Вписанная и вневписанные в треугольник окружности

Радиусы вписанных и вневписанных окружностей имеют тесную связь с площадью треугольника^[2].

Пусть ${\displaystyle \triangle ABC}$ имеет вписанную окружность радиуса r с центром I. Пусть a — длина BC, b — длина AC, а c — длина AB. Пусть вписанная окружность касается AB в некоторой точке C′, тогда ${\displaystyle \angle AC'I}$ является прямым. Тогда радиус C’I будет высотой треугольника ${\displaystyle \triangle IAB}$. Таким образом, ${\displaystyle \triangle IAB}$ имеет основание длины c и высоту r, а следовательно, его площадь равна ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}cr}$ ${\displaystyle \triangle IAC}$ имеет площадь ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}br}$ и ${\displaystyle \triangle IBC}$ имеет площадь ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ar}$. Поскольку эти три треугольника разбивают ${\displaystyle \triangle ABC}$, получаем, что:

${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{2}}(a+b+c)r=pr,}$

где ${\displaystyle \Delta }$ — площадь ${\displaystyle \triangle ABC}$, а ${\displaystyle p={\frac {1}{2}}(a+b+c)}$ — его полупериметр.

Чтобы получить альтернативную формулу, рассмотрим ${\displaystyle \triangle IC'A}$. Это прямоугольный треугольник, у которого один из катетов равен r, а другой равен ${\displaystyle r\cdot \mathrm {ctg} {\frac {\angle A}{2}}}$. То же самое верно для ${\displaystyle \triangle IB'A}$. Весь треугольник состоит из 6 таких треугольников, и общая площадь составляет:

${\displaystyle \Delta =r^{2}\cdot (\mathrm {ctg} {\frac {\angle A}{2}}+\mathrm {ctg} {\frac {\angle B}{2}}+\mathrm {ctg} {\frac {\angle C}{2}})}$.

Пусть вневписанная окружность, касающаяся стороны AB, касается продолжения стороны AC в точке G, и пусть радиус этой окружности равен ${\displaystyle r_{c}}$, а её центр — ${\displaystyle I_{c}}$. Тогда ${\displaystyle I_{c}G}$ является высотой треугольника ${\displaystyle \triangle ACI_{c}}$, так что ${\displaystyle \triangle ACI_{c}}$ имеет площадь ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}br_{c}}$. По тем же причинам ${\displaystyle \triangle BCI_{c}}$ имеет площадь ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ar_{c}}$, а ${\displaystyle \triangle ABI_{c}}$ имеет площадь ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}cr_{c}}$.

Тогда:

${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{2}}(a+b-c)r_{c}=(p-c)r_{c}}$.

Таким образом, ввиду симметрии,

${\displaystyle \Delta =pr=(p-a)r_{a}=(p-b)r_{b}=(p-c)r_{c}}$.

По теореме косинусов получаем:

${\displaystyle \cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}$

Комбинируя это с тождеством ${\displaystyle \sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1}$, получим:

${\displaystyle \sin A={\frac {\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}}$.

Но ${\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}bc\sin A}$, так что:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &={\frac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\&={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},\end{aligned}}}$

и это формула Герона вычисления площади треугольника по его сторонам.

Комбинируя формулу Герона с ${\displaystyle pr=\Delta }$, получим:

${\displaystyle r^{2}={\frac {\Delta ^{2}}{p^{2}}}={\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}$.

Аналогично, ${\displaystyle (p-a)r_{a}=\Delta }$ даёт:

${\displaystyle r_{a}^{2}={\frac {p(p-b)(p-c)}{p-a}}}$.

Из этих формул видно, что вневписанные окружности всегда больше вписанной и наибольшая окружность соответствует самой длинной стороне, а самая наименьшая из вневписанных окружностей соответствует самой маленькой стороне. Дальнейшее комбинирование формул приводит к^[3]:

${\displaystyle \Delta ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.}$

Отношение площади вписанной окружности к площади треугольника меньше или равно ${\displaystyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$, и равенство достигается только на правильных треугольниках^[4].

