АссистентНовый вопросИсторияОбласти знаний
Партнёрские проектыСпецпроектыСтать автором
Сменить язык
О РУВИКИ

Фильтр Калмана

Фильтр Калмана — алгоритм в области статистики и теории управления, предназначенный для последовательной оценки неизвестных переменных по серии наблюдений, подверженных шуму и неточностям. Алгоритм построен как средство минимизации среднеквадратичной ошибки, оценивая совместное распределение вероятностей переменных на каждом шаге во времени[1]. Своё название фильтр получил по имени математикa Рудольфа Э. Калмана (англ. Rudolf E. Kálmán).

Фильтр Калмана широко применяется в различных технологических областях: от систем навигации и управления движением (например, для судов, самолётов и космических аппаратов)[2] до анализа временных рядов, цифровой обработки сигналов, эконометрики и управления движением в робототехнике[3]. Он также используется для обработки сенсорной информации в биологических системах, в частности в моделировании контроля движений центральной нервной системы[4].

Работа фильтра Калмана основана на двух фазах: фазе предсказания и фазе обновления. Сначала алгоритм прогнозирует состояние системы и его неопределённость, а затем уточняет прогноз на основе новых измерений с помощью взвешенного среднего. Это рекурсивный алгоритм: для очередного шага необходимы только текущие наблюдения и состояние, полученное на предыдущем шаге.

Оптимальность фильтра Калмана обеспечивается при условии нормального (гауссовского) распределения ошибок. При известных ковариациях ошибок фильтр Калмана является лучшим линейным оценщиком в отсутствие априорных ограничений на распределение, хотя не всегда оптимален среди всех возможных (в том числе нелинейных) фильтров[5].

К различным вариантам и обобщениям данного метода относятся расширенный фильтр Калмана (для нелинейных систем), несмещённый (unscented) фильтр Калмана, и распределённые алгоритмы консенсусного фильтрования для сетей сенсоров.

Предшественники

До появления фильтра Калмана в 1960 году для решения задач линейной фильтрации и прогнозирования использовались два основных метода, которые стали его идеологическими и математическими предшественниками: метод наименьших квадратов и фильтр Винера — Колмогорова.

Метод наименьших квадратов (МНК), первое применение которого приписывается Карлу Фридриху Гауссу в 1795 году, а публикация — Адриену-Мари Лежандру в 1805 году, является фундаментальным методом оценки неизвестных величин. Его суть заключается в минимизации суммы квадратов отклонений между экспериментальными данными и значениями, предсказанными моделью[6]. Изначально МНК применялся для решения переопределённых систем линейных уравнений в астрономии и геодезии[7]. Однако классический МНК был предназначен для оценки постоянных, но неизвестных параметров системы и не подходил для фильтрации динамических процессов, то есть для оценки параметров, изменяющихся во времени[8].

Фильтр Винера — Колмогорова стал прямым предшественником фильтра Калмана в области обработки сигналов. Теоретические основы метода были заложены советским математиком Андреем Колмогоровым в 1941 году и, независимо от него, американским математиком Норбертом Винером в 1940-х годах[8]. Фильтр строился на основе критерия минимума среднеквадратической ошибки и предназначался для сглаживания, фильтрации и прогнозирования стационарных случайных процессов, статистические характеристики которых были известны[9]. Решение, известное как уравнение Винера — Хопфа, чаще всего реализовывалось в частотной области[9].

Основными ограничениями метода Винера — Колмогорова были:

  • Требование стационарности: метод предполагал, что статистические свойства сигнала и шума не меняются со временем, что ограничивало его применение[10].
  • Нерекурсивный характер: для получения оценки в каждый новый момент времени требовалась обработка всей доступной истории наблюдений, что было вычислительно затратно для систем, работающих в реальном времени[11].
  • Сложность реализации: практическая реализация требовала выполнения операции спектральной факторизации, что является вычислительно трудоёмкой задачей[10].

Появление фильтра Калмана стало решением этих проблем, поскольку он предложил эффективный рекурсивный алгоритм, работающий во временной области и применимый как к стационарным, так и к нестационарным системам, что сделало его идеально подходящим для реализации на цифровых вычислительных машинах[10].

История

Метод фильтрации, который ныне носит имя Калмана, был предложен венгерским математиком Рудольфом Э. Калманом (англ. Rudolf E. Kálmán). Идея подхода, основанного на описании систем в пространстве состояний, возникла у Калмана в ноябре 1958 года[12], а в марте 1960 года он опубликовал свою ключевую работу «A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems» (рус. Новый подход к задачам линейной фильтрации и прогнозирования) в журнале Transactions of the ASME—Journal of Basic Engineering[13]. Тем не менее, аналогичные идеи встречаются ранее у Торвальда Николая Тиле и Питера Сверлинга, а вклад в развитие теории внёс Ричард С. Бьюси, в результате чего иногда встречается название фильтра Калмана—Бьюси[14].

