2021). “Ordinal Time Series Forecasting of the Air Quality Index”. Entropy. 23 (9): 1167. Bibcode:2021Entrp..23.1167C. DOI:10.3390/e23091167. PMC 8469594. PMID 34573792.
  8. ↑ Table 1. Data & Statistics. CDC (27 августа 2024). Дата обращения: 1 июня 2024.
  9. ↑ Sarkar, Advait. Visual discovery and model-driven explanation of time series patterns // 2016 IEEE Symposium on Visual Languages and Human-Centric Computing (VL/HCC) / Advait Sarkar, Martin Spott, Alan F. Blackwell … [и др.]. — 2016. — P. 78–86. — ISBN 978-1-5090-0252-8. — doi:10.1109/vlhcc.2016.7739668.
  10. ↑ Bloomfield, Peter. Fourier Analysis of Time Series: An Introduction. — Wiley, 1976. — ISBN 978-0-471-08256-9.
  11. ↑ Shumway, Robert H. Applied Statistical Time Series Analysis. — Prentice-Hall, 1988. — ISBN 978-0-13-041500-4.
  12. ↑ Arlinghaus, Sandra. Practical Handbook of Curve Fitting. — CRC Press, 1994. — ISBN 978-0-8493-0143-8.
  13. ↑ Kolb, William M. Curve Fitting for Programmable Calculators. — SYNTEC, 1984. — ISBN 978-0-943494-02-9.
  14. ↑ Halli, S. S. Advanced Techniques of Population Analysis / S. S. Halli, K. V. Rao. — Springer Science & Business Media, 1992. — P. 165. — ISBN 978-0-306-43997-1.
  15. ↑ The Signal and the Noise: Why So Many Predictions Fail but Some Don't. — The Penguin Press, 2012. — ISBN 978-1-59420-411-1.
  16. ↑ Pyle, Dorian. Data Preparation for Data Mining. — Morgan Kaufmann, 1999. — ISBN 978-1-55860-529-9.
  17. ↑ Джан Кьюсалас. Numerical Methods in Engineering with MATLAB (англ.). — P. 24.
  18. ↑ Kiusalaas, Jaan. Numerical Methods in Engineering with Python 3. — Cambridge University Press, 2013. — P. 21. — ISBN 978-1-139-62058-1.
  19. ↑ Guest, Philip George. Numerical Methods of Curve Fitting. — Cambridge University Press, 2012. — P. 349. — ISBN 978-1-107-64695-7.
  20. ↑ См. также: моллификатор
  21. ↑ Motulsky, Harvey. Fitting Models to Biological Data Using Linear and Nonlinear Regression: A Practical Guide to Curve Fitting / Harvey Motulsky, Arthur Christopoulos. — Oxford University Press, 2004. — ISBN 978-0-19-803834-4.
  22. ↑ Daud, Hanita. Modeling of Electromagnetic Waves Using Statistical and Numerical Techniques // Visual Informatics: Bridging Research and Practice / Hanita Daud, Vijanth Sagayan, Noorhana Yahya … [и др.]. — 2009. — Vol. 5857. — P. 686–695. — ISBN 978-3-642-05035-0. — doi:10.1007/978-3-642-05036-7_65.
  23. ↑ Nuclear and Atomic Spectroscopy // Spectroscopy. — 1976. — Vol. 13. — P. 115–346 [150]. — ISBN 978-0-12-475913-8. — doi:10.1016/S0076-695X(08)60643-2.
  24. ↑ Salkind, Neil J. Encyclopedia of Research Design. — SAGE, 2010. — P. 266. — ISBN 978-1-4129-6127-1.
  25. ↑ Klosterman, Richard E. Community Analysis and Planning Techniques. — Rowman & Littlefield Publishers, 1990. — P. 1. — ISBN 978-0-7425-7440-3.
  26. ↑ Yoe, Charles E. (March 1996), 'An Introduction to Risk and Uncertainty in the Evaluation of Environmental Investments', U.S. Army Corps of Engineers, p. 69. 
  27. ↑ Gandhi, Sorabh. Space-efficient online approximation of time series data: Streams, amnesia, and out-of-order // 2010 IEEE 26th International Conference on Data Engineering (ICDE 2010) / Sorabh Gandhi, Luca Foschini, Subhash Suri. — 2010. — P. 924–935. — ISBN 978-1-4244-5445-7. — doi:10.1109/ICDE.2010.5447930.
