Суперквадрики

В математике суперквадрики (англ. superquadrics, также super-quadrics, superquadratics) — семейство геометрических форм, определяемых с помощью формул, аналогичных уравнениям для эллипсоидов и других квадрик, за исключением того, что операции возведения в квадрат заменены на возведение в произвольную степень. Суперквадрики могут рассматриваться как трёхмерные аналоги суперэллипсов. В зависимости от контекста, термин может относиться как к самому телу, так и к его поверхности. Приведённые ниже уравнения определяют поверхность; сам объект (тело) задаётся заменой знака равенства на неравенство «меньше либо равно».

Семейство суперквадриков включает множество форм, напоминающих кубы, октаэдры, цилиндры, ромбы и шпиндели — как с закруглёнными, так и с острыми углами^[1]. Благодаря своей гибкости и относительной простоте суперквадрики получили широкое распространение как инструмент геометрического моделирования, особенно в области компьютерной графики. Они стали важным геометрическим примитивом, применяемым в компьютерном зрении^[2]^[3], робототехнике^[4] и в физическом моделировании^[5].

Некоторые авторы, например Алан Барр, относят к суперквадрикам как суперэллипсоиды, так и суперторы^[1]^[6]. В современной литературе по компьютерному зрению термины «суперквадрики» и суперэллипсоиды часто употребляются как синонимы, поскольку именно суперэллипсоиды являются наиболее репрезентативной и широко применяемой формой из данного семейства^[2]^[3]. Обзор геометрических свойств суперквадриков, а также подходов к их восстановлению по изображениям глубины и облакам точек приводится в ряде специализированных работ по компьютерному зрению^[1]^[3]^[7]^[8].

Неявное уравнение

Поверхность базовой суперквадрики задаётся уравнением:

\left|x\right|^{r}+\left|y\right|^{s}+\left|z\right|^{t}=1

где r, s и t — положительные вещественные числа, определяющие основные свойства суперквадрики. А именно:

меньше 1: заострённый октаэдр с вогнутыми гранями и острыми рёбрами;
ровно 1: правильный октаэдр;
от 1 до 2: октаэдр с выпуклыми гранями, притуплёнными рёбрами и углами;
ровно 2: сфера;
больше 2: куб с закруглёнными рёбрами и углами;
при стремлении к бесконечности: куб.

Каждый показатель можно менять независимо для получения различных форм. Например, если r=s=2, t=4, то получается тело вращения, напоминающее эллипсоид с круговым сечением, но уплощёнными концами. Эта формула — частный случай уравнения суперэллипсоидов, если (и только если) r = s.

Если хотя бы один показатель становится отрицательным, фигура будет неограниченно расширяться. Такие формы называют супергиперболоиды.

Базовая форма простирается от −1 до +1 по каждой координатной оси. Общая суперквадрика получается масштабированием этой формы по осям на коэффициенты A, B, C:

\left|{\frac {x}{A}}\right|^{r}+\left|{\frac {y}{B}}\right|^{s}+\left|{\frac {z}{C}}\right|^{t}=1.

Параметрическое задание

Параметрические уравнения поверхности в терминах параметров u и v (аналог долгот и широт при m = 2):

{\begin{aligned}x(u,v)&{}=Ag\left(v,{\frac {2}{r}}\right)g\left(u,{\frac {2}{r}}\right)\\y(u,v)&{}=Bg\left(v,{\frac {2}{s}}\right)f\left(u,{\frac {2}{s}}\right)\\z(u,v)&{}=Cf\left(v,{\frac {2}{t}}\right)\\&-{\frac {\pi }{2}}\leq v\leq {\frac {\pi }{2}},\quad -\pi \leq u<\pi ,\end{aligned}}

где вспомогательные функции:

{\begin{aligned}f(\omega ,m)&{}=\operatorname {sgn} (\sin \omega )\left|\sin \omega \right|^{m}\\g(\omega ,m)&{}=\operatorname {sgn} (\cos \omega )\left|\cos \omega \right|^{m}\end{aligned}}

и сигнум-функция:

\operatorname {sgn} (x)={\begin{cases}-1,&x<0\\0,&x=0\\+1,&x>0.\end{cases}}

Сферический продукт

Барр вводит понятие сферического продукта, при котором по двум планарным кривым строится трёхмерная поверхность:

f(\mu )={\begin{pmatrix}f_{1}(\mu )\\f_{2}(\mu )\end{pmatrix}},\quad g(\nu )={\begin{pmatrix}g_{1}(\nu )\\g_{2}(\nu )\end{pmatrix}}

h(\mu ,\nu )=f(\mu )\otimes g(\nu )={\begin{pmatrix}g_{1}(\nu )\ f_{1}(\mu )\\g_{1}(\nu )\ f_{2}(\mu )\\g_{2}(\nu )\end{pmatrix}}

сферы

{\begin{aligned}x&=x_{0}+r\sin \theta \;\cos \varphi \\y&=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \varphi \qquad (0\leq \theta \leq \pi ,\;0\leq \varphi <2\pi )\\z&=z_{0}+r\cos \theta \end{aligned}}

Барр использует сферический продукт для задания квадрических поверхностей, таких как эллипсоиды и гиперболоиды, а также тор, суперэллипсоид, супергиперболоиды одного и двух листов и суперторы^[1].

Следующий код для GNU Octave строит аппроксимацию сетки суперквадрики:

function superquadric(epsilon,a)
  n = 50;
  etamax = pi/2;
  etamin = -pi/2;
  wmax = pi;
  wmin = -pi;
  deta = (etamax-etamin)/n;
  dw = (wmax-wmin)/n;
  [i,j] = meshgrid(1:n+1,1:n+1)
  eta = etamin + (i-1) * deta;
  w   = wmin + (j-1) * dw;
  x = a(1) .* sign(cos(eta)) .* abs(cos(eta)).^epsilon(1) .* sign(cos(w)) .* abs(cos(w)).^epsilon(1);
  y = a(2) .* sign(cos(eta)) .* abs(cos(eta)).^epsilon(2) .* sign(sin(w)) .* abs(sin(w)).^epsilon(2);
  z = a(3) .* sign(sin(eta)) .* abs(sin(eta)).^epsilon(3);

  mesh(x,y,z);
end

↑ ¹ ² ³ ⁴ Barr (1 января 1981). “Superquadrics and Angle-Preserving Transformations”. IEEE Computer Graphics and Applications [англ.]. 1 (1): 11—23. DOI:10.1109/MCG.1981.1673799. ISSN 0272-1716. S2CID 9389947. Дата обращения 2024-06-09. |access-date= требует |url= (справка)
↑ ¹ ² Paschalidou, Despoina. Superquadrics Revisited: Learning 3D Shape Parsing Beyond Cuboids // 2019 IEEE/CVF Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR) / Despoina Paschalidou, Ali Osman Ulusoy, Andreas Geiger. — 2019. — P. 10336–10345. — ISBN 978-1-7281-3293-8. — doi:10.1109/CVPR.2019.01059.
↑ ¹ ² ³ Liu, Weixiao. Robust and Accurate Superquadric Recovery: A Probabilistic