• Теорема Эйлера об окружности Эйлера. Середины отрезков высот от ортоцентра до вершин треугольника называются точками Эйлера. Основания медиан, основания высот и точки Эйлера лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек^[5].

• Теорема Фейербаха. Окружность девяти точек касается всех трёх вневписанных окружностей, а также вписанной окружности в четырёх разных точках. Одна из них — точка касания окружности Эйлера и вписанной окружности известна как точка Фейербаха.

Треугольник Жергонна (для треугольника ABC) определяется тремя точками касания вписанной окружности на трёх сторонах. Эти вершины обозначим T_A, и т. д.. Точка T_A лежит напротив вершины A.

Этот треугольник Жергонна T_AT_BT_C известен также как треугольник касаний треугольника ABC.

Три прямые AT_A, BT_B и CT_C пересекаются в одной точке — точке Жергонна и обозначается Ge — X(7). Точка Жергонна лежит внутри открытого ортоцентроидного круга с выколотым центром^[6].

Интересно, что точка Жергонна треугольника является точкой пересечения симедиан треугольника Жергонна. Полный набор свойств точки Жергонна можно найти в статье Декова^[7].

Трилинейные координаты вершин треугольника касаний задаются формулами:

• вершина ${\displaystyle A=0:\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}$
• вершина ${\displaystyle B=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}$
• вершина ${\displaystyle C=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0}$.

Трилинейные координаты точки Жергонна:

${\displaystyle \sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}$,

или, эквивалентно, по теореме синусов,

${\displaystyle {\frac {bc}{b+c-a}}:{\frac {ca}{c+a-b}}:{\frac {ab}{a+b-c}}}$.

Точка Жергонна является изотомическим сопряжением точки Нагеля.

Треугольник Нагеля (см. рис. выше) для треугольника ABC определяется вершинами T_A, T_B и T_C, которые являются точками касания вневписанных окружностей треугольника ABC и точка X_A противоположна стороне A, и т. д. Описанная вокруг треугольника T_AT_BT_C окружность называется окружностью Мандарта (частный случай эллипса Мандарта). Три прямые AT_A, BT_B и CT_C делят периметр пополам и пересекаются в одной точке Нагеля Na — X(8).

Трилинейные координаты точек касания треугольника вневписанными окружностями задаются формулами:

• вершина ${\displaystyle A=0:\operatorname {cosec} ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\operatorname {cosec} ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}$
• вершина ${\displaystyle B=\operatorname {cosec} ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\operatorname {cosec} ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}$
• вершина ${\displaystyle C=\operatorname {cosec} ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\operatorname {cosec} ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0}$.

Трилинейные координаты точки Нагеля задаются формулами:

${\displaystyle \operatorname {cosec} ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\operatorname {cosec} ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\operatorname {cosec} ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}$,

или, эквивалентно, по теореме синусов,

${\displaystyle {\frac {b+c-a}{a}}:{\frac {c+a-b}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}}$.

Точка Нагеля является изотомическим сопряжением точки Жергонна.

Трилинейные координаты вершин треугольника, образованного основаниями биссектрис, задаются формулами:

• вершина ${\displaystyle A=0:1:1}$
• вершина ${\displaystyle B=1:0:1}$
• вершина ${\displaystyle C=1:1:0}$.

Трилинейные координаты треугольника, образованного точками касания сторон вневписанными окружностями, задаются формулами:

• вершина ${\displaystyle A=-1:1:1}$
• вершина ${\displaystyle B=1:-1:1}$
• вершина ${\displaystyle C=1:-1:-1}$.

Пусть x: y: z — координаты точки в трилинейных координатах, и пусть u = cos²(A/2), v = cos²(B/2), w = cos²(C/2). Четыре окружности, описанные выше, можно задать любым из двух указанных способов^[8]:

• Вписанная окружность:

${\displaystyle \ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy=0}$

${\displaystyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0}$.

