Аксиома выбора

Аксиома выбора была сформулирована и опубликована как самостоятельный принцип Эрнстом Цермело в 1904 году при доказательстве теоремы о вполне упорядочении любого множества^[2][4]. Ранее, в 1902 году, Беппо Леви в работе о вполне упорядочении континуума фактически использовал эквивалентный принцип, однако не выделял его в качестве аксиомы^[5]; ещё раньше, в конце XIX века, аксиома неявно применялась в доказательствах Кантора, Дедекинда и других (так, Дедекинд пользовался ею в работе «Was sind und was sollen die Zahlen?», 1888)^[2].

Новая аксиома вызвала бурную полемику. Борель и Лебег отказывались признавать доказательства, опирающиеся на неконструктивный выбор без правила^[6]; Гильберт, Хаусдорф и Френкель принимали AC без оговорок, наравне с прочими аксиомами теории множеств^[7]. Обсуждался и философский вопрос: допустимо ли считать «существующим» множество (функцию), ни один элемент которого нельзя указать явно^[6]. Интуитивный протест усиливали парадоксальные следствия AC — прежде всего парадокс удвоения шара (Хаусдорф, 1914; Банах и Тарский, 1924) и существование неизмеримых по Лебегу множеств^[3]. Подробный анализ доказательств, опирающихся на AC, провёл Вацлав Серпинский в монографии (1918, польское изд. 1952, англ. изд. 1963)^[8]. Оценивая положение дел, Бертран Рассел замечал: «Сначала она кажется очевидной; но чем больше вдумываешься, тем более странными кажутся выводы из этой аксиомы; под конец же вообще перестаёшь понимать, что же она означает»^[9].

Вопрос о логическом статусе AC был закрыт двумя теоремами об независимости: в 1938 году Курт Гёдель построил модель конструктивных множеств ${\displaystyle L}$, в которой выполняются все аксиомы ZF и аксиома выбора, — тем самым доказана непротиворечивость AC с ZF^[10]; в 1963 году Пол Коэн методом форсинга построил модели ZF, в которых AC нарушается, — тем самым доказана независимость AC от ZF^[11].

Под семейством множеств понимается индексированная совокупность множеств; в простейшем случае — множество, все элементы которого сами являются множествами^[12].

> Аксиома выбора. Для всякого семейства ${\displaystyle X}$ непустых множеств существует функция ${\displaystyle f}$, которая каждому множеству ${\displaystyle A\in X}$ сопоставляет один из его элементов: ${\displaystyle f(A)\in A}$^[13].

На формальном языке теории ZF:

${\displaystyle \forall X\left[\varnothing \notin X\Rightarrow \exists f\left(f\colon X\to \bigcup X\;\land \;\forall A\in X\;(f(A)\in A)\right)\right].}$

Эквивалентная «дизъюнктная» формулировка: для любого множества попарно непересекающихся непустых множеств существует множество, имеющее ровно один общий элемент с каждым из них (такое множество называют выбирающим)^[14]. Ещё одна версия: для любого множества ${\displaystyle A}$ его булеан без пустого подмножества, ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)\setminus \{\varnothing \}}$, имеет функцию выбора^[15].

Для конечных семейств аксиома выбора не нужна: её утверждение доказывается индукцией из остальных аксиом ZF^[1]; то же верно для многих специальных бесконечных семейств (см. ниже). В общем же случае для бесконечных семейств AC независима от остальных аксиом^[3].

Классическая метафора (Бертрана Рассела): из бесконечного множества пар ботинок можно явно выбрать по одному ботинку («всегда берём левый»), а из бесконечного множества пар чулок — нет: чулки в паре неразличимы, и правило выбора указать нечем.

Точнее: если элементы семейства — непустые подмножества натуральных чисел, то функция выбора задаётся явно: ${\displaystyle f(S)=\min S}$, поскольку ℕ вполне упорядочено естественным порядком. Для подмножеств действительных чисел этот приём ломается: у интервала ${\displaystyle (0,1)}$ наименьшего элемента нет. Можно ли «изобрести» другой порядок, вполне упорядочивающий ${\displaystyle \mathbb {R} }$? Утверждение «всякое множество можно вполне упорядочить» (теорема Цермело) само эквивалентно аксиоме выбора, так что такое упорядочение существует лишь вместе с AC и заведомо неконструктивно^[1][16].

