АссистентНовый вопросИсторияОбласти знаний
Партнёрские проектыСпецпроектыСтать автором
Сменить язык
О РУВИКИ

N-мерная грань

В стереометрии грань — это плоская поверхность (плоская область, например — многоугольник или круг), которая образует часть границы твердого объекта;[1] трехмерное тело, ограниченное исключительно гранями, есть многогранник.

В технических трактовках геометрии многогранников и политопов более высокой размерности этот термин также используется для обозначения элемента любой размерности более общего политопа (в любом количестве измерений).[2]

Многоугольник (грань)

В элементарной геометрии грань — это многоугольник[комм. 1] на границе многогранника.[3][4] Другие названия многоугольной грани включают сторону многогранника и евклидову плоскую плитку.

Например, любой из шести квадратов, ограничивающих куб, является гранью куба. Иногда «грань» также используется для обозначения двумерных особенностей четырёхмерного многогранника. В этом смысле тессеракт имеет 24 квадратных грани, каждая из которых разделяет два из 8 кубов, образующих тессеракт.

Стандартные примеры по символу Шлефли
Многогранник Звездный многогранник Евклидова мозаика Гиперболическая мозаика 4-многогранник
{4,3} {5/2,5} {4,4} {4,5} {4,3,3}
Hexahedron.png</img>



</br> Куб имеет 3 квадратных грани у каждой вершины. 		Small stellated dodecahedron.png</img>



</br> Малый звездчатый додекаэдр имеет 5 пентаграммных граней у каждой вершины. 		Tile 4,4.svg</img>



</br> Квадратная мозаика на евклидовой плоскости имеет 4 квадратных грани на каждую вершину. 		H2-5-4-primal.svg</img>



</br> Квадратная мозаика пятого порядка имеет 5 квадратных граней на вершину. 		Hypercube.svg</img>



</br> Тессеракт имеет 3 квадратных грани у каждого ребра.

Количество многоугольных граней многогранника

Поверхность любого выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику

где V — количество вершин, E — количество ребер, а F — количество граней. Это уравнение известно как формула многогранника Эйлера. Таким образом, количество граней на 2 больше, чем разность количества ребер и количества вершин. Например, у куба 12 ребер и 8 вершин, а значит, 6 граней.

k-мерная грань

В многомерной геометрии грани политопа являются элементами всех измерений.[5][6][7] Грань размерности k называется k-мерной гранью. Например, многоугольные грани обычного многогранника являются 2-мерными гранями. В теории множеств набор граней многогранника включает в себя сам многогранник и пустое множество, где пустое множество для согласованности имеет «размерность» -1. Для любого политопа (n-мерного многогранника), −1 ≤ k ≤ n.

Например, в этом значении грани куба включают в себя сам куб(3-мерная грань), его (квадратные) грани, (линейные) ребра (1-мерные грани), (точечные) вершины (0-мерные грани) и пустое множество. Ниже приведены грани 4-мерного многогранника:

В некоторых областях математики, таких как комбинаторика многогранников, многогранник по определению выпуклый. Формально грань многогранника P есть пересечение P с любым замкнутым полупространством, граница которого не пересекается с внутренней частью P.[8] Из этого определения следует, что множество граней многогранника включает в себя сам многогранник и пустое множество.[9][10]

В других областях математики, таких как теории абстрактных многогранников и звездчатых многогранников, требование выпуклости ослаблено. Абстрактная теория по-прежнему требует, чтобы множество граней включало в себя сам политоп и пустое множество.

Ячейка или трехмерная грань

Ячейка — это многогранный элемент (трехмерная грань) 4-мерного многогранника или 3-мерной мозаики или фигуры более высокой размерности. Ячейки являются гранями для четырёхмерных политопов и трехмерных мазаик.

