Лемма Бореля — Кантелли

Пусть дано вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ и последовательность событий ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}}$. Обозначим

${\displaystyle A=\limsup \limits _{n\to \infty }A_{n}\equiv \bigcap \limits _{n=1}^{\infty }\left(\bigcup \limits _{m=n}^{\infty }A_{m}\right)}$.

Тогда если ряд ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{n}\right)}$ сходится, то ${\displaystyle \mathbb {P} (A)=0}$.

Если все события ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ совместно независимы, и ряд ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{n}\right)}$ расходится, то ${\displaystyle \mathbb {P} (A)=1}$.

В первой лемме Бореля — Кантелли независимость событий не требуется.