Угломерное расстояние

В статическом евклидовом пространстве угломерное расстояние совпадает с обычным геометрическим расстоянием до объекта. В космологии, когда измеряются большие внегалактические расстояния, ситуация усложняется расширением Вселенной и возможной искривлённостью пространства. В расширяющемся однородном и изотропном пространстве постоянной кривизны (т. е. в рамках космологической модели Фридмана) квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками (пространственного интервала) ${\displaystyle dl}$ задаётся формулой^[1][2]

${\displaystyle dl^{2}=a^{2}(t)\left[{\frac {dr^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\!{\theta }\,d\varphi ^{2}\right)\right],}$         (1)

где ${\displaystyle r,\ \theta ,\ \varphi }$ — сферические сопутствующие координаты; ${\displaystyle a(t)}$ — масштабный фактор; ${\displaystyle k}$ — параметр, характеризующий кривизну однородного пространства и принимающий дискретные значения +1, 0 или —1 соответственно для пространства положительной, нулевой и отрицательной кривизны.

Пусть ${\displaystyle t_{e}}$ — момент времени, когда излучение было испущено объектом; ${\displaystyle t_{0}}$ — нынешний момент времени (момент приёма излучения наблюдателем); ${\displaystyle r_{e}}$ — сопутствующая координата источника (не меняющаяся в процессе расширения Вселенной). Если угол ${\displaystyle \theta _{e}}$ мал, то из этой формулы следует, что поперечный размер источника излучения равен ${\displaystyle D_{e}=a(t_{e})r_{e}\theta _{e}}$^[1]. Поскольку Вселенная расширяется изотропно и при этом углы между траекториями фотонов не изменяются, измеряемое угломерное расстояние источника составляет:

${\displaystyle d_{a}=a(t_{e})r_{e}.}$

Излучение, испущенное источником в момент времени ${\displaystyle t_{e}}$, к моменту наблюдения ${\displaystyle t_{0}}$ подверглось космологическому красному смещению ${\displaystyle z}$ вследствие расширения Вселенной: ${\displaystyle a(t_{0})/a(t_{e})=z+1}$. Каждому моменту времени ${\displaystyle t_{e}}$ соответствует определённое красное смещение ${\displaystyle z}$. Поэтому можно перейти от рассмотрения моментов времени к красным смещениям и переписать вышеприведённое соотношение в другом виде:

${\displaystyle d_{a}=a(z)r(z),}$

где ${\displaystyle a(z)}$ — масштабный фактор в момент времени, соответствующий красному смещению ${\displaystyle z}$; ${\displaystyle r(z)}$ – сопутствующая координата источника, чьё излучение воспринимается в настоящее время с красным смещением ${\displaystyle z}$.

Таким образом, угломерное расстояние определяется масштабным фактором в момент испускания излучения, а не его приёма^[1]. Отсюда следует, что, в отличие от фотометрического расстояния, угломерное расстояние не увеличивается монотонно с ростом ${\displaystyle z}$. Чем дальше находится источник, тем больше его координата ${\displaystyle r_{e}}$, поэтому и угломерное расстояние должно быть больше. Но, с другой стороны, чем дальше источник, тем меньше была Вселенная в момент испускания сигнала, т. е. тем меньше масштабный фактор ${\displaystyle a(t_{e})}$. Сочетание этих двух факторов приводит к тому, что с увеличением расстояния до источника (или его красного смещения ${\displaystyle z}$) угломерное расстояние сначала растёт, затем достигает максимума и начинает убывать^[3] (рис. 1). Другими словами, угол ${\displaystyle \theta _{e}}$, под которым виден удаляющийся объект конечных размеров, в расширяющейся Вселенной с любой геометрией пространства сначала уменьшается (как в статическом евклидовом пространстве), а начиная с некоторого значения ${\displaystyle z}$ начинает возрастать^[1]. Форма зависимости ${\displaystyle d_{a}(z)}$ и, в частности, положение максимума определяется величинами космологических параметров и, согласно современным наблюдательным данным, приходится на ${\displaystyle z\approx 1,\!588}$; объекты с таким красным смещением имеют максимальное угломерное расстояние ${\displaystyle d_{a}(z)\approx 1,\!817}$ Гпк^[3].

Используя соотношение ${\displaystyle a(t_{0})/a(t_{e})=z+1}$, можно выразить угломерное расстояние через современное значение масштабного фактора ${\displaystyle a_{0}=a(t_{0})}$:

${\displaystyle d_{a}(z)={\frac {a_{0}r_{e}}{z+1}}={\frac {a_{0}r(z)}{z+1}}}$.                            (2)

Фотометрическое расстояние равно ${\displaystyle d_{l}(z)=(z+1)\,a_{0}r(z)}$^[1][2]. Поэтому фотометрическое и угломерное расстояния связаны соотношением ${\displaystyle d_{l}=d_{a}(z+1)^{2}}$ при любом ${\displaystyle z}$ и при любой геометрии пространства^[1].

