Сферическая система координат

Сферическая система координат
Сферическая система координат
Обозначение в формуле	, , , , и
Описывающая закон или теорему формула

Сферическая система координат
Сферическая система координат
Обозначение в формуле	, , , , и
Описывающая закон или теорему формула

Сферическая система координат — трёхмерная система координат, в которой положение точки определяется расстоянием до начала координат и двумя углами: зенитным (полярным) и азимутальным.

Радиус r — расстояние от начала координат. Зенитный угол θ отсчитывается от положительной оси Z, изменяется от 0 до π. Азимутальный угол φ отсчитывается от оси X, изменяется от 0 до 2π (или от –π до π). При r=0 θ и φ не определены; при θ=0 или π φ не определён.

Вместо зенитного угла θ может использоваться широта δ = 90° – θ, которая изменяется от –90° (южный полюс) до 90° (северный полюс). При этом φ по‑прежнему азимутальный угол, а неопределённости аналогичны.

От сферических (r,θ,φ) к цилиндрическим (ρ,φ,z): ρ = r sin θ, z = r cos θ, φ = φ. Обратно: r = √(ρ²+z²), θ = arctan(ρ/z).

Сферические координаты ортогональны: метрический тензор диагонален с компонентами (1, r², r² sin²θ). Коэффициенты Ламе: h_r=1, h_θ=r, h_φ=r sin θ. Ненулевые символы Кристоффеля: Γ^r_θθ=−r, Γ^r_φφ=−r sin²θ, Γ^θ_rθ=Γ^θ_θr=1/r, Γ^θ_φφ=−sinθ cosθ, Γ^φ_rφ=Γ^φ_φr=1/r, Γ^φ_θφ=Γ^φ_φθ=cotθ.

Сфери́ческая систе́ма координа́т — трёхмерная система координат, в которой каждая точка пространства определяется тремя числами $(r,\;\theta ,\;\varphi )$ , где $r$ — расстояние до начала координат (радиальное расстояние), а $\theta$ и $\varphi$ — зенитный и азимутальный углы соответственно.

Понятия зенит и азимут широко используются в астрономии. Зенит — направление вертикального подъёма над произвольно выбранной точкой (точкой наблюдения), принадлежащей фундаментальной плоскости. В качестве фундаментальной плоскости в астрономии может быть выбрана плоскость, в которой лежит экватор, или плоскость, в которой лежит горизонт, или плоскость эклиптики и т. д., что порождает разные системы небесных координат. Азимут — угол между произвольно выбранным лучом фундаментальной плоскости с началом в точке наблюдения и другим лучом этой плоскости, имеющим общее начало с первым.

Если рассматривать сферическую систему координат относительно декартовой системы $Oxyz$ , фундаментальной плоскостью будет плоскость $xy$ , зенитным углом точки, заданной радиус-вектором $P$ , будет угол между $P$ и осью $z$ , а азимутом — угол между проекцией $P$ на плоскость $xy$ и осью $x$ . Это объясняет названия углов и то, что сферическая система координат может служить обобщением множества видов систем небесных координат.

Положение точки $P$ в сферической системе координат определяется тройкой $(r,\;\theta ,\;\varphi )$ , где

$r\geqslant 0$ — расстояние от начала координат до заданной точки $P$ ;
$0^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }$ — угол между осью $z$ и отрезком, соединяющим начало координат и точку $P$ ;
$0^{\circ }\leqslant \varphi <360^{\circ }$ — угол между осью $x$ и проекцией отрезка, соединяющего начало координат с точкой $P$ , на плоскость $xy$ .

Угол $\theta$ называется зенитным, или полярным, также он может называться наклонением, или коширотой, а угол $\varphi$ — азимутальным. Углы $\theta$ и $\varphi$ не определены при $r=0$ , также не определён угол $\varphi$ при $\sin(\theta )=0$ (то есть при $\theta =0$ или $\theta =180^{\circ }$ ).

Такое соглашение установлено в стандарте (ISO 31-11). Кроме того может использоваться соглашение, когда вместо зенитного угла $\theta$ , используется угол между радиус-вектором точки $P$ и плоскостью $xy$ , равный $90^{\circ }-\theta$ . Он называется широтой и может быть обозначен той же буквой $\theta$ . Широта может изменяться в пределах $-90^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 90^{\circ }$ . При этом соглашении углы $\theta$ и $\varphi$ не имеют значения при $r=0$ , так же как и в первом случае, а $\varphi$ не имеет значения при $\cos(\theta )=0$ (то есть при $\theta =-90^{\circ }$ или $\theta =90^{\circ }$ ).