• A-внешневписанная:

${\displaystyle \ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz+2wuzx+2uvxy=0}$

${\displaystyle \pm {\sqrt {-x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0}$.

• B-внешневписанная:

${\displaystyle \ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz-2wuzx+2uvxy=0}$

${\displaystyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {-y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0}$.

• C-внешневписанная:

${\displaystyle \ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz+2wuzx-2uvxy=0}$

${\displaystyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {-z}}\cos {\frac {C}{2}}=0}$.

• ${\displaystyle r={\frac {p-a}{\operatorname {ctg} (\alpha /2)}}={\frac {p-b}{\operatorname {ctg} (\beta /2)}}={\frac {p-c}{\operatorname {ctg} (\gamma /2)}}}$, ${\displaystyle p}$ — полупериметр треугольника (Теорема котангенсов).

• Радиус вписанной окружности не больше одной девятой суммы высот треугольника^[9].

• Неравенство Эйлера: радиус вписанной окружности не превосходит половины радиуса описанной окружности и равенство имеет место лишь для равностороннего треугольника^[10].

• Предположим, что точки касания вписанной окружности делят стороны на отрезки длиной x и y, y и z, z и x. Тогда вписанная окружность имеет радиус^[11]:

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {xyz}{x+y+z}}}}$

и площадь треугольника равна:

${\displaystyle K={\sqrt {xyz(x+y+z)}}.}$

• Если высоты, опущенные на стороны a, b и c есть h_a, h_b и h_c, то радиус вписанной окружности r равен одной трети гармонического среднего этих высот, то есть:

${\displaystyle r={\frac {1}{h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}}}.}$

• Произведение радиуса вписанной окружности r и радиуса описанной окружности R треугольника со сторонами a, b и c равен^[1]:

${\displaystyle rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.}$

• Некоторые связи сторон, радиусов вписанной окружности и описанной окружностей^[12]:

${\displaystyle ab+bc+ca=s^{2}+(4R+r)r,}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=2s^{2}-2(4R+r)r.}$

• Любая прямая, проходящая через треугольник и делящая площадь треугольника и периметр пополам, проходит через центр вписанной окружности. Таких прямых может существовать три, две или одна^[13].

• Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности^[14].

Теорема Эйлера утверждает, что в треугольнике^[10]:

${\displaystyle (R-r_{in})^{2}=d^{2}+r_{in}^{2},}$

где R и r_in являются радиусами описанной и вписанной окружностей соответственно, а d — расстояние между центрами этих окружностей.

Для вневписанных окружностей уравнение выглядит похоже:

${\displaystyle (R+r_{ex})^{2}=d^{2}+r_{ex}^{2},}$

где r_ex — радиус одной из вневписанных окружностей, а d — расстояние между центрами описанной и вневписанной окружностей^[15][16][17].

• Возводя в квадрат и приводя подобные из первой формулы Эйлера выше имеем:

Квадрат расстояния от центра вписанной окружности I до центра описанной O задаётся уравнением^[18]:

${\displaystyle OI^{2}=d^{2}=R(R-2r_{in}),}$

Аналогично для второй формулы:

${\displaystyle d^{2}=R(R+2r_{ex}).}$

• Расстояние от центра вписанной окружности до центра N окружности девяти точек равно^[18]:

${\displaystyle IN={\frac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {1}{2}}R.}$

• Расстояние от вершины до точек касания вписанной окружности на прилегающих сторонах равно полусумме длин прилегающих сторон минус половина противолежащей стороны^[19]. Так, для вершины B и прилежащих точек касания T_A и T_C,

${\displaystyle BT_{A}=BT_{C}={\frac {BC+AB-AC}{2}}.}$

• Если обозначить центр вписанной окружности треугольника ABC буквой I, мы получим^[20]:

${\displaystyle {\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1}$

и^[21]

${\displaystyle IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2}.}$

• Если обозначить за I центр вписанной окружности треугольника ABC, AD — биссектриса угла A, то ${\displaystyle {\frac {AI}{DI}}={\frac {AB+AC}{BC}}}$
• Центр вписанной окружности лежит в треугольнике, вершины которого являются серединами сторон треугольника^[18].
• Теорема о трезубце или теорема трилистника, или теорема Клайнэра: Если D — точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью треугольника ABC, I и J — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны BC, тогда ${\displaystyle |DI|=|DB|=|DC|=|DJ|}$.

