Циклоидальный маятник

Циклотронный маятник изобретён Х. Гюйгенсом, описавшим принципы работы и практические устройства на его основе в своём труде Horologivm Oscillatorivn^[2]. В этой работе он представил часовой механизм, измеряющий время с помощью циклотронного маятника (см. рисунок).

Особенностью циклотронного маятника является то, что материальная точка (подвес) движется по циклоиде, а не по дуге окружности. В этом случае изохронность маятника объясняется свойствами циклоиды.

Циклоиду можно представить, наблюдая за движением точки на колесе (диске), расположенной в месте соприкосновения колеса (диска) и поверхности, по которой он двигается, при качении по горизонтальной поверхности с постоянной угловой скоростью. Траекторией движения такой точки будет кривая, называемая циклоидой. Максимальная амплитуда циклоиды будет равна диаметру колеса (диска), а цикл (период) определяться углом качения ${\displaystyle \varphi }$, изменяющимся от ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle 2\pi }$. При дальнейшем движении колеса (диска) с той же скоростью достигается идеальная изохронность движения материальной точки на колесе.

Математически циклоиду можно задать с помощью системы уравнений:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \begin{cases} x = A (\varphi - \sin \varphi ) \\ y = A (\varphi - \cos \varphi ) \\ \end{cases}} ,

где ${\displaystyle A}$ — радиус колеса, ${\displaystyle \varphi }$ — угол качения, или угол, на который повернулось колесо (диск) от своего исходного положения.

Однако, в случае маятника необходимо, чтобы циклоида была обращена остриями вверх, для чего производится вычитание координаты ${\displaystyle y}$ из Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle 2A} :

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \begin{cases} x = A (\varphi - \sin \varphi ) \\ y = A (1 + \cos \varphi ) \\ \end{cases}} .

Поскольку

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle mv=-mg\frac{dy}{ds}} ,

то, дифференцируя нашу систему уравнений, получим уравнение движения циклоидального маятника:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \frac{d^2}{dt^2}\cos \Biggl( \frac{\varphi}{2} \Biggl) = - \frac{G}{4A}\cos \Biggl( \frac{\varphi}{2}\Biggl)} .

Сравнивая это уравнение с линейным уравнением математического маятника:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \frac{d^2 \varphi }{dt^2} + \omega^2 \varphi = 0}

видно, что в случае циклоидального маятника функцией является не величина угла ${\displaystyle \varphi }$, а Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \cos \Biggl(\frac{\varphi}{2} \Biggl)} .

Интегрируя, получим известное выражение для периода колебаний:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle T=2\pi \sqrt{\frac{4A}{G}}} .

Существенным отличием от аналогичного выражения для математического маятника является то, что это выражение является точным решением, а не приближённым, и справедливо для любых амплитуд (а не малых, как в приближённом случае математического маятника). Из этого следует, что циклоидальный маятник строго изохронен, и его период никак не зависит от величины амплитуды.

Гюйгенс использовал это свойство для создания точных часов, используя теорему о движении по циклоиде без трения: «Эволюта циклоиды является также циклоидой, тождественной с исходной».

Практического применения в часах циклоидальный маятник не нашёл применения, поскольку для обеспечения необходимой точности достаточно использовать обычный маятник, добиваясь нужной степени синхронизма регулированием длины маятника, массы подвеса и упругого тела (короткой пружины или металлической пластинки), что используется в маятниковых часах.