Декартова система координат

Если заданы сферические координаты точки $(r,\;\theta ,\;\varphi )$ , то переход к декартовым осуществляется по формулам:

{\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \varphi ,\\y=r\sin \theta \sin \varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases}}

.

Обратно от декартовых к сферическим:

{\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\theta =\arccos {\dfrac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}=\mathrm {arctg} {\dfrac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}},\\\varphi =\mathrm {arctg} {\dfrac {y}{x}}.\end{cases}}

Якобиан преобразования к сферическим координатам равен:

{\begin{alignedat}{2}J&={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{vmatrix}}=\\&=\cos \theta (r^{2}\cos \varphi ^{2}\cos \theta \sin \theta +r^{2}\sin ^{2}\varphi \cos \theta \sin \theta )+r\sin \theta (r\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varphi +r\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi )=\\&=r^{2}\cos ^{2}\theta \sin \theta +r^{2}\sin ^{2}\theta \sin \theta =\\&=r^{2}\sin \theta .\end{alignedat}}

Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:

\mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=J(r,\theta ,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi

.

Цилиндрическая система координат

Если заданы сферические координаты точки, то переход к цилиндрическим осуществляется по формулам:

{\begin{cases}\rho =r\sin \theta ,\\\varphi =\varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases}}

Обратно от цилиндрических к сферическим:

{\begin{cases}r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}},\\\theta =\mathrm {arctg} {\dfrac {\rho }{z}},\\\varphi =\varphi .\end{cases}}

Якобиан преобразования от сферических к цилиндрическим $J=r$ .

Вектор $\mathrm {d} \mathbf {r}$ , проведённый из точки $(r,\theta ,\varphi )$ в точку $(r+\mathrm {d} r,\,\theta +\mathrm {d} \theta ,\,\varphi +\mathrm {d} \varphi )$ , равен:

\mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} r\,{\boldsymbol {\hat {r}}}+r\,\mathrm {d} \theta \,{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+r\sin {\theta }\,\mathrm {d} \varphi \,\mathbf {\boldsymbol {\hat {\varphi }}} ,

где

{\boldsymbol {\hat {r}}}=\sin \theta \cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\sin \theta \sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+\cos \theta {\boldsymbol {\hat {k}}}

{\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\cos \theta \sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}-\sin \theta {\boldsymbol {\hat {k}}}

{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}

ортогональные единичные векторы сферических координат в направлении увеличения $r,\theta ,\varphi$ , соответственно, а ${\boldsymbol {\hat {\imath }}},{\boldsymbol {\hat {\jmath }}},{\boldsymbol {\hat {k}}}$ — единичные векторы декартовых координат. Сферические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:

g_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}},\quad g^{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\dfrac {1}{r^{2}}}&0\\0&0&{\dfrac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\end{pmatrix}}

$\det(g_{ij})=r^{4}\sin ^{2}\theta .\$
Квадрат дифференциала длины дуги:

ds^{2}=dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}.

Коэффициенты Ламе:

H_{r}=1,\quad H_{\theta }=r,\quad H_{\varphi }=r\sin \theta .

Символы Кристоффеля $\{r,\;\theta ,\;\varphi \}$ :

\Gamma _{22}^{1}=-r,\quad \Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^{2}\theta ,

\Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac {1}{r}},

\Gamma _{33}^{2}=-\cos \theta \sin \theta ,\quad \Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}=\mathrm {ctg} \,\theta .

Остальные равны нулю.

Сферическая географическая система координат

Сферическая географическая система координат строится следующим образом^[1]:

её начало помещено в центр Земли;
полярная ось направлена по оси вращения Земли;
координата $r$ отсчитывается вдоль радиус-вектора, проведённого из центра Земли;
полярный угол $\theta$ есть коширота (дополнение географической широты до $90^{\circ }$ );
азимутальный угол $\varphi$ совпадает с географической долготой (восточной).

Вектор магнитной индукции магнитного поля Земли $\mathbf {B}$ имеет компоненты:

B_{r}=-B\sin I,\;B_{\theta }=-B\cos I\cos D,\;B_{\varphi }=B\cos I\sin D,

где $I$ — магнитное наклонение; $D$ — магнитное склонение.

Компоненты вектора ускорения свободного падения $\mathbf {g}$ равны:

g_{r}=-g,\;g_{\theta }=g_{\varphi }=0.

Наконец, компоненты вектора угловой скорости вращения Земли $\mathbf {\Omega }$ такие:

\Omega _{r}=\Omega \cos \theta ,\;\Omega _{\theta }=-\Omega \sin \theta ,\;\Omega _{\varphi }=0.

В сферических географических координатах оптимально решать уравнения, описывающие поведение нейтральных частиц околоземного пространства^[1].