  28. ↑ Sandy Ryza. Time Series Analysis with Spark (англ.). databricks.com. Databricks (18 марта 2020). Дата обращения: 1 июня 2024.
  29. ↑ Zolhavarieh, Seyedjamal; Aghabozorgi, Saeed; Teh, Ying Wah (2014). “A Review of Subsequence Time Series Clustering”. The Scientific World Journal. 2014. DOI:10.1155/2014/312521. PMC 4130317. PMID 25140332.
  30. ↑ Keogh, Eamonn; Lin, Jessica (August 2005). “Clustering of time-series subsequences is meaningless: implications for previous and future research”. Knowledge and Information Systems. 8 (2): 154—177. DOI:10.1007/s10115-004-0172-7.
  31. ↑ Gershenfeld, N. The Nature of Mathematical Modeling. — New York : Cambridge University Press, 1999. — P. 205–208. — ISBN 978-0-521-57095-4.
  32. ↑ Baptista de Souza, Douglas; Kuhn, Eduardo Vinicius; Seara, Rui (January 2019). “A Time-Varying Autoregressive Model for Characterizing Nonstationary Processes”. IEEE Signal Processing Letters. 26 (1): 134—138. Bibcode:2019ISPL...26..134B. DOI:10.1109/LSP.2018.2880086.
  33. ↑ Kay, Steven (April 2008). “A New Nonstationarity Detector”. IEEE Transactions on Signal Processing. 56 (4): 1440—1451. Bibcode:2008ITSP...56.1440K. DOI:10.1109/TSP.2007.909346.
  34. ↑ Inayati, Syarifah; Iriawan, Nur (31 декабря 2024). “Time-Varying Autoregressive Models for Economic Forecasting”. Matematika: 131—142. DOI:10.11113/matematika.v40.n3.1654.
  35. ↑ Jia, Zhixuan; Li, Wang; Jiang, Yunlong; Liu, Xingshen (9 июля 2025). “The Use of Minimization Solvers for Optimizing Time-Varying Autoregressive Models and Their Applications in Finance”. Mathematics. 13 (14): 2230. DOI:10.3390/math13142230.
  36. ↑ Souza, Douglas Baptista de; Leao, Bruno Paes (5 ноября 2024). “Data Augmentation of Multivariate Sensor Time Series using Autoregressive Models and Application to Failure Prognostics”. Annual Conference of the PHM Society. 16 (1). arXiv:2410.16419. DOI:10.36001/phmconf.2024.v16i1.4145.
  37. ↑ Souza, Douglas Baptista de; Leao, Bruno Paes (26 октября 2023). “Data Augmentation of Sensor Time Series using Time-varying Autoregressive Processes”. Annual Conference of the PHM Society. 15 (1). DOI:10.36001/phmconf.2023.v15i1.3565.
  38. ↑ Lei, Huang; Yiming, Wang; Jianfeng, Qu; Hao, Ren (2020). “A Fault Diagnosis Methodology Based on Non-Stationary Monitoring Signals by Extracting Features With Unknown Probability Distribution”. IEEE Access. 8: 59821—59836. Bibcode:2020IEEEA...859821L. DOI:10.1109/ACCESS.2020.2978112.
  39. ↑ Wang, Shihan; Chen, Tao; Wang, Hongjian (17 марта 2023). “IDBD-Based Beamforming Algorithm for Improving the Performance of Phased Array Radar in Nonstationary Environments”. Sensors. 23 (6): 3211. Bibcode:2023Senso..23.3211W. DOI:10.3390/s23063211. PMC 10052024. PMID 36991922.
  40. ↑ Wu, Xiaorui; Wu, Chunling; Deng, Pei (23 февраля 2023). “Prediction of Packet Loss Rate in Non-Stationary Networks Based on Time-Varying Autoregressive Sequences”. Electronics. 12 (5): 1103. DOI:10.3390/electronics12051103.
  41. ↑ Gutierrez, D. EEG signal classification using time-varying autoregressive models and common spatial patterns // 2011 Annual International Conference of the IEEE Engineering in Medicine and Biology Society / D. Gutierrez, R. Salazar-Varas. — Август 2011. — P. 6585–6588. — ISBN 978-1-4577-1589-1. — doi:10.1109/IEMBS.2011.6091624.
