Сферический маятник

На рисунке 1 представлен сферический маятник, точка подвеса которого находится в центре полусферы, длина маятника ${\displaystyle l}$, в качестве подвеса используется материальная точка массой ${\displaystyle m}$. Видно, что материальная точка движется под действием силы тяжести по шаровой поверхности радиуса ${\displaystyle l}$, равного длине маятника. На рисунке 2 показана анимация траектории движения сферического маятника.

Математически описание движения сферического маятника можно осуществить несколькими способами, например, используя набор переменных ${\displaystyle (l,\vartheta ,\varphi )}$ и сферическую систему координат, как это принято в Лагранжевой механике:

${\displaystyle {\begin{cases}x=l\cos \varphi \sin \vartheta \\y=l\sin \varphi sin\vartheta \\z=l\cos \vartheta \end{cases}}}$,

при этом закон сохранения энергии представим в виде:

${\displaystyle W={\frac {ml^{2}}{2}}{\Biggl (}{\dot {\vartheta ^{2}}}+\sin ^{2}\vartheta \cdot {\dot {\varphi ^{2}}}{\Biggl )}+mgl\cos \vartheta }$,

откуда можно получить:

${\displaystyle {\dot {\varphi }}={\frac {C}{l^{2}(1-u^{2})}}}$,

${\displaystyle t=\int {\frac {du}{\sqrt {U}}}}$,

где величина ${\displaystyle {\sqrt {U}}}$ действительна только при ${\displaystyle U>0}$. Чтобы результат оставался действительным, необходимо, чтобы через определённый промежуток времени направление движения сферического маятника менялось на противоположное. Этот промежуток времени ${\displaystyle \tau }$ равен:

${\displaystyle {\frac {\tau }{2}}=\int \limits _{u_{2}}^{u1}{\frac {du}{\sqrt {U}}}}$.

Однако, это означает, что колебание сферического маятника не является периодическим, а обладает медленной прецессией, причём т. н. угол прецессии ${\displaystyle \Delta \varphi }$ за полный период колебания сферического маятника определяется из выражения:

${\displaystyle 2k\pi +\Delta \varphi ={\frac {2C}{l^{2}}}\int \limits _{u_{2}}^{u_{1}}{\frac {du}{(1-u^{2}){\sqrt {U}}}}}$.

Кривая третьего порядка ${\displaystyle U(u)}$ и вид траектории движения сферического маятника сверху показаны на рисунке 3.

Решением задачи о сферическом маятнике может быть решена и в терминах механики Гамильтона, где гамильтониан может быть записан в терминах координат и импульсов:

${\displaystyle H=P_{\theta }{\dot {\theta }}+P_{\phi }{\dot {\phi }}-L}$,

${\displaystyle H=\underbrace {\left[{\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}ml^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}\right]} _{T}+\underbrace {{\bigg [}-mgl\cos \theta {\bigg ]}} _{V}={P_{\theta }^{2} \over 2ml^{2}}+{P_{\phi }^{2} \over 2ml^{2}\sin ^{2}\theta }-mgl\cos \theta }$,

Полученные уравнения Гамильтона представляют собой четыре дифференциальных уравнений первого порядка, описывающие изменения координат и импульсов от времени, где импульс представляет собой константу движения^[2].

Траектория движения сферического маятника описывается из выражения для полной энергии:

${\displaystyle E=\underbrace {\left[{\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}ml^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}\right]} _{T}+\underbrace {{\bigg [}-mgl\cos \theta {\bigg ]}} _{V}}$,

где ${\displaystyle T}$ и ${\displaystyle V}$ — кинетическая и потенциальная энергия, соответственно. Решениями будут эллиптические интегралы первого рода (для ${\displaystyle \theta }$):

${\displaystyle t(\theta )={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}ml^{2}}}\int \left[E-{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}+mgl\cos \theta \right]^{-{\frac {1}{2}}}\,d\theta }$

и второго рода (для ${\displaystyle \phi }$):

${\displaystyle \phi (\theta )={\frac {L_{z}}{l{\sqrt {2m}}}}\int \sin ^{-2}\theta \left[E-{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}+mgl\cos \theta \right]^{-{\frac {1}{2}}}\,d\theta }$.