Практическая реализация фильтра была впервые осуществлена С. Ф. Шмидтом, который применил идеи Калмана к задаче навигации в проекте «Аполлон», обеспечив вычисления на бортовом компьютере для отслеживания траектории полёта к Луне[15].

Фильтр Калмана был жизненно важен в реализации навигационных систем подводных лодок ВМС США, а также в системах управления крылатыми ракетами и ориентацией космических аппаратов[16].

Одним из современных векторов развития алгоритма является разработка фильтров Калмана на дифференцируемых многообразиях (ФКМ). На XIV Всероссийском совещании по проблемам управления в 2024 году обсуждалось применение ФКМ для оценивания кватерниона ориентации в сложных навигационных системах[17].

Краткое описание расчёта

Фильтр Калмана — это эффективный рекурсивный байесовский фильтр, который оценивает внутреннее состояние динамической системы на основе ряда неполных и зашумлённых измерений[18][19]. Алгоритм работает во временной области и для расчёта текущего состояния ему необходимы только текущее измерение и оценка, полученная на предыдущем шаге, без хранения всей истории данных[20]. Для линейных систем с гауссовским шумом фильтр Калмана является оптимальным оценщиком, поскольку минимизирует среднеквадратическую ошибку оценки[18][21]. Главная идея — объединить данные от разных источников (например, датчиков) для получения оценки внутреннего состояния, более точной, чем любая из этих оценок по отдельности.

Работа алгоритма состоит из двух повторяющихся шагов: прогноза и коррекции[22].

  • Прогноз (экстраполяция): На этом этапе фильтр предсказывает состояние системы и его неопределённость (ковариацию ошибки) на следующий момент времени, основываясь на динамической модели системы.
  • Коррекция (обновление): Получив новое измерение, фильтр уточняет спрогнозированную оценку. Он вычисляет взвешенное среднее между предсказанным состоянием и новым измерением, присваивая больший вес тому значению, чья неопределённость меньше. Ключевым параметром на этом этапе является коэффициент усиления Калмана (англ. Kalman gain), который определяет, насколько сильно новое измерение влияет на коррекцию прогноза. При высоком усилении фильтр больше доверяет измерениям, при низком — модели системы.

Пример применения

Для примера рассмотрим задачу определения точного положения грузовика. Помимо показаний GPS (шумных), для оценки могут использоваться данные по оборотам колёс и углу руля (инерциальная навигация, интеграция скорости). GPS даёт быструю, но «прыгающую» оценку, «механическая» интеграция скорости — гладкую, но со временем дающую дрейф. Фильтр Калмана позволяет в каждый момент стратегически сочетать оба источника для общей наиболее вероятной оценки положения.

Техническое описание и контекст применения

Фильтр Калмана — эффективный рекурсивный линейный фильтр для оценки внутреннего состояния динамических систем на основе серии зашумлённых наблюдений. Он широко применяется от радаров и компьютерного зрения до макроэкономического моделирования и систем управления. Наряду с линейно-квадратичным регулятором (LQR), фильтр Калмана обеспечивает решение основной задачи линейно-квадратично-гауссового управления (LQG).

В большинстве случаев измеряется лишь малая часть параметров, но, объединяя серию наблюдений, фильтр Калмана оценивает полный вектор внутреннего состояния.

К числу разновидностей относятся классический «простой» фильтр Калмана, фильтр Калмана—Бьюси, расширенный фильтр Калмана, информационный фильтр и квадрат-корневые модификации.

Математическая модель динамической системы

Фильтр Калмана описывает поведение систем с линейной динамикой в дискретном времени, моделируемых с помощью марковских цепей и линейных операторов, возмущённых гауссовскими случайными сигналами. Система формализуется следующим образом:

\[ \mathbf{x}_k = \mathbf{F}_k \mathbf{x}_{k-1} +\mathbf{B}_k \mathbf{u}_{k} + \mathbf{w}_k \] где

  • \(\mathbf{x}_k\) — вектор состояния в момент времени \(k\)
  • \(\mathbf{F}_k\) — матрица перехода состояния
  • \(\mathbf{B}_k\) — матрица входа (управления)
  • \(\mathbf{u}_k\) — управляющий вектор
  • \(\mathbf{w}_k\) — вектор шума процесса, \(\mathbf{w}_k \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{Q}_k)\), где \(\mathbf{Q}_k\) — матрица ковариации

Измерения: \[ \mathbf{z}_k = \mathbf{H}_k \mathbf{x}_k + \mathbf{v}_k \] где

  • \(\mathbf{H}_k\) — матрица преобразования состояния в пространство наблюдений
  • \(\mathbf{v}_k\) — шум измерения, \(\mathbf{v}_k \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{R}_k)\), \(\mathbf{R}_k\) — ковариационная матрица измерения

Начальное состояние и шумовые векторы считаются независимыми.