При этом координата ${\displaystyle r}$ не является расстоянием до соответствующей точки пространства; она определяет площадь двумерной сферы, центрированной в начале координат (которое можно поместить в точке нахождения наблюдателя) и находящейся от него на сопутствующем расстоянии ${\displaystyle \chi }$: ${\displaystyle S(\chi )=4\pi a_{0}^{2}\,r^{2}(\chi )}$. В однородном и изотропном пространстве связь между ними задаётся следующим образом (соответственно для пространств положительной, нулевой и отрицательной кривизны):^[2][5]

${\displaystyle r(\chi )={\begin{cases}\sin {\chi };\\\chi ;\\\operatorname {sh} {\chi }.\\\end{cases}}}$                                              (3)

Зависимость сопутствующего расстояния до источника от его красного смещения ${\displaystyle \chi (z)}$ задаётся выражением:^[2]

${\displaystyle \chi (z)={\frac {c}{a_{0}H_{0}}}\int \limits _{0}^{z}{\frac {dx}{\sqrt {\Omega _{r0}(x+1)^{4}+\Omega _{m0}(x+1)^{3}+\Omega _{K}(x+1)^{2}+\Omega _{\Lambda }}}},}$

где ${\displaystyle \Omega _{m0}}$ — современное значение космологического параметра плотности нерелятивистского вещества (включающего обычное барионное вещество и холодную тёмную материю); ${\displaystyle \Omega _{r0}}$ – аналогичный параметр плотности ультрарелятивистской материи (излучения); ${\displaystyle \Omega _{\Lambda }=c^{2}\Lambda /(3H_{0}^{2})}$ — параметр, связанный с космологической постоянной; ${\displaystyle \Omega _{K}=-kc^{2}/(a_{0}H_{0})^{2}}$ — параметр, связанный с кривизной пространства; ${\displaystyle H_{0}}$ — современное значение параметра Хаббла; ${\displaystyle \Lambda }$ — космологическая постоянная; ${\displaystyle c}$ — скорость света в вакууме; ${\displaystyle k}$ — параметр кривизны, входящий в выражение (1); ${\displaystyle x}$ — переменная интегрирования. Значение данного интеграла обычно рассчитывается численными методами при заданных значениях соответствующих космологических параметров, входящих в выражение. После этого подстановка ${\displaystyle \chi (z)}$ в одну из формул (3) позволяет найти зависимость ${\displaystyle r(z)}$, а через неё — угломерное расстояние ${\displaystyle d_{a}(z)}$ по формуле (2).

Наблюдательные данные по анизотропии реликтового излучения показывают, что трёхмерное пространство Вселенной с высокой точностью является плоским, т. е. характеризуется нулевой кривизной^[6]. Это означает, что ${\displaystyle \Omega _{K}=0}$, ${\displaystyle \Omega _{m0}+\Omega _{r0}+\Omega _{\Lambda }=1}$. В этом случае справедливо выражение^[3]

${\displaystyle d_{a}(z)={\frac {a_{0}\chi }{z+1}}={\frac {c}{H_{0}(z+1)}}\int \limits _{0}^{z}{\frac {dx}{\sqrt {\Omega _{r0}(x+1)^{4}+\Omega _{m0}(x+1)^{3}+\Omega _{\Lambda }}}}.}$

Величина ${\displaystyle d_{c}=a_{0}\chi }$ — это собственное расстояние до источника излучения в момент наблюдения (приёма излучения наблюдателем). Таким образом, в плоском расширяющемся пространстве угломерное и собственное расстояния связаны соотношением:^[3]

${\displaystyle d_{a}={\frac {d_{c}}{z+1}}.}$

Чтобы вычислить угломерное расстояние до объекта, нужно знать его физический размер. Поэтому для этой цели используются стандартные линейки — астрономические объекты, размеры которых считаются известными. В качестве стандартных линеек могут использоваться разные объекты. Например, в некоторых галактиках наблюдаются яркие газовые туманности, при этом линейные размеры наибольших туманностей в галактиках почти одинаковы. Поэтому, измерив угловые размеры ярчайшей туманности в какой-либо галактике, можно определить угломерное расстояние до этой галактики. Данный способ применим к спиральным и неправильным галактикам до расстояний примерно 15 Мпк. Погрешность этого метода — не менее 10%^[7]. Другой важной стандартной линейкой являются барионные акустические осцилляции. Они обеспечивают существование характерного масштаба длины, равного размеру акустического горизонта в эпоху рекомбинации водорода в ранней Вселенной. Этот масштаб может быть измерен в широком диапазоне космологических красных смещений ${\displaystyle z}$ по наблюдениям крупномасштабного распределения галактик и квазаров, обеспечивая возможность определить зависимость между угломерным расстоянием и космологическим красным смещением ${\displaystyle d_{a}(z)}$ [а также эволюцию параметра Хаббла ${\displaystyle H(z)}$] чисто геометрическим методом. Это даёт дополнительный метод исследования истории расширения Вселенной и природы тёмной энергии^{[2][8][9][10][11]}.