Двойной маятник

Можно рассматривать несколько вариантов двойных маятников: два звена могут быть одинаковыми или иметь разную длину и вес; они могут быть простыми маятниками или физическими маятниками; движение может происходить в трёх измерениях или быть ограничено вертикальной плоскостью. В следующем анализе звенья избраны как одинаковые физические маятники длины ${\displaystyle \ell }$ и массы ${\displaystyle m}$, и их движение ограничено двумя измерениями.

У физического маятника масса распределена вдоль всей его длины. Если масса распределена равномерно, тогда центр масс каждого звена совпадает с его геометрическим центром, и звено имеет такой момент инерции ${\displaystyle \textstyle I={\frac {1}{12}}m\ell ^{2}}$ относительно этой точки.

Удобно использовать углы между каждым звеном и вертикалью как обобщённые координаты, определяя пространство конфигураций системы. Если положить начало координат декартовой системы координат в точке подвешивания первого маятника, тогда центр масс этого маятника находится в:

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}={\frac {\ell }{2}}\sin \theta _{1}\\y_{1}=-{\frac {\ell }{2}}\cos \theta _{1}\end{cases}}}$

и центр масс другого в

${\displaystyle {\begin{cases}x_{2}=\ell \left(\sin \theta _{1}+{\frac {1}{2}}\sin \theta _{2}\right)\\y_{2}=-\ell \left(\cos \theta _{1}+{\frac {1}{2}}\cos \theta _{2}\right).\end{cases}}}$

Этой информации достаточно для того чтобы записать Лагранжиан.

Лагранжиан является разницей между кинетической энергией и потенциальной энергией:

${\displaystyle {\begin{aligned}L&={\frac {1}{2}}m\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\&={\frac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}_{1}}^{2}+{{\dot {y}}_{1}}^{2}+{{\dot {x}}_{2}}^{2}+{{\dot {y}}_{2}}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\end{aligned}}}$

Первое слагаемое это линейная кинетическая энергия центра масс тел, второе слагаемое это вращательная кинетическая энергия центров масс каждого из стержней. Последнее слагаемое это потенциальная энергия тел в однородном гравитационном поле.

Подставив координаты и перегруппируя уравнения имеем

${\displaystyle L={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}+4{{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+3{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right]+{\frac {1}{2}}mg\ell \left(3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}\right).}$

Обобщенные импульсы можно записать как

${\displaystyle {\begin{cases}p_{\theta _{1}}\equiv {\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{1}}}}={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[8{{\dot {\theta }}_{1}}+3{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right]\\\\p_{\theta _{2}}\equiv {\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{2}}}}={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[2{{\dot {\theta }}_{2}}+3{{\dot {\theta }}_{1}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right].\end{cases}}}$

Эти выражения можно преобразовать, чтобы получить

${\displaystyle {\begin{cases}{{\dot {\theta }}_{1}}={\dfrac {6}{m\ell ^{2}}}{\dfrac {2p_{\theta _{1}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{2}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}\\\\{{\dot {\theta }}_{2}}={\dfrac {6}{m\ell ^{2}}}{\dfrac {8p_{\theta _{2}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{1}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}.\end{cases}}}$

Уравнения движения, получаемые из уравнений Эйлера — Лагранжа, можно записать как

${\displaystyle {\begin{cases}{{\dot {p}}_{\theta _{1}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta _{1}}}=-{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left[{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+3{\frac {g}{\ell }}\sin \theta _{1}\right]\\\\{{\dot {p}}_{\theta _{2}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta _{2}}}=-{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left[-{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta _{2}\right].\end{cases}}}$

Последние четыре уравнения являются явными формулами для временной эволюций системы с заданным текущим состоянием. Невозможно продвинуться дальше и интегрировать эти уравнения аналитически, чтобы получить формулы для θ₁ и θ₂ как функции от времени. Однако возможно выполнить численное интегрирование, используя метод Рунге — Кутты или подобную технику.