С точностью до

Рассмотрим восемь фигур Тетриса (I, J, L, O, S, T, Z), которые в математике называются тетромино. Если учитывать все возможные повороты этих фигур (например, считать вертикальную I отличной от горизонтальной I), то получится 19 вариантов. То есть можно сказать, что существует 19 тетромино. Однако если не различать тетромино, которые получаются друг из друга поворотом, то их всего 7. Говорят, что «существует 7 тетромино с точностью до поворота». Эта информация релевантна для игры, так как в Тетрисе разрешено вращать фигуры. Можно также считать одинаковыми тетромино, отличающиеся симметрией: «тетромино J и L равны с точностью до симметрии», «тетромино S и Z равны с точностью до симметрии», «существует 5 тетромино с точностью до поворота и симметрии».

В задаче о восьми ферзях требуется расставить восемь ферзей на шахматной доске так, чтобы они не угрожали друг другу. Если считать всех ферзей различными (например, если бы они были разного цвета), то существует 3709440 различных решений. Однако обычно ферзи считаются неразличимыми, и говорят, что существует «${\displaystyle 3709440/8!=92}$ решений с точностью до перестановки ферзей», то есть две расстановки считаются одинаковыми, если их можно получить друг из друга перестановкой ферзей, занимающих одни и те же клетки.

Если, кроме того, разрешить повороты и симметрии доски, то останется только 12 решений «с точностью до перестановки ферзей и поворотов и симметрий доски».

Основная теорема арифметики утверждает, что «каждое натуральное число единственным образом разлагается в произведение простых множителей с точностью до перестановки множителей», то есть два разложения могут отличаться только порядком следования множителей.

В теории групп можно рассматривать группу G, действующую на множестве X (преобразующую элементы X определённым образом). В этом случае говорят, что два элемента X равны с точностью до действия G, если они принадлежат одной орбите (то есть один может быть получен из другого действием группы G).

Другой типичный пример: утверждение «существует две группы порядка 4 с точностью до изоморфизма». Это означает, что если считать изоморфные группы одинаковыми, то существует только две группы из четырёх элементов.

Одним из важнейших результатов топологии является классификация компактных (то есть ограниченных и без края) и связных поверхностей с точностью до гомеоморфизма (интуитивно, гомеоморфизм — это «деформация одного пространства в другое без разрывов и склеивания новых частей»), то есть составление списка поверхностей, таких что любая другая поверхность гомеоморфна одной из них.

Результат состоит в том, что всякая компактная связная поверхность гомеоморфна либо сфере, либо связной сумме n торов для некоторого n (поверхность с n отверстиями, «n торов, соединённых вместе»), либо связной сумме n проективных плоскостей для некоторого n (n проективных плоскостей, соединённых вместе). Если рассматривать только ориентируемые поверхности, то проективные плоскости исключаются. Таким образом, с точностью до гомеоморфизма, единственными компактными связными ориентируемыми поверхностями являются сфера и связная сумма n торов; любая компактная связная ориентируемая поверхность может быть деформирована в сферу или поверхность с n отверстиями.