Фундаментальные условия оптимальности фильтра включают следующие требования к системе и статистическим характеристикам помех:

  • Линейность моделей состояния (динамики) и наблюдений, что позволяет сохранять гауссово свойство распределений на каждом временном шаге[23][24].
  • Гауссовость (нормальное распределение) шумов и параметров, при которой оценки фильтра становятся строго оптимальными по критерию минимума среднеквадратической ошибки[23][24].
  • Белость шумов (отсутствие автокорреляции), обеспечивающая марковское свойство формирующего процесса[23][25].
  • Нулевое математическое ожидание и известные ковариационные матрицы шумов, необходимые для получения несмещённой оценки с минимальной дисперсией[24][26].
  • Взаимная независимость шумов динамики и наблюдений[24][27].

При наличии взаимной корреляции между шумом процесса и шумом измерения применяются два подхода к формализации модели. В первом случае стандартная форма уравнений состояния и наблюдений сохраняется, а взаимная корреляция учитывается через матрицу взаимной ковариации. Во втором случае осуществляется переход к модифицированной (декоррелированной) системе: для учёта корреляции непосредственно в модели вводится матрица \(\mathbf{T} = \mathbf{S} \mathbf{R}^{-1}\) (где \(\mathbf{S}\) — матрица взаимной ковариации, \(\mathbf{R}\) — ковариация шума измерений). В этом случае система преобразуется, а модифицированный шум процесса принимает вид \(\bar{\mathbf{w}}_k = \mathbf{w}_k - \mathbf{T} \mathbf{v}^*_k\)[28][29].

Детали вычислений

Состояние фильтра задаётся двумя величинами:

  • \(\hat\mathbf{x}_{k|k}\) — апостериорное среднее оценки состояния на шаге \(k\)
  • \(\mathbf{P}_{k|k}\) — ковариационная матрица ошибки оценки

Алгоритм состоит из чередования фаз предсказания и обновления:

Предсказание

Предсказанное (априорное) состояние k-1} = \mathbf{F}_k \hat\mathbf{x}_{k-1|k-1} + \mathbf{B}_k \mathbf{u}_{k}\)
Предсказанная ковариация k-1} = \mathbf{F}_k \mathbf{P}_{k-1 | k-1} \mathbf{F}_k^\mathrm{T} + \mathbf{Q}_{k}\)

Обновление

Инновация (предсигнальный остаток) k-1}\)
Ковариация инновации k-1} \mathbf{H}_k^\mathrm{T} + \mathbf{R}_k\)
Оптимальное усиление Калмана k-1}\mathbf{H}_k^\mathrm{T} \mathbf{S}_k^{-1}\)
Обновлённая (апостериорная) оценка состояния k} = \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} + \mathbf{K}_k\tilde{\mathbf{y}}_k\)
Апостериорная ковариация ошибки (форма Джозефа) k} = (\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k) \mathbf{P}_{k | k - 1} (\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k)^\mathrm{T} + \mathbf{K}_k \mathbf{R}_k \mathbf{K}_k^\mathrm{T}\)
Постфит-остаток измерения k} = \mathbf{z}_k - \mathbf{H}_k\hat{\mathbf{x}}_{k|k}\)

Для высокоразмерных систем переход к информационной форме (Information Filter) позволяет снизить вычислительную сложность шага коррекции с \(O(m^3)\) до \(O(l^3)\). Это достигается за счёт того, что вместо обращения матрицы ковариации инноваций размерности измерений (\(m \times m\)) алгоритм требует обращения матрицы меньшей размерности, соответствующей размерности вектора состояния (\(l \times l\)).

Ограничения и вычислительная устойчивость

Классический фильтр Калмана имеет ряд ограничений, которые могут приводить к расходимости алгоритма[30][31]. К основным причинам расходимости относятся:

  • Чувствительность к ошибкам моделирования: неточность задания модели может приводить к тому, что коэффициент усиления фильтра асимптотически стремится к нулю, замедляя адаптацию алгоритма.
  • Вычислительная неустойчивость: возникает из-за ошибок округления и вырождения матриц при длительной работе, что ведёт к плохой обусловленности обратных матриц и потере устойчивости.
  • Проблема нелинейности реальных процессов: классический алгоритм склонен излишне сглаживать динамику физических процессов и может терять устойчивость при неполноте информации.

Для обеспечения вычислительной устойчивости и предотвращения потери положительной определённости ковариационной матрицы из-за ошибок округления применяются методы декомпозиции[32]:

  • Квадратно-корневая фильтрация (англ. Square-root filtering): ковариационная матрица представляется через её квадратный корень, что удваивает числовую точность хранимых переменных и гарантирует симметрию и положительную полуопределённость.
  • UD-факторизация: матрица ковариации раскладывается на верхнюю треугольную и диагональную матрицы. Метод обеспечивает устойчивость, сопоставимую с квадратно-корневыми фильтрами, но позволяет избежать вычислительно затратных операций извлечения корня и операций вычитания.

