Тривиальность

В математике термин «тривиальный» часто используется для обозначения объектов (например, групп, топологических пространств) с очень простой структурой. К ним, в частности, относятся:

• Пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента;
• Тривиальная группа — математическая группа, содержащая только единичный элемент;
• Тривиальное кольцо — кольцо, определённое на одноэлементном множестве.

Термин «тривиальный» также применяется к решениям уравнения, обладающим очень простой структурой, но которые для полноты изложения не могут быть опущены. Такие решения называются тривиальными решениями. Например, рассмотрим дифференциальное уравнение

$${\displaystyle y'=y}$$

где ${\displaystyle y=y(x)}$ — функция, производная которой обозначается ${\displaystyle y'}$. Тривиальным решением является нулевая функция

$${\displaystyle y(x)=0}$$

тогда как нетривиальным решением будет экспоненциальная функция

$${\displaystyle y(x)=e^{x}.}$$

Дифференциальное уравнение ${\displaystyle f''(x)=-\lambda f(x)}$ с граничными условиями ${\displaystyle f(0)=f(L)=0}$ важно в математике и физике, так как может описывать частицу в ящике в квантовой механике или стоячую волну на струне. Оно всегда содержит решение ${\displaystyle f(x)=0}$, которое считается очевидным и потому называется «тривиальным» решением. В некоторых случаях могут существовать и другие решения (синусоиды), которые называются «нетривиальными» решениями^[4].

Аналогично, Великая теорема Ферма утверждает отсутствие нетривиальных целых решений уравнения ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$ при ${\displaystyle n>2}$. Хотя некоторые решения существуют: например, ${\displaystyle a=b=c=0}$ является решением для любого ${\displaystyle n}$, такие решения являются очевидными и легко получаемыми, поэтому считаются «тривиальными».

«Тривиальным» также может называться любой лёгкий случай в доказательстве, который для полноты не может быть опущен. Например, доказательства по индукции состоят из двух частей: «базового случая», показывающего истинность теоремы для некоторого начального значения (например, ${\displaystyle n=0}$ или ${\displaystyle n=1}$), и индукционного шага, доказывающего, что если теорема верна для некоторого ${\displaystyle n}$, то она верна и для ${\displaystyle n+1}$. Базовый случай часто бывает тривиальным и отмечается как таковой, хотя бывают ситуации, когда базовый случай сложен, а индукционный шаг — тривиален. Аналогично, при доказательстве, что некоторое свойство принадлежит всем элементам определённого множества, основная часть доказательства рассматривает случай непустого множества, а в случае пустого множества свойство тривиально выполняется для всех его элементов, так как их нет.

Оценка тривиальности ситуации зависит от того, кто её рассматривает: для человека, обладающего достаточными знаниями или опытом, ситуация может быть очевидной, тогда как для другого она может быть даже трудной для понимания и, следовательно, не тривиальной. Также возможны споры о том, насколько быстро и легко задача должна распознаваться, чтобы считаться тривиальной. Следующие примеры иллюстрируют субъективность и неоднозначность оценки тривиальности.

Тривиальность зависит от контекста. В доказательстве по функциональному анализу обычно, имея некоторое число, тривиально предположить существование большего числа. Однако при доказательстве базовых результатов о натуральных числах в элементарной теории чисел доказательство может опираться на утверждение, что у любого натурального числа есть последовательни — утверждение, которое само по себе должно быть доказано или принято в качестве аксиомы, и потому не является тривиальным.

В некоторых текстах тривиальным доказательством называют утверждение, включающее материальную импликацию ${\displaystyle P\to Q}$, где консеквент ${\displaystyle Q}$ всегда истинен^[5]. В этом случае доказательство следует непосредственно из определения материальной импликации: импликация истинна вне зависимости от истинности антецедента ${\displaystyle P}$, если консеквент фиксированно истинен^[5].

Связанное понятие — тождественная истина, когда антецедент ${\displaystyle P}$ в материальной импликации ${\displaystyle P\to Q}$ ложен^[5]. В этом случае импликация также всегда истинна вне зависимости от истинности консеквента ${\displaystyle Q}$ — опять же по определению материальной импликации^[5].

• В теории чисел часто важно найти делители целого числа ${\displaystyle N}$. Любое число ${\displaystyle N}$ имеет четыре очевидных делителя: ±1 и ±${\displaystyle N}$. Они называются «тривиальными делителями». Любой другой делитель, если он существует, называется «нетривиальным»^[6].
• Однородное матричное уравнение ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} }$, где ${\displaystyle A}$ — фиксированная матрица, ${\displaystyle \mathbf {x} }$ — неизвестный вектор, а ${\displaystyle \mathbf {0} }$ — нулевой вектор, имеет очевидное решение ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} }$. Это называется «тривиальным решением». Любое другое решение, при ${\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} }$, называется «нетривиальным»^[7].
• В теории групп существует очень простая группа, содержащая всего один элемент; она часто называется «тривиальной группой». Все остальные группы, более сложные, называются «нетривиальными».
• В теории графов тривиальным графом называют граф, содержащий только одну вершину и не имеющий рёбер.
• В теории баз данных существует понятие функциональная зависимость, записываемое ${\displaystyle X\to Y}$. Зависимость ${\displaystyle X\to Y}$ выполняется, если ${\displaystyle Y}$ — подмножество ${\displaystyle X}$, и такая зависимость называется «тривиальной». Все остальные, менее очевидные зависимости, называются «нетривиальными».
• Известно, что дзета-функция Римана обращается в ноль при отрицательных чётных числах −2, −4, … Хотя доказательство этого относительно просто, данный результат обычно не называют тривиальным; однако в данном случае эти нули называют тривиальными, поскольку все остальные нули функции неизвестны, имеют важные приложения и связаны с открытыми вопросами (например, гипотеза Римана). Соответственно, отрицательные чётные числа называют тривиальными нулями функции, а все остальные — нетривиальными.