Ответ на вопрос
Оборотный маятник
Оборо́тный ма́ятник (маятник Катера) — физический маятник, конструкция которого позволяет с высокой точностью определять ускорение свободного падения g путём измерения только двух величин — периода малых колебаний и расстояния между двумя опорными призмами. Прибор был предложен английским физиком Генри Катером в 1817 году и на протяжении более чем столетия оставался основным инструментом гравиметрических измерений[1][2].
Общие сведения
| оборотный маятник | |
|---|---|
| Область использования | механика при определении ускорения свободного падения |
| Дата появления | 1817 |
| Автор понятия | Генри Катер |
| Базовые понятия | физический маятник, центр масс, момент инерции |
Устройство
Классический оборотный маятник представляет собой длинный жёсткий металлический стержень, вдоль которого закреплены два обращённых внутрь опорных ножа-призмы O1 и O2. Расстояние между рабочими рёбрами призм фиксировано и измеряется заводским способом с точностью до сотых долей миллиметра. Между призмами на стержне находятся два груза: массивный неподвижный (обычно закреплённый вблизи одного из ножей) и меньший подвижный, положение которого можно плавно изменять с помощью микрометрического винта. Маятник устанавливается острым ребром одной из призм на горизонтальную опорную площадку и совершает свободные колебания в вертикальной плоскости[3][4].
Ключевая особенность устройства состоит в том, что маятник можно перевернуть и подвесить на любую из двух призм: именно этот «оборот» и дал прибору название.
Теория колебаний физического маятника
Период и приведённая длина
Физический маятник — твёрдое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси, не проходящей через его центр масс. При малых углах отклонения его период колебаний равен:
где I — момент инерции тела относительно оси подвеса, m — масса, a — расстояние от точки подвеса до центра масс C[2].
Введём величину приведенной длины физического маятника, определяемой по формуле:
Тогда период запишется в виде:
совпадающем с формулой периода математического маятника длиной l. Иначе говоря, физический маятник колеблется с той же частотой, что и математический маятник, длина подвеса которого равна его приведённой длине[2][5].
Точка, лежащая на прямой, проходящей через точку подвеса и центр масс, на расстоянии l от точки подвеса, называется точкой качания (или центром качаний). Она находится по другую сторону от центра масс относительно точки подвеса.
Теорема Гюйгенса о взаимности точки подвеса и точки качания
Основой действия оборотного маятника является теорема Гюйгенса о сопряжённых точках физического маятника: точка подвеса и точка качания являются взаимно сопряжёнными. Это означает, что если маятник подвесить не за исходную точку подвеса O1, а за точку качания O2, то период его малых колебаний не изменится, а прежняя точка подвеса O1 сделается новой точкой качания[2][5].
Доказательство проводится с использованием теоремы Гюйгенса — Штейнера для момента инерции: I = IC + m a2, где IC — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс. Подставляя это выражение в формулу для приведённой длины и рассматривая обращённую подвеску, получают, что расстояние от точки O2 до центра масс равно l − a = IC/(m a), а приведённая длина, вычисленная от точки O2, вновь оказывается равной l[2].
Таким образом, если для маятника найдены две сопряжённые точки O1 и O2, то расстояние L0 между ними равно приведённой длине маятника, а период колебаний вокруг любой из них — периоду того же математического маятника длиной L0.
Методика измерения ускорения свободного падения
Идея метода Катера состоит в следующем. Маятник поочерёдно подвешивают за каждую из двух опорных призм O1 и O2 и измеряют соответствующие периоды колебаний T1 и T2. Точным перемещением подвижного груза вдоль стержня добиваются равенства T1 = T2 = T. По теореме Гюйгенса это означает, что расстояние между рёбрами призм совпадает с приведённой длиной физического маятника L0[3][6].
Тогда ускорение свободного падения вычисляется по формуле:
Расстояние L0 между призмами измеряется заранее с высокой точностью механическими средствами (компаратором) и служит паспортной характеристикой прибора. Период T находят по измерению суммарного времени большого числа колебаний (обычно от 100 до нескольких тысяч), что позволяет уменьшить относительную погрешность периода до величин порядка 10−5—10−6[4][3].
На практике добиться абсолютного равенства T1 = T2 затруднительно, поэтому строят графики зависимостей T1(x) и T2(x) от координаты подвижного груза x, а искомый период отыскивают как ординату точки их пересечения[3]. Ф. В. Бессель в 1826 году показал, что точного совпадения периодов вообще можно не добиваться: при малом их различии значение g вычисляется через T1, T2 и обе половины приведённой длины по интерполяционной формуле.