Для оптимизации рекурсивной оценки состояния в системах сверхвысокой размерности применяются методы детерминированной низкоранговой аппроксимации, такие как динамическая низкоранговая аппроксимация (DLRA) и метод главных компонент (PCA). Они позволяют радикально снизить вычислительную сложность и требования к памяти за счёт замены полноранговой ковариационной матрицы на её низкоранговые факторы[33].

Кроме того, для нелинейных модификаций фильтра появляются новые математические доказательства устойчивости, направленные на решение проблемы недооценки ковариации и повышение точности оценок[34].

Модификации и обобщения

Классический фильтр Калмана предназначен для линейных систем[35], однако для расширения его применимости на более сложные случаи был разработан ряд обобщений и модификаций[36].

Модификации для нелинейных систем

Когда динамическая модель системы или модель измерений являются нелинейными, применяются специальные версии фильтра[35].

Расширенный фильтр Калмана (англ. Extended Kalman Filter, EKF) — одна из самых известных модификаций для нелинейных систем[35]. EKF использует линеаризацию нелинейных функций состояния и измерений в окрестности текущей оценки состояния на каждом шаге[35]. Для этого вычисляются матрицы Якоби (матрицы частных производных), которые заменяют соответствующие матрицы в уравнениях стандартного фильтра[37]. Разработка EKF велась в исследовательском центре Эймса (NASA) после создания оригинального фильтра в 1959—1961 годах[38], а его первая реализация часто приписывается Стэнли Ф. Шмидту[39]. Основными недостатками EKF являются сложность аналитического вычисления матриц Якоби и потенциальная нестабильность, если система сильно нелинейна[35].

Сигма-точечный фильтр Калмана (англ. Unscented Kalman Filter, UKF), также известный как бесцентный или сигма-точечный фильтр, не линеаризует функции[35]. Вместо этого он использует набор специально выбранных точек (сигма-точек), которые пропускаются через нелинейные преобразования[35]. Затем на основе преобразованных точек вычисляются среднее значение и ковариация, что позволяет получить более точную оценку по сравнению с EKF, особенно для сильно нелинейных систем[40]. UKF не требует вычисления матриц Якоби, что упрощает его реализацию[40]. Существуют его вариации, такие как фильтр Калмана центральной разности (англ. Central Difference Kalman Filter, CDKF) и их версии с использованием квадратного корня (SRUKF, SRCDKF) для повышения численной устойчивости[40].

Ансамблевый фильтр Калмана (англ. Ensemble Kalman Filter, EnKF) используется в системах с очень большой размерностью вектора состояния, например, в метеорологии и океанографии. EnKF аппроксимирует матрицу ковариации ошибок с помощью ансамбля (множества) случайных реализаций вектора состояния, что значительно снижает вычислительные затраты.

Кубатурный фильтр Калмана (англ. Cubature Kalman Filter, CKF) рассматривается как современная альтернатива EKF и UKF. К его основным преимуществам относятся отсутствие необходимости вычисления матриц Якоби, а также сохранение положительной определённости ковариационных матриц без использования отрицательных весов[41][42].

Другие обобщения

Фильтр Калмана — Бьюси (англ. Kalman–Bucy filter) является аналогом фильтра Калмана для систем, в которых и модель эволюции состояния, и процесс измерений описываются в непрерывном времени[43]. Его уравнения представляют собой дифференциальные уравнения для оценки состояния и ковариации ошибки[44].

Адаптивные фильтры Калмана способны подстраивать параметры фильтра (например, ковариационные матрицы шумов) под изменяющиеся статистические свойства шумов или самой системы, что актуально, когда эти характеристики неизвестны или непостоянны. К современным алгоритмам данного типа относятся, в частности, RMK-AKF и SAKF-RCE.

Гибридный фильтр Калмана применяется для систем, где модель эволюции состояния непрерывна во времени, а измерения поступают в дискретные моменты. На этапе прогноза производится интегрирование дифференциальных уравнений, а на этапе коррекции используются уравнения дискретного фильтра Калмана.

Существуют также модификации для работы с коррелированными («цветными») шумами и для приведения негауссовых шумов к нормальному распределению.

Для оценки состояния динамических систем в условиях не-гауссовских шумов и аномальных выбросов применяются робастные модификации (например, коррентропийные фильтры и методы H2/H∞-оптимизации)[45][46].

Быстрый блочный фильтр Калмана (ББФК) применяется в задачах визуально-инерциальной навигации и отличается сниженной до O(N) вычислительной сложностью, что позволяет обрабатывать сотни визуальных признаков в реальном времени[47][48].