  42. ↑ Diodato, Nazzareno; Di Salvo, Cristina; Bellocchi, Gianni (18 марта 2025). “Climate driven generative time-varying model for improved decadal storm power predictions in the Mediterranean”. Communications Earth & Environment. 6 (1): 212. Bibcode:2025ComEE...6..212D. DOI:10.1038/s43247-025-02196-2.
  43. ↑ Guo, Tianli; Song, Songbai; Yan, Yating (1 октября 2022). “A time-varying autoregressive model for groundwater depth prediction”. Journal of Hydrology. 613. Bibcode:2022JHyd..61328394G. DOI:10.1016/j.jhydrol.2022.128394.
  44. ↑ Zhang, Ting; Wu, Wei Biao (1 июня 2012). “Inference of time-varying regression models”. The Annals of Statistics. 40 (3). arXiv:1208.3552. DOI:10.1214/12-AOS1010.
  45. ↑ Chu, Y. J. A new recursive algorithm for time-varying autoregressive (TVAR) model estimation and its application to speech analysis // 2012 IEEE International Symposium on Circuits and Systems / Y. J. Chu, S. C. Chan, Z. G. Zhang … [и др.]. — Май 2012. — P. 1026–1029. — ISBN 978-1-4673-0219-7. — doi:10.1109/ISCAS.2012.6271402.
  46. ↑ Zhang, Z. G. A new Kalman filter-based recursive method for measuring and tracking time-varying spectrum of nonstationary signals // 2013 9th International Conference on Information, Communications & Signal Processing / Z. G. Zhang, S. C. Chan, X. Chen. — Декабрь 2013. — P. 1–4. — ISBN 978-1-4799-0434-1. — doi:10.1109/ICICS.2013.6782838.
  47. ↑ Kantz, Holger. Nonlinear Time Series Analysis / Holger Kantz, Schreiber Thomas. — London : Cambridge University Press, 2004. — ISBN 978-0-521-52902-0.
  48. ↑ Abarbanel, Henry. Analysis of Observed Chaotic Data. — New York : Springer, 25 ноября 1997. — ISBN 978-0-387-98372-1.
  49. ↑ Tomás, R.; Li, Z.; Lopez-Sanchez, J. M.; Liu, P.; Singleton, A. (Июнь 2016). “Using wavelet tools to analyse seasonal variations from InSAR time-series data: a case study of the Huangtupo landslide”. Landslides. 13 (3): 437—450. Bibcode:2016Lands..13..437T. DOI:10.1007/s10346-015-0589-y. HDL:10045/62160. ISSN 1612-510X.
  50. ↑ Boashash, B. (ред.), Time-Frequency Signal Analysis and Processing: A Comprehensive Reference, Elsevier Science, Oxford, 2003, ISBN 0-08-044335-4
  51. ↑ Nikolić, Danko; Mureşan, Raul C.; Feng, Weijia; Singer, Wolf (Март 2012). “Scaled correlation analysis: a better way to compute a cross-correlogram”. European Journal of Neuroscience. 35 (5): 742—762. DOI:10.1111/j.1460-9568.2011.07987.x. PMID 22324876. S2CID 4694570.
  52. ↑ Mormann, Florian; Andrzejak, Ralph G.; Elger, Christian E.; Lehnertz, Klaus (2007). “Seizure prediction: the long and winding road”. Brain. 130 (2): 314—333. DOI:10.1093/brain/awl241. PMID 17008335.
  53. ↑ Land, Bruce; Elias, Damian Measuring the 'Complexity' of a time series.
  54. ↑ Chevyrev, Ilya & Kormilitzin, Andrey (2016), A Primer on the Signature Method in Machine Learning, arΧiv:1603.03788 [stat.ML]. 
  55. ↑ Ropella, G.E.P. Similarity measures for automated comparison of in silico and in vitro experimental results // Proceedings of the 25th Annual International Conference of the IEEE Engineering in Medicine and Biology Society (IEEE Cat. No.03CH37439) / G.E.P. Ropella, D.A. Nag, C.A. Hunt. — 2003. — P. 2933–2936. — ISBN 978-0-7803-7789-9. — doi:10.1109/IEMBS.2003.1280532.
  56. ↑ Tominski, Christian; Aigner, Wolfgang The TimeViz Browser: A Visual Survey of Visualization Techniques for Time-Oriented Data. Дата обращения: 1 июня 2024.

Литература

Ссылки

Категории