Первообразная

Первообразной для данной функции ${\displaystyle f(x)}$ называют^[2] такую функцию ${\displaystyle F(x)}$, производная которой равна ${\displaystyle f}$ (на всей области определения ${\displaystyle f}$), то есть ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$. Нахождение первообразной является операцией, обратной дифференцированию — последнее по заданной функции находит её производную, а найдя первообразную, мы, наоборот, по заданной производной определили исходную функцию.

Первообразные важны тем, что позволяют вычислять определённые интегралы. Если ${\displaystyle F}$ — первообразная интегрируемой непрерывной функции ${\displaystyle f}$, то:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница.

Технически нахождение первообразной заключается в вычислении неопределённого интеграла для ${\displaystyle f(x)}$, а сам процесс называется интегрированием. О применении этой теории в геометрии см. Интегральное исчисление.

Пример: функция ${\displaystyle F(x)={\frac {x^{3}}{3}}}$ является первообразной для ${\displaystyle f(x)=x^{2},}$ потому что ${\displaystyle F'(x)=f(x).}$

Если ${\displaystyle F}$ — первообразная для ${\displaystyle f}$, то любая функция, полученная из ${\displaystyle F}$ добавлением константы: ${\displaystyle G(x)=F(x)+C}$ тоже является первообразной для ${\displaystyle f}$. Таким образом, если функция имеет первообразную, то она входит в целое семейство первообразных^[2] ${\displaystyle F(x)+C,}$ которое называется неопределённым интегралом ${\displaystyle f(x)}$ и записывается в виде интеграла без указания пределов:

${\displaystyle \int f(x)\,dx}$

Верно и обратное: если ${\displaystyle F}$ — первообразная для ${\displaystyle f}$, и функция ${\displaystyle f}$ определена на каком-либо интервале, тогда каждая первообразная ${\displaystyle G}$ отличается от ${\displaystyle F}$ на константу: всегда существует число ${\displaystyle C}$, такое что ${\displaystyle G(x)=F(x)+C}$ для всех ${\displaystyle x}$. Графики таких первообразных смещены вертикально относительно друг друга, и их положение зависит от значения ${\displaystyle C.}$ Число ${\displaystyle C}$ называют постоянной интегрирования.

Например, семейство первообразных для функции ${\displaystyle x^{2}}$ имеет вид: ${\displaystyle F(x)={\frac {x^{3}}{3}}+C}$, где ${\displaystyle C}$ — любое число.

Если область определения функции ${\displaystyle f}$ не является сплошным интервалом, то её первообразные не обязаны отличаться на константу^[3]. Так, например, функция ${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}}}}$ не существует в нуле, поэтому её область определения состоит из двух интервалов: ${\displaystyle x>0}$ и ${\displaystyle x<0.}$ Соответственно получаются два независимых семейства первообразных на этих интервалах: ${\displaystyle -{\frac {1}{x}}+{\hat {C}}}$, где ${\displaystyle {\hat {C}}}$ является константой при ${\displaystyle x>0}$ и, вообще говоря, другой константой при ${\displaystyle x<0}$:

${\displaystyle {\hat {C}}(x)=\left\{{\begin{aligned}C_{1},{\text{ если }}x<0\\C_{2},{\text{ если }}x>0\end{aligned}}\right.}$

Каждая непрерывная функция ${\displaystyle f}$ имеет первообразную ${\displaystyle F}$, одна из которых представляется в виде интеграла от ${\displaystyle f}$ с переменным верхним пределом:

${\displaystyle F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt.}$

Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например, ${\displaystyle f(x)=2x\sin {\frac {1}{x}}-\cos {\frac {1}{x}}}$ с ${\displaystyle f(0)=0}$ не непрерывна при ${\displaystyle x=0}$, но имеет первообразную ${\displaystyle F(x)=x^{2}\sin {\frac {1}{x}}}$ с ${\displaystyle F(0)=0}$. Для разрывных ограниченных функций вместо интеграла Римана удобно использовать более общий интеграл Лебега. Необходимыми условиями существования первообразной являются принадлежность функции ${\displaystyle f}$ первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу^[2].

Многие первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (то есть через многочлены, экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:

${\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,dx,\qquad \int {\frac {\sin(x)}{x}}\,dx,\qquad \int {\frac {1}{\ln x}}\,dx}$.

Для таких функций интеграл от них, если он существует, может быть вычислен приближённо с помощью численного интегрирования.

• Первообразная суммы функций равна сумме первообразных для слагаемых.
• Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции.
• У всех функций, непрерывных на отрезке, существуют и первообразная, и интеграл по Риману. Однако в общем случае существование первообразной и интегрируемость функции не связаны^[4]:
  • Функция знака (sgn) интегрируема по Риману, но не имеет первообразной (из-за разрыва в нуле).
  • У функции ${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin {\frac {1}{x^{2}}}}$ (положим также ${\displaystyle f(0)=0}$) на отрезке ${\displaystyle [-1,1]}$ имеется конечная производная ${\displaystyle g(x);}$ таким образом, у функции ${\displaystyle g(x)}$ существует первообразная (а именно, ${\displaystyle f(x)}$), но ${\displaystyle g(x)}$ не ограничена на ${\displaystyle [-1,1]}$ и поэтому не интегрируема по Риману.

Нахождение первообразных значительно сложнее, чем нахождение производных. Для этого имеется несколько методов:

• линейность интегрирования позволяет разбивать сложные интегралы на части,
• интегрирование подстановкой, часто применяемое вместе с тригонометрическими тождествами или натуральным логарифмом,
• интегрирование по частям для операций с произведениями функций,
• метод обратной цепочки, особый случай интегрирования по частям,
• метод интегрирования рациональных дробей позволяет интегрировать любые рациональные функции (дроби с полиномами в числителе и знаменателе),
• алгоритм Риша — алгоритм для интегрирования любых элементарных функций,
• некоторые интегралы можно найти в таблицах, см. Категория:Списки интегралов,
• при многократном интегрировании можно использовать дополнительную технику, для примера см. двойной интеграл и полярные координаты, Якобиан и теорема Стокса,
• Системы компьютерной алгебры помогают автоматизировать некоторые вышеприведённые символьные операции (в частности алгоритм Риша), что очень удобно, когда алгебраические вычисления становятся слишком громоздкими.