Распределённые алгоритмы фильтрации Калмана используются для управления роями БПЛА и сетями мобильных роботов (IoT). В современных реализациях применяются отказоустойчивые mesh-сети и адаптивное взвешивание, при котором влияние информации от соседнего узла назначается обратно пропорционально его неопределённости[49][50].

Интеграция с машинным обучением

Структурная интеграция глубокого обучения и фильтра Калмана реализуется через глубокий фильтр Калмана (Deep Kalman Filter, DKF). В данной архитектуре нейросети формируют функции перехода и наблюдения, что решает проблему нелинейности и позволяет моделировать сложные зависимости[51][52].

Для динамической оптимизации матриц ковариации шума процесса и измерений применяются различные архитектуры искусственных нейронных сетей (ИНС). В частности, используются многослойные перцептроны (MLP) и сети обучения с подкреплением (Actor-Critic), которые позволяют адаптивно настраивать параметры фильтра[53][54].

Концепция физико-информированных фильтров (PIKF) объединяет физико-информированные нейронные сети (PINN) и фильтр Калмана. Этот подход позволяет интегрировать фундаментальные физические законы в процесс оценки, обеспечивая физическую корректность предсказаний[55].

Применение

Фильтр Калмана и его модификации широко применяются в науке и технике для оценки состояния динамических систем по зашумлённым и неполным данным[56]. Алгоритм используется как для решения классических задач, так и в передовых разработках, включая системы с искусственным интеллектом.

Навигация и аэрокосмическая отрасль

Исторически одна из первых областей применения, где фильтр стал ключевым компонентом систем ориентации и управления[56].

  • Спутниковая навигация (GPS, ГЛОНАСС): уточнение координат, полученных от спутников, и уменьшение погрешностей, вызванных атмосферными помехами и другими факторами[57].
  • Беспилотные летательные аппараты (БПЛА) и автопилоты: комплексирование данных с инерциальных модулей (IMU) и приёмников ГНСС для точного определения местоположения и ориентации[58]. Адаптивные фильтры Калмана применяются для навигации БПЛА в условиях радиоэлектронного подавления (РЭБ) и потери сигнала, обеспечивая удержание траектории за счёт динамического переключения моделей движения[59].
  • Авионика и космонавтика: отслеживание траекторий самолётов, ракет и спутников.
  • Динамическое позиционирование судов: удержание судна в заданной точке с учётом ветровых и волновых нагрузок.

Робототехника и автономный транспорт

  • Автономные автомобили: объединение (слияние) данных с множества сенсоров (камеры, лидары, радары, GPS, IMU) для получения единой и точной оценки положения автомобиля, его скорости и траектории движения окружающих объектов[56]. Современные разработки включают двухэтапную стратегию слияния данных от бортовых датчиков и придорожной инфраструктуры (V2I) для решения проблемы перекрытий и слепых зон.
  • Мобильная робототехника: ориентация роботов в пространстве и решение задачи одновременной локализации и построения карты (SLAM). В автономных мобильных роботах (AMR) адаптивный фильтр Калмана используется для слияния данных инерциальных измерительных модулей (IMU) и колёсной одометрии, что позволяет устранить дрейф и повысить точность позиционирования.
  • Безопасность взаимодействия человека и робота: отслеживание и прогнозирование движений человека в реальном времени для обеспечения безопасности в коллаборативной робототехнике[60].

Компьютерное зрение и обработка сигналов

  • Отслеживание объектов: предсказание положения объекта в следующем кадре видео, что позволяет создавать плавные траектории и не терять объект при временном перекрытии[56]. Применяется в том числе для радиолокационного трекинга и в детекторах частиц.
  • Системы дополненной и виртуальной реальности (AR/VR): трекинг головы и рук, где фильтр Калмана обеспечивает слияние высокочастотных данных IMU и низкочастотного видеопотока для минимизации задержки и плавного отслеживания[61][62].
  • Очистка данных и сигналов: удаление шумов из данных с различных датчиков, например, при обработке речи и аудиосигналов[63] или при предварительной обработке изображений для удаления коррелированного шума перед обучением автоэнкодеров[64].
  • Адаптивные фазированные антенные решётки: повышение отношения сигнал/шум[65].

Экономика и финансы

  • Эконометрика: анализ временных рядов, оценка параметров макроэкономических моделей и прогнозирование экономических показателей.
  • Финансовое моделирование: оценка скрытых переменных, влияющих на цены активов, прогнозирование волатильности и оптимизация инвестиционных портфелей.

Медицина и биология

  • Обработка медицинских сигналов: анализ и очистка от шумов сигналов ЭКГ с помощью адаптивных модификаций, таких как ADAEKF (Adaptive Dual Extended Kalman Filter), и анализ медицинских изображений.
  • Интерфейсы «мозг-компьютер»: декодирование сигналов мозга для управления внешними устройствами[63].
  • Биомеханика: моделирование сенсомоторного контроля в центральной нервной системе[66] и прогнозирование развития заболеваний, например, глаукомы[67].

