Характеризация (математика)
Характеризация — совокупность условий, которые, хотя и могут отличаться от определения объекта, логически эквивалентны ему[1]. Утверждение «Свойство P характеризует объект X» означает, что не только X обладает свойством P, но и что X — единственный объект, обладающий этим свойством (то есть P является определяющим свойством X). Аналогично, говорят, что совокупность свойств P характеризует X, если эти свойства отличают X от всех других объектов. Хотя характеризация однозначно определяет объект, для одного и того же объекта может существовать несколько различных характеризаций. Типичные математические формулировки характеризации X через P включают: «P является необходимым и достаточным условием для X» и «X выполняется тогда и только тогда, когда P».
Также часто встречаются утверждения вида: «Свойство Q характеризует Y с точностью до изоморфизма». Первый тип утверждения другими словами означает, что экстенсионал P — это синглетон-множество, а второй — что экстенсионал Q представляет собой единственный класс эквивалентности (для изоморфизма, в данном примере; в зависимости от использования «с точностью до» может рассматриваться иная эквивалентность).
В одном из справочников по математической терминологии отмечается, что слово «характеристика» происходит от греческого kharax — «заострённый кол»:
От греческого kharax произошло kharakhter — инструмент для маркировки или гравировки объекта. После того как объект был отмечен, он становился отличимым, поэтому характер чего-либо стал означать его отличительную природу. Позднегреческий суффикс -istikos превратил существительное character в прилагательное characteristic, которое, помимо сохранения прилагательного значения, впоследствии стало использоваться и как существительное[2].
Подобно тому как в химии характеристическое свойство вещества позволяет идентифицировать образец, или в материаловедении структуры и свойства определяют характеризацию, в математике постоянно ведётся поиск свойств, позволяющих выделить нужную особенность в теории или системе. Характеризация не является уникальной для математики, но поскольку эта наука абстрактна, значительная часть её деятельности может быть описана как «характеризация». Например, в Mathematical Reviews по состоянию на 2018 год более 24 000 статей содержат это слово в названии, а 93 600 — где-либо в тексте обзора.
В произвольном контексте объектов и признаков характеризации могут быть выражены через гетерогенное отношение aRb, означающее, что объект a обладает признаком b. Например, b может означать абстрактность или конкретность. Объекты можно рассматривать как экстенсионалы мира, а признаки — как выражения интенсионалов. Последовательная программа характеризации различных объектов приводит к их категоризации.
Характеризации в высшей математике
Характеризации особенно важны в высшей математике, где они занимают значительный объём теории в типичных университетских курсах. Их часто называют «необходимыми и достаточными условиями» или «утверждениями вида “тогда и только тогда, когда”». Характеризации позволяют привести сложные объекты к форме, удобной для изучения, и многие типы математических объектов имеют несколько характеризаций. Иногда одна из характеризаций оказывается наиболее удобной для обобщения на абстрактные ситуации и выбирается в качестве определения обобщённого понятия.
Например, в реальном анализе свойство полноты вещественных чисел имеет несколько полезных характеризаций:[3]
- Свойство существования верхней грани
- Свойство существования нижней грани
- Свойство вложенных отрезков
- Теорема Больцано — Вейерштрасса
- Сходимость последовательностей Коши
Типичный университетский курс анализа начинается с первого из этих свойств — свойство существования верхней грани, принимаемого за аксиоматическое определение вещественных чисел (в некоторых текстах называется «аксиомой полноты»), и постепенно доказывает эквивалентность с последним — сходимостью последовательностей Коши. Эти доказательства достаточно нетривиальны. Среди этих пяти характеризаций точка зрения через последовательности Коши оказывается наиболее удобной для обобщения и выбирается в качестве определения полноты абстрактного метрического пространства. Однако свойство существования верхней грани часто наиболее полезно для доказательства фактов о самих вещественных числах, например, теоремы о промежуточном значении. Таким образом, наиболее полезные и наиболее обобщаемые характеризации могут различаться.
Другой пример этого явления встречается в физике. Гамильтонова механика является характеризацией классической механики, эквивалентной законам Ньютона. Однако она гораздо проще обобщается на квантовую механику и статистическую механику, что и составляет её основное достоинство. Тем не менее, для изучения самой классической механики часто предпочитают другую характеризацию — лагранжеву механику[4].
Поскольку результат характеризации эквивалентен исходному определению или аксиомам объекта, он может использоваться как эквивалентное определение, из которого исходное определение выводится как теорема. Это приводит к вопросу о том, какое из определений «лучшее» в конкретной ситуации из множества возможных. Абсолютного ответа нет, и выбор авторов книг или статей часто определяется эстетическими или педагогическими соображениями, а также традицией, историей и конвенциями. Для вещественных чисел свойство существования верхней грани могло быть выбрано из-за его простоты для изучения по сравнению с последовательностями Коши.
Одним из важнейших результатов в комплексном анализе является результат характеризации: все локально комплексно-дифференцируемые функции являются аналитическими (совпадают со своими рядами Тейлора)[5].
Характеризации очень распространены в абстрактной алгебре, где они часто принимают форму «структурных теорем», выражающих структуру объекта в простой форме. Эти результаты часто весьма трудны для доказательства. В теории матриц Жорданова нормальная форма является характеризацией, или структурной теоремой, для комплексных матриц[6], а спектральная теорема — для симметричных (вещественных) или эрмитовых (комплексных) матриц. Согласно спектральной теореме, вещественные симметричные матрицы — это в точности те, которые имеют базис из взаимно перпендикулярных собственных векторов[6] (в физике называемых главными осями). В теории групп существует структурная теорема для конечных абелевых групп, утверждающая, что любая такая группа изоморфна прямому произведению циклических групп[7].
Как утверждения вида «тогда и только тогда, когда», характеризации являются, в некотором смысле, «наиболее сильным» типом математических теорем, что соответствует сложности их доказательств. Рассмотрим произвольную математическую теорему: из A следует B. Если из B не следует A, теорема может считаться «слабой», поскольку утверждение B «слабее» исходного A, не позволяя доказать его обратно. В характеризации же из B обязательно следует A — доказанное утверждение столь же сильно, как и исходное, но не сильнее. Таким образом, результат «использует» всю структуру A при доказательстве B.
Примеры
- Рациональное число, обычно определяемое как дробь двух целых чисел, может быть охарактеризовано как число с конечным или периодическим десятичным разложением[1].
- Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Одна из его характеризаций: диагонали параллелограмма пересекаются и делятся пополам. Это означает, что в любом параллелограмме диагонали делятся пополам, и, наоборот, любой четырёхугольник, у которого диагонали делятся пополам, является параллелограммом.
- «Среди распределений вероятностей на интервале от 0 до ∞ на вещественной прямой, свойство отсутствия памяти характеризует экспоненциальное распределение.» Это означает, что экспоненциальные распределения — единственные непрерывные распределения, обладающие свойством отсутствия памяти (см. Характеризация распределений вероятностей для подробностей).
- «Согласно теореме Бора — Моллерупа, среди всех функций f, для которых f(1) = 1 и x f(x) = f(x + 1) при x > 0, логарифмическая выпуклость характеризует гамма-функцию.» Это означает, что среди всех таких функций гамма-функция — единственная, которая является логарифмически выпуклой[8].
- Окружность как многообразие характеризуется тем, что она одномерна, компактна и связна; здесь характеризация, как гладкого многообразия, даётся с точностью до диффеоморфизма.