Электрическая индукция

Для полного определения электромагнитного поля уравнения Максвелла необходимо дополнить материальными уравнениями, связывающими векторы ${\displaystyle \mathbf {D} }$ и ${\displaystyle \mathbf {E} }$ (а также ${\displaystyle \mathbf {H} }$ и ${\displaystyle \mathbf {B} }$) в веществе. В вакууме эти векторы совпадают, а в веществе связь между ними зачастую предполагают линейной:

${\displaystyle D_{i}=\sum \limits _{j=1}^{3}\varepsilon _{ij}E_{j}}$.

Величины ${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$ образуют тензор диэлектрической проницаемости. Он может зависеть как от точки внутри тела, так и от частоты колебаний электромагнитного поля. В изотропных средах тензор диэлектрической проницаемости сводится к скаляру, называемому также диэлектрической проницаемостью. Материальные уравнения для ${\displaystyle \mathbf {D} }$ приобретают тогда простой вид:

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} }$.

Имеются среды, для которых зависимость между ${\displaystyle \mathbf {D} }$ и ${\displaystyle \mathbf {E} }$ является нелинейной (в основном — сегнетоэлектрики).

На границе двух веществ скачок нормальной компоненты ${\displaystyle D_{n}}$ вектора ${\displaystyle \mathbf {D} }$ определяется поверхностной плотностью свободных зарядов:

${\displaystyle D_{2n}-D_{1n}=4\pi \sigma (\mathbf {r} )\,}$ (в СГС)

${\displaystyle D_{2n}-D_{1n}=\sigma (\mathbf {r} )\,}$ (в СИ),

где ${\displaystyle \mathbf {r} }$ — точка на поверхности раздела, ${\displaystyle \mathbf {n} }$ — вектор нормали к этой поверхности в данной точке (ориентированный из первой среды во вторую), ${\displaystyle \sigma (\mathbf {r} )}$ — поверхностная плотность свободных зарядов.

Для диэлектриков такое уравнение означает, что нормальная компонента вектора ${\displaystyle \mathbf {D} }$ непрерывна на границе сред. Простого уравнения для касательной составляющей ${\displaystyle \mathbf {D} }$ записать нельзя, она должна определяться из граничных условий для ${\displaystyle \mathbf {E} }$ и материальных уравнений.