Интеграция с искусственным интеллектом

Современные исследования направлены на создание гибридных моделей, объединяющих фильтр Калмана с нейронными сетями (AI-aided Kalman Filters). В таких системах ИИ используется для идентификации параметров модели или характеристик шума в реальном времени, что повышает точность фильтра в сложных и динамичных средах[68][63]. Сам фильтр также может быть представлен как обучаемая модель машинного обучения[63].

Другие области

Программные реализации

Существует ряд библиотек с открытым исходным кодом, реализующих фильтр Калмана и его модификации (в том числе бесследный фильтр Калмана) для различных языков программирования[71][72]:

  • Python: filterpy, pykalman, dynamax, norfair, pypose[71][73][72];
  • C++: kalman_filters_solution, ukf, kalman, Embedded_UKF_Library[74][71];
  • C: ukfLib[71];
  • MATLAB: robotics-toolbox-matlab[72];
  • Julia: ControlSystems.jl[72];
  • Java: mad-location-manager[72].

Примечания

  1. ↑ Lacey, Tony Chapter 11 Tutorial: The Kalman Filter. MIT. Дата обращения: 26 августа 2026. Архивировано 8 октября 2025 года.
  2. ↑ Paul Zarchan. Fundamentals of Kalman Filtering: A Practical Approach / Paul Zarchan, Howard Musoff. — American Institute of Aeronautics and Astronautics, Incorporated, 2000. — ISBN 978-1-56347-455-2.
  3. ↑ Lora-Millan, Julio S.; Hidalgo, Andres F.; Rocon, Eduardo (2021). “An IMUs-Based Extended Kalman Filter to Estimate Gait Lower Limb Sagittal Kinematics for the Control of Wearable Robotic Devices”. IEEE Access [англ.]. 9: 144540—144554. DOI:10.1109/ACCESS.2021.3122160. Дата обращения 2024-06-22. |access-date= требует |url= (справка)
  4. ↑ Wolpert, Daniel; Ghahramani, Zoubin (2000). “Computational principles of movement neuroscience”. Nature Neuroscience [англ.]. 3: 1212—7. DOI:10.1038/81497. PMID 11127840. S2CID 736756.
  5. ↑ Humpherys, Jeffrey (2012). “A Fresh Look at the Kalman Filter”. SIAM Review [англ.]. 54 (4): 801—823. DOI:10.1137/100799666.
  6. ↑ Метод наименьших квадратов. machinelearning.ru. Дата обращения: 3 ноября 2025. Архивировано 7 января 2025 года.
  7. ↑ Метод наименьших квадратов: история и развитие. КиберЛенинка. Дата обращения: 3 ноября 2025.
  8. ↑ 1 2 От Винера до Калмана. Хабр. Дата обращения: 26 августа 2026.
  9. ↑ 1 2 2. Фильтр Винера-Колмогорова. Helpiks.org. Дата обращения: 26 августа 2026. Архивировано 9 июня 2017 года.
  10. ↑ 1 2 3 Фильтр Калмана. emctestlab.ru. Дата обращения: 3 ноября 2025.
  11. ↑ Фильтр Калмана. BaseGroup Labs. Дата обращения: 3 ноября 2025. Архивировано 18 июня 2025 года.
  12. ↑ История открытия фильтра Калмана. is.ifmo.ru. Дата обращения: 3 ноября 2025. Архивировано 6 мая 2016 года.
  13. ↑ A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems. BibSonomy. Дата обращения: 26 августа 2026.
  14. ↑ Lauritzen, S. L. (Декабрь 1981). “Time series analysis in 1880. A discussion of contributions made by T.N. Thiele”. International Statistical Review. 49 (3): 319—331. DOI:10.2307/1402616.
  15. ↑ Elizabeth Ramirez - The Kalman Filter. Papers We Love. Дата обращения: 3 ноября 2025. Архивировано 15 июля 2024 года.
  16. ↑ Gaylor, David. GPS/INS Kalman Filter Design for Spacecraft Operating in the Proximity of International Space Station // AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference and Exhibit / David Gaylor, E. Glenn Lightsey. — 2003. — ISBN 978-1-62410-090-1. — doi:10.2514/6.2003-5445.
  17. ↑ Векторы развития: применение ФКМ для оценивания компонент единичного кватерниона. XIV Всероссийское совещание по проблемам управления (2024). Дата обращения: 26 августа 2026.
  18. ↑ 1 2 Фильтр Калмана. Энциклопедия РСУ. Дата обращения: 3 ноября 2025. Архивировано 22 апреля 2021 года.
  19. ↑ Фильтры Калмана. НИУ ВШЭ. Дата обращения: 3 ноября 2025.
  20. ↑ Применение фильтра Калмана для сглаживания и прогнозирования временных рядов. rusnauka.com. Дата обращения: 26 августа 2026. Архивировано 14 сентября 2019 года.