Сферическая геомагнитная система координат

Сферическая геомагнитная система координат строится следующим образом^[1]:

её начало помещено в центр Земли;
полярная ось направлена по оси магнитного диполя Земли (геомагнитной оси), проходящей через магнитные полюса;
координата $r$ отсчитывается вдоль радиус-вектора, проведённого из центра Земли;
полярный угол $\Theta$ есть геомагнитная коширота (дополнение магнитной широты $\Phi$ до $90^{\circ }\colon \;\Theta =\pi /2-\Phi$ );
азимутальный угол $\Lambda$ совпадает с геомагнитной долготой, отсчитываемой к востоку от плоскости в западном полушарии, содержащей географический и геомагнитный полюсы.

Географические координаты северного магнитного полюса равны:

\theta _{0}=4,6^{\circ },\;\varphi _{0}=43,0^{\circ }\;(2012).

В сферической геомагнитной системе координат склонение $D=0$ и

B_{r}=-B\sin I,\;B_{\Theta }=-B\cos I,\;B_{\Lambda }=0,

g_{r}=-g,\;g_{\Theta }=g_{\Lambda }=0.

\Omega _{r}=\Omega (\cos \theta _{0}\cos \Theta -\sin \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda ),

\Omega _{\Theta }=-\Omega (\cos \theta _{0}\sin \Theta +\sin \theta _{0}\cos \Theta \cos \Lambda ),

\Omega _{\Lambda }=\Omega \sin \theta _{0}\sin \Lambda .

Формулы, связывающие географические и геомагнитные сферические координаты^[1]:

\cos \Theta =\cos \theta _{0}\cos \theta +\sin \theta _{0}\sin \theta \cos(\varphi -\varphi _{0}),

\cos \Lambda ={\frac {-\sin \theta _{0}\cos \theta +\cos \theta _{0}\sin \theta \cos(\varphi -\varphi _{0})}{\sin \Theta }},

\cos \theta =\cos \theta _{0}\cos \Theta -\sin \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda ,

\cos(\varphi -\varphi _{0})={\frac {\sin \theta _{0}\cos \Theta +\cos \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda }{\sin \theta }}.

В сферических геомагнитных координатах проще, чем в сферических географических координатах, описывать влияние геомагнитного поля на заряженные частицы околоземного пространства^[1].

↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Брюнелли Б. Е., Намгаладзе А. А. Физика ионосферы. М.: Наука, 1988. § 3.5, С. 172—173. ISBN 5-02-000716-1

Скляров Д. О. Сферическая система координат и ее применение в решении прикладных задач / Д. О. Скляров // Интернаука. – 2022. – № 35-2(258). – С. 35-37.

Weisstein, Eric W. Сферические координаты (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[bru-1] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Брюнелли Б. Е., Намгаладзе А. А. Физика ионосферы. М.: Наука, 1988. § 3.5, С. 172—173. ISBN 5-02-000716-1

[1]

Системы координат
Название координат	Абсцисса Ордината Аппликата
Типы систем координат	Прямолинейная система координат Криволинейная система координат
Двумерные координаты	Биангулярные координаты Бицентрические координаты Гиперболические координаты Полярные координаты Биполярные координаты Параболические координаты Эллиптические координаты Тетрациклические координаты Трилинейные координаты
Трёхмерные координаты	Цилиндрические координаты Сферические координаты Бисферические координаты Тороидальные координаты Цилиндрические параболические координаты Бицилиндрические координаты Эллипсоидальные координаты Конические координаты Пентасферические координаты Диполярная система координат
$n$ -мерные координаты	Декартовы координаты Аффинные координаты Проективные координаты Плюккеровы координаты Барицентрические координаты
Физические координаты	Координаты Риндлера Координаты Борна Система небесных координат Географические координаты Главноортодромическая система координат
Связанные определения	Метод координат Начало координат Координатная ось Вектор Орт Система отсчёта Репер Коэффициенты Ламе Метрический тензор

Сферическая система координат

Определения

Переход к другим системам координат

Декартова система координат

Цилиндрическая система координат

Дифференциальные характеристики

Математическое моделирование Земли

Сферическая географическая система координат

Сферическая геомагнитная система координат

Примечания

Литература

Ссылки

Дополнительно по теме

Категории

Сферическая система координат
Обозначение в формуле	$x$ , $y$ , $z$ , $r$ , $\theta$ и $\phi$
Описывающая закон или теорему формула	${\begin{array}{lcl}x&=&r\sin \theta \cos \phi \\y&=&r\sin \theta \sin \phi \\z&=&r\cos \theta \end{array}}$