В теории множеств известно множество утверждений, эквивалентных AC (в теории ZF)^[3][17]:

• Функция выбора: каждое множество непустых множеств имеет функцию выбора.
• Декартово произведение: декартово произведение любого семейства непустых множеств непусто.
• Правая обратная сюръекции: для любой сюръекции ${\displaystyle f\colon A\to B}$ существует ${\displaystyle g\colon B\to A}$ с ${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{B}}$.
• Теорема Цермело (принцип вполне упорядочивания): каждое множество может быть вполне упорядочено^[16].
• Лемма Цорна (в русской традиции — лемма Куратовского — Цорна): если в частично упорядоченном множестве каждая цепь имеет верхнюю грань, то множество содержит максимальный элемент^[16].

• Принцип максимума Хаусдорфа: в любом частично упорядоченном множестве каждая цепь содержится в некоторой максимальной цепи^[3].
• Теорема Тарского: для каждого бесконечного множества ${\displaystyle A}$ существует биекция ${\displaystyle A\to A\times A}$^[3].
• Теорема Тихонова: произведение любого семейства компактных топологических пространств компактно^[3].
• Теорема Хана — Банаха о продолжении линейного функционала в полном объёме^[3].
• Алгебраические формы: каждое векторное пространство имеет базис (базис Гамеля); каждое ненулевое кольцо с единицей имеет максимальный идеал (теорема Крулля)^[3].

Аксиома выбора (или её эквиваленты) систематически используется во всей современной математике^[3][18]:

• Функциональный анализ. Теорема Хана — Банаха о продолжении функционалов, теорема о существовании базиса в любом векторном пространстве, компактность тихоновских произведений и теоремы о слабой компактности — всё это формы AC^[3].
• Алгебра. Существование максимальных идеалов в кольцах (теорема Крулля), базисов Гамеля в векторных пространствах, алгебраических замыканий полей; без AC возможны векторные пространства без базиса и даже поля без максимальных идеалов^[3].
• Топология и теория множеств. Теорема Тихонова, существование ультрафильтров, вполне упорядочение любых множеств, сравнимость мощностей (для любых множеств ${\displaystyle A,B}$ либо ${\displaystyle A}$ инъективно отображается в ${\displaystyle B}$, либо наоборот)^[16].
• Теория меры. Существование неизмеримых по Лебегу множеств (множество Витали) и парадокс удвоения шара доказываются с применением AC^[8].
• Логика и основания. Независимость AC от ZF сделала её центральным объектом теории моделей теории множеств (модель Гёделя ${\displaystyle L}$, форсинг Коэна, симметричные модели Френкеля — Мостовского)^[3][11].

При этом во многих частных ситуациях AC не требуется: для конечных семейств она выводима в ZF; для счётных семейств множеств действительных чисел выбор задаётся явно; в «определимых» ситуациях (например, для борелевских семейств непустых открытых множеств) функцию выбора можно построить конструктивно^[18].

Ограничение AC счётными семействами даёт аксиому счётного выбора (${\displaystyle {\mathsf {AC}}_{\omega }}$), достаточную для большей части классического анализа (счётная аддитивность меры Лебега, теорема Гейне — Кантора и др.), но не для всей теории множеств; ещё слабее и полезнее в анализе аксиома зависимого выбора (${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$)^[3]. Обе строго слабее полной AC и совместимы с утверждением «все множества действительных чисел измеримы по Лебегу»^[18].

В 1962 году Ян Мычельский и Гуго Штейнгауз предложили взамен AC аксиому детерминированности (${\displaystyle {\mathsf {AD}}}$): всякая бесконечная игра с совершенной информацией, в которой партии являются натуральными числами, определена^[19]. AD несовместима с полной AC, но в естественных моделях (например, L(ℝ) при наличии больших кардиналов) совместима с аксиомой зависимого выбора (DC) и влечёт «регулярные» свойства всех множеств вещественных чисел: измеримость по Лебегу, свойство Бэра, отсутствие континуальных антицепей — в этом смысле следствия AD согласуются с интуицией лучше, чем следствия AC^[20]. В конструктивистских и интуиционистских направлениях математики полная AC, как правило, отвергается, хотя ограниченные формы выбора допускаются^[18].