  21. ↑ Фильтр Калмана. StudFiles. Дата обращения: 26 августа 2026.
  22. ↑ Фильтр Калмана для начинающих: как измерить точно то, что измеряется неточно. Лаборатория «Микроприборы». Дата обращения: 3 ноября 2025. Архивировано 21 июня 2025 года.
  23. ↑ 1 2 3 Фильтр Калмана. SRNS Wiki (10 января 2023). Дата обращения: 26 августа 2026.
  24. ↑ 1 2 3 4 Фильтр Калмана. Studfile (15 мая 2022). Дата обращения: 26 августа 2026.
  25. ↑ Фильтр Калмана: теоретические основы и практическое применение. КиберЛенинка (1 апреля 2019). Дата обращения: 26 августа 2026.
  26. ↑ Оптимальная оценка состояния динамических систем. Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ» (1 января 2024). Дата обращения: 26 августа 2026.
  27. ↑ Kalman Filter and Its Application in Engineering. PMC. NIH (1 декабря 2021). Дата обращения: 26 августа 2026.
  28. ↑ Kalman Filter with Correlated Noise. PMC. NIH (1 мая 2024). Дата обращения: 26 августа 2026.
  29. ↑ Kalman Filter for Systems with Correlated Noise. IntechOpen (1 ноября 2023). Дата обращения: 26 августа 2026.
  30. ↑ Ограничения фильтра Калмана. Periodica Polytechnica Ser. Electrical Engineering. Budapest University of Technology and Economics (2018). Дата обращения: 26 августа 2026.
  31. ↑ Оценка точности и устойчивости алгоритмов фильтрации. Росгидромет (2017). Дата обращения: 26 августа 2026.
  32. ↑ UDU Information. University of Texas at Austin (май 2018). Дата обращения: 26 августа 2026.
  33. ↑ Low-Rank Kalman Filtering. NeurIPS (2023). Дата обращения: 26 августа 2026.
  34. ↑ A new framework for nonlinear Kalman filters. arXiv (июль 2024). Дата обращения: 26 августа 2026.
  35. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 Фильтр Калмана: EKF, UKF. Теория и практика. Хабр. Дата обращения: 26 августа 2026.
  36. ↑ Фильтр Калмана: расширенный, unscented, для роботов и вообще. Хабр. Дата обращения: 26 августа 2026.
  37. ↑ Extended Kalman Filters. Exponenta. Дата обращения: 3 ноября 2025.
  38. ↑ Расширенный фильтр Калмана (EKF). Ultralytics. Дата обращения: 26 августа 2026. Архивировано 7 августа 2025 года.
  39. ↑ Kalman Filter. saylor.org. Дата обращения: 26 августа 2026. Архивировано 15 апреля 2024 года.
  40. ↑ 1 2 3 Нелинейная фильтрация Калмана: UKF и его друзья. PVSM.ru. Дата обращения: 3 ноября 2025.
  41. ↑ Cubature Kalman Filter. PMC / NCBI. Дата обращения: 26 августа 2026.
  42. ↑ Cubature Kalman Filter. Kalman-Filter.com. Дата обращения: 26 августа 2026.
  43. ↑ ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ ФИЛЬТРА КАЛМАНА–БЬЮСИ. math-mech-astr-journal.spbu.ru. Дата обращения: 3 ноября 2025.
  44. ↑ Численные методы для решения непрерывных уравнений Риккати в задачах калмановской фильтрации. ict.nsc.ru. Дата обращения: 3 ноября 2025. Архивировано 11 апреля 2024 года.
  45. ↑ Робастные алгоритмы фильтрации Калмана. Медиа-издатель (2024). Дата обращения: 26 августа 2026.
  46. ↑ Робастный кубатурный фильтр Калмана на основе критерия максимальной коррентропии. Информационные управляющие системы. Дата обращения: 26 августа 2026.
  47. ↑ Быстрый блочный фильтр Калмана для задач визуально-инерциальной навигации. Cyberleninka. Дата обращения: 26 августа 2026.
  48. ↑ Видеокамера вместо GPS: разработан новый вариант фильтра для визуально-инерциальной навигации. ЮУрГУ (10 июня 2026). Дата обращения: 26 августа 2026.
  49. ↑ Resilient Distributed Kalman Filtering in UAV Swarms. Frontiers in Communications and Networks. Дата обращения: 26 августа 2026.
  50. ↑ Adaptive Consensus Kalman Filtering for Distributed Estimation. arXiv. Дата обращения: 26 августа 2026.
  51. ↑ Deep Kalman Filter. arXiv (17 ноября 2015). Дата обращения: 26 августа 2026.
  52. ↑ Deep Kalman Filtering Network. The IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR) (18 июня 2018). Дата обращения: 26 августа 2026.
  53. ↑ Neural network-based adaptive Kalman filter for state estimation of nonlinear systems. PLOS ONE. Дата обращения: 26 августа 2026.