Почему оборотный маятник точнее математического
Формула периода математического маятника T = 2π√(l/g) требует знания длины подвеса. Реализовать «идеальный» математический маятник — точечную массу на невесомой нерастяжимой нити — экспериментально невозможно: у реального грузика конечные размеры, нить имеет массу и растягивается, а сам грузик колеблется и как физический маятник вокруг точки крепления к нити[4].
Для произвольного физического маятника формула T = 2π√(I/mga) содержит момент инерции I, который для тела сложной формы измеряется с большой погрешностью. Ключевое преимущество оборотного маятника состоит в том, что момент инерции полностью исключается из расчётной формулы: при равенстве периодов на обеих призмах приведённая длина заменяется непосредственно измеряемым геометрическим расстоянием между ножами[4][2]. Массу маятника и период его колебаний, в свою очередь, можно измерить с очень высокой относительной точностью, поэтому суммарная погрешность определения g снижается на несколько порядков по сравнению с методом математического маятника.
История
Идея использовать симметричный обратимый маятник для абсолютных измерений g была высказана ещё на рубеже XVIII—XIX веков французским учёным Г. Прони и, независимо, И. Г. Бором, однако практическое воплощение эта идея получила лишь в 1817 году, когда английский физик и капитан армии Генри Катер изготовил первый работающий прибор и опубликовал результаты в 1818 году в «Philosophical Transactions of the Royal Society»[1]. Уже в первом эксперименте Катер определил длину секундного маятника в Лондоне с точностью около 7 мкм, что соответствует относительной погрешности измерения g около 7·10−6 (7 мГал). В британском законе о мерах и весах 1824 года ярд определялся материальным эталоном; отношение ярда к длине секундного маятника, полученное по измерениям Катера, было указано как способ восстановления эталона в случае его утраты[7].
В 1826 году Ф. В. Бессель существенно усовершенствовал метод: он показал, что от точного равенства периодов на двух ножах можно отказаться, ввёл симметричную конструкцию маятника с внутренней асимметрией масс (что позволяло скомпенсировать погрешности от сопротивления воздуха), а также предложил взаимозаменяемые ножи для устранения систематической ошибки, связанной с ненулевым радиусом закругления рёбер. Такой прибор получил название маятника Бесселя.
На протяжении всего XIX и первой трети XX века оборотные маятники Катера и Бесселя оставались главным инструментом абсолютной гравиметрии и участвовали в крупнейших геодезических экспедициях — от индийской «Великой тригонометрической съёмки» до русских измерений на Шпицбергене и в Пулкове. Значительный вклад в развитие маятниковых гравиметрических измерений в России внёс академик А. Я. Купфер — основатель Депо образцовых мер и весов, применявший оборотный маятник для сравнения силы тяжести в Санкт-Петербурге и других пунктах Российской империи.
Точность и практические применения
Достигнутая Катером относительная точность 7·10−6 уже в первой половине XIX века оказалась более чем достаточной для экспериментального подтверждения предсказанной И. Ньютоном и А. К. Клеро зависимости g от географической широты: разница между экватором и полюсом составляет около 0,5 % (примерно 5000 мГал), тогда как чувствительность прибора Катера была на три порядка выше. С помощью маятников Катера — Бесселя была уточнена фигура Земли и её полярное сжатие.
В усовершенствованном виде (маятники фон Штернека, четырёхмаятниковые приборы фирмы «Аскания» и др.) прибор позволял к началу XX века измерять g с относительной точностью до 10−7, что дало возможность выявлять и более тонкие эффекты — гравитационные аномалии, связанные с геологическим строением недр (залежи руд, соляных куполов и углеводородов), а также рельефом местности и распределением плотностей в земной коре[4][5]. На этой основе маятниковая гравиметрия стала важным методом разведочной геофизики и опорных геодезических сетей.
С 1930-х годов в полевой гравиметрии оборотные маятники были постепенно вытеснены пружинными относительными гравиметрами, а с 1970-х — баллистическими (лазерно-интерференционными) абсолютными гравиметрами, дающими точность до 10−9. Тем не менее оборотный маятник и по сей день остаётся классическим и наглядным лабораторным прибором для изучения теории колебаний и измерения g в учебных физических практикумах высших учебных заведений[3][5][4].