• Теорема Мансиона (составная часть Теоремы о трезубце). Середины трёх отрезков, соединяющих центр вписанной окружности с центрами вневписанных окружностей лежат на описанной окружности^[10].

• Теорема Харкорта. Пусть треугольник задан своими вершинами A, B и C, противоположные вершинам стороны имеют длины a, b и c, площадь равна K и прямая касается вписанной в треугольник окружности в произвольной точке. Обозначим расстояния от вершин треугольника до прямой через a ', b ' и c ', при этом, если вершина и центр окружности лежат по разные стороны от прямой, расстояние считается отрицательным. Тогда:

${\displaystyle aa^{\prime }+bb^{\prime }+cc^{\prime }=2K.}$.

• Следующее отношение выполняется для радиуса r вписанной окружности, радиуса R описанной окружности, полупериметра s и радиусов вневписанных окружностей r_a, r_b, r_c^[12]:

${\displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}=4R+r,}$

${\displaystyle r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}=s^{2},}$

${\displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}=(4R+r)^{2}-2s^{2},}$

• Окружность, проходящая через центры вневписанных окружностей, имеет радиус 2R^[12].

• Если H — ортоцентр треугольника ABC, то^[12]:

${\displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=AH+BH+CH+2R,}$

${\displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+(2R)^{2}.}$

• Вершины A, B и C треугольника ABC являются основаниями высот треугольника J_AJ_B,J_C,

где J_AJ_B,J_C — центры вневписанных окружностей^[10].

• Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности^[14].
• Центр Шпикера треугольника является радикальным центром его вневписанных окружностей^[22]. Если из центра Шпикера треугольника провести 6 касательных к 3 вневписанным окружностям треугольника, то все их длины будут равны между собой.

Пусть дан треугольник ABC. Пусть вневписанные окружности треугольника ABC, противоположные вершинам A, B и C, есть соответственно E_A, E_B, E_C (см. рисунок). Тогда окружность Аполлония E (на рис. справа показана зелёным цветом) касается внутренним образом сразу трёх вневписанных окружностей треугольника ABC в точках соответственно E_A, E_B и E_C (см. рисунок)^[23].

Радиус окружности Аполлония равен ${\displaystyle {\frac {r^{2}+s^{2}}{4r}}}$, где r — радиус вписанной окружности и s — полупериметр треугольника^[24].

• Точка Аполлония Ap в Энциклопедии центров треугольника у Кларка Кимберлинга (Encyclopedia of Triangle Centers (ETC)) именуется как центр треугольника под именем X(181).
• Точка Аполлония Ap или X(181) определяется следующим образом:

Пусть A' , B' и C' есть точки касания окружности Аполлония E с соответствующими вневписанными окружностями. Тогда прямые AA' , BB' и CC' пересекаются в одной точке Ap, которую называют точкой Аполлония треугольника ABC.

Изогональное сопряжение имеет ровно четыре неподвижные точки (то есть точки, которые сопряжены самим себе): центр вписанной окружности и центры вневписанных окружностей треугольника^[25].

Ортоцентр треугольника изогонально сопряжён центру описанной окружности этого треугольника^[25].

• Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вписанную окружность. Они называются описанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важным является то, что суммы противоположных сторон равны. Это утверждение называется теоремой Пито.
• Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вневписанную окружность. Они называются внеописанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важное свойство отмечает теорема Уркхарта. Она утверждает:
• Если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точках E и F, то:

${\displaystyle AB+BC=AD+DC\quad \Leftrightarrow \quad AE+EC=AF+FC.}$