  54. ↑ Adaptive Kalman Filter using Multilayer Perceptron for State Estimation. East Tennessee State University. Дата обращения: 26 августа 2026.
  55. ↑ Physics-Informed Kalman Filters (PIKF) for Hybrid State Estimation. AlphaXiv. Дата обращения: 26 августа 2026.
  56. ↑ 1 2 3 4 Фильтр Калмана (KF). Ultralytics. Дата обращения: 26 августа 2026. Архивировано 7 августа 2025 года.
  57. ↑ Применение фильтра Калмана в задачах навигации. Системы и средства связи, телевидения и радиовещания (2012). Дата обращения: 3 ноября 2025. Архивировано 14 мая 2025 года.
  58. ↑ Комплексирование данных инерциальной навигационной системы и приемника ГЛОНАСС/GPS на основе фильтра Калмана. Современные проблемы науки и образования (2015). Дата обращения: 3 ноября 2025.
  59. ↑ Интеллектуализация фильтров Калмана для повышения автономности и точности навигационных систем беспилотных летательных аппаратов. КиберЛенинка. Дата обращения: 26 августа 2026.
  60. ↑ Human Motion Tracking and Prediction Based on an Extended Kalman Filter for Safe Human-Robot Collaboration. Mongolian Journal of Science and Technology (2024). Дата обращения: 26 августа 2026.
  61. ↑ Deep EKF for Hand Tracking in AR/VR. ACM Digital Library (2024). Дата обращения: 26 августа 2026.
  62. ↑ A Guide to Sensor Fusion AI for Gesture Control in Virtual Reality. 221e. Дата обращения: 26 августа 2026.
  63. ↑ 1 2 3 4 AI-Aided Kalman Filtering. arXiv (15 октября 2024). Дата обращения: 26 августа 2026. Архивировано 22 октября 2024 года.
  64. ↑ Применение фильтра Калмана для предварительной обработки изображений при обучении автоэнкодеров. scinetwork.ru (2024). Дата обращения: 3 ноября 2025.
  65. ↑ Адаптивный алгоритм на основе фильтра Калмана для фазированных антенных решеток. Вестник СибГУТИ (2024). Дата обращения: 3 ноября 2025. Архивировано 16 марта 2025 года.
  66. ↑ Wolpert, D. M.; Miall, R. C. (1996). “Forward Models for Physiological Motor Control”. Neural Networks [англ.]. 9 (8): 1265—1279. DOI:10.1016/S0893-6080(96)00035-4. PMID 12662535.
  67. ↑ Machine Learning Methods for Forecasting Glaucoma Progression Using Kalman Filter. National Center for Biotechnology Information (11 октября 2022). Дата обращения: 26 августа 2026. Архивировано 14 февраля 2025 года.
  68. ↑ A review of Kalman filter and its hybridization with artificial intelligence. Cranfield University (2022). Дата обращения: 26 августа 2026. Архивировано 27 мая 2025 года.
  69. ↑ Использование фильтра Калмана для оценки уровня заряда Li-Ion аккумулятора. Хабр (12 апреля 2012). Дата обращения: 26 августа 2026.
  70. ↑ A Kalman Filter Approach to the Forecasting of Time Series of Sea Ice Concentration. INFORMS (март 1977). Дата обращения: 26 августа 2026. Архивировано 26 ноября 2023 года.
  71. ↑ 1 2 3 4 Awesome Kalman Filter. GitHub. Дата обращения: 26 августа 2026.
  72. ↑ 1 2 3 4 5 Kalman Filter topic. GitHub. Дата обращения: 26 августа 2026.
  73. ↑ Kalman and Bayesian Filters in Python. Read the Docs. Дата обращения: 26 августа 2026.
  74. ↑ kalman_filters_solution. GitHub. Дата обращения: 26 августа 2026.

Литература

  • Бар-Шалом, Яаков. Оценивание с приложениями к трекингу и навигации: теория, алгоритмы и программное обеспечение : [англ.] / Яаков Бар-Шалом, Сюэ-Жун Ли, Тьягалингам Кирубаражан. — Wiley, 2004.
  • Борман, Г.Дж. Матричные методы в дискретных последовательных оценках : [англ.]. — Dover, 1977.
  • Гелб, А. Прикладная оптимальная оценка : [англ.]. — MIT Press, 1974.
  • Калман, Р.Э. (1960). “Новый подход к задаче линейной фильтрации и предсказания” (PDF). Journal of Basic Engineering [англ.]. 82 (1): 35—45. DOI:10.1115/1.3662552. Дата обращения 2024-06-22.
  • Калман, Р.Э.; Бьюси, Р.С. (1961). “Новые результаты в теории линейной фильтрации и предсказания”. Journal of Basic Engineering [англ.]. 83: 95—108. DOI:10.1115/1.3658902.

Ссылки

Категории