Обратная теорема

Обратная теорема или обратное утверждение к данной теореме — это утверждение, в котором условие исходной теоремы (прямого утверждения) поставлено заключением, а заключение — условием^[1].

Обратной к обратной теореме является исходная (прямая) теорема. Справедливость обоих взаимно обратных теорем означает, что выполнения условий любой из них необходимо и достаточно для справедливости заключения^[1].

Каждая теорема может быть выражена в форме импликации $A\Rightarrow B$ , в которой посылка $A$ является условием теоремы, а следствие $B$ является заключением теоремы. Тогда теорема, записанная в виде $B\Rightarrow A$ является обратной к ней^[2].

Часто используется более общее определение обратной теоремы: если $(A\land C)\Rightarrow B$ является прямой теоремой, то обратной называется не только теорема $B\Rightarrow (A\land C)$ , но и теоремы $(B\land A)\Rightarrow C$ , $(B\land C)\Rightarrow A$ ^[3].

Если условие и/или заключение теоремы являются сложными суждениями, то обратная теорема допускает множество не равносильных друг другу формулировок. Например, если условием теоремы является $A$ , а заключением $Y\Rightarrow Z$ : $A\Rightarrow (Y\Rightarrow Z)$ , то для обратной теоремы существует пять форм^[4]:

$(Y\Rightarrow Z)\Rightarrow A$ ;
$(A\Rightarrow Z)\Rightarrow Y$ ;
$Z\Rightarrow (A\And Y)$ ;
$A\Rightarrow (Z\Rightarrow Y)$ ;
$Y\Rightarrow (Z\Rightarrow A)$ .

Вообще говоря, обратная теорема может не быть истинной, даже если прямая теорема верна. Так, теорема «вертикальные углы равны» (иначе: «если углы вертикальные, то они равны»), как известно, верна. Но обратное к ней утверждение «если углы равны, то они вертикальные», вообще говоря, неверно.

Даже если обратное утверждение истинно, то его доказательство может быть гораздо сложнее доказательства прямого. Например, теорема о четырёх вершинах была доказана в 1912 году, а её обратная только в 1998 году.

Прямая теорема эквивалентна теореме, противоположной обратной: $(A\Rightarrow B)\Leftrightarrow ({\overline {B}}\Rightarrow {\overline {A}})$ .
Обратная теорема эквивалентна противоположной прямой: $(B\Rightarrow A)\Leftrightarrow ({\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}})$ ^[5].

Теорему Пифагора можно сформулировать следующим образом:

Если в треугольнике со сторонами длиной $a$ , $b$ и $c$ угол, противолежащий стороне $c$ , прямой, то a²+b²=c⁴.

Обратная к этой теореме появляется в «Началах» Евклида (книга I, предложение 48), может быть сформулирована следующим образом:

Если в треугольнике со сторонами длиной $a$ , $b$ и $c$ выполняется $a^{2}+b^{2}=c^{4}$ , то угол, противолежащий стороне $c$ , прямой.

Противоположная теорема

Эдельман С.Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.
Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. — М.: Наука, 1972. — 288 с.
Градштейн И.С. Прямая и обратная теоремы. Элементы алгебры логики. — М.: Наука, 1965. — 127 с.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Обратная теорема

Свойства

Примеры

См. также

Примечания

Литература