Примеры:

Стандартные примеры по символу Шлефли
четырёхмерные политопы 3-мерные мозаики
{4,3,3} {5,3,3} {4,3,4} {5,3,4}
Hypercube.svg



Тессеракт имеет 3 кубические ячейки на ребро. 		Schlegel wireframe 120-cell.png



120-ячейник имеет 3 додекаэдрические ячейки на ребро. 		Partial cubic honeycomb.png



Кубическая мозаика заполняет евклидово 3‑мерное пространство кубами с 4 ячейками на каждом ребре. 		Hyperbolic orthogonal dodecahedral honeycomb.png



Додекаэдрические соты 4 порядка заполняют трёхмерное гиперболическое пространство додекаэдрами, по 4 ячейки на ребро.

Фасета или (n − 1)-мерная грань

В многомерной геометрии Фасетами (также называемыми гипергранями)[11] n-мерного политопа являются (n -1)-грани (грани размерности на единицу меньше, чем сам многогранник).[12] Многогранник ограничен своими гранями.

Например:

Примечания

Комментарии

  1. ↑ Некоторые другие многоугольники, которые не являются гранями, также важны для многогранников и разбиений. К ним относятся многоугольники Петри, линки вершины многогранника и фасеты (плоские многоугольники, образованные копланарными вершинами, которые не лежат на одной грани многогранника).

Источники

  1. ↑ Merriam-Webster's Collegiate Dictionary. — Eleventh. — Springfield, MA : Merriam-Webster, 2004.
  2. ↑ Lectures in Discrete Geometry, Springer, 2002, ISBN 9780387953748, <https://books.google.com/books?id=0N5RVe5lKQUC&pg=PA86> .
  3. ↑ , ISBN 9780387953748, <https://books.google.com/books?id=0N5RVe5lKQUC&pg=PA86> Matoušek, Jiří (2002), Lectures in Discrete Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 212, Springer, 5.3 Faces of a Convex Polytope, p. 86, ISBN 9780387953748.
  4. ↑ , ISBN 9780521664059, <https://books.google.com/books?id=OJowej1QWpoC&pg=PA13> .
  5. ↑ Matoušek, Jiří (2002), Lectures in Discrete Geometry, vol. 212, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 5.3 Faces of a Convex Polytope, p. 86, ISBN 9780387953748, <https://books.google.com/books?id=0N5RVe5lKQUC&pg=PA86> Matoušek, Jiří (2002), Lectures in Discrete Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 212, Springer, 5.3 Faces of a Convex Polytope, p. 86, ISBN 9780387953748.
  6. ↑ Grünbaum, Branko (2003), Convex Polytopes, vol. 221, Graduate Texts in Mathematics, Springer .
  7. ↑ Ziegler, Günter M. (1995), Lectures on Polytopes, vol. 152, Graduate Texts in Mathematics, Springer, Definition 2.1, p. 51, ISBN 9780387943657, <https://books.google.com/books?id=xd25TXSSUcgC&pg=PA51> .
  8. ↑ Matoušek (2002) and Ziegler (1995) use a slightly different but equivalent definition, which amounts to intersecting P with either a hyperplane disjoint from the interior of P or the whole space.
  9. ↑ Grünbaum, Branko (2003), Convex Polytopes, vol. 221 (2nd ed.), Graduate Texts in Mathematics, Springer, с. 17 Grünbaum, Branko (2003), Convex Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, vol. 221 (2nd ed.), Springer, p. 17.
  10. ↑ Ziegler, Günter M. (1995), Lectures on Polytopes, vol. 152, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 9780387943657, <https://books.google.com/books?id=xd25TXSSUcgC&pg=PA51> Ziegler, Günter M. (1995), Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, vol. 152, Springer, Definition 2.1, p. 51, ISBN 9780387943657.
  11. ↑ N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.1 Polytopes and Honeycombs, p.225
  12. ↑ Matoušek (2002), p. 87; Grünbaum (2003), p. 27; Ziegler (1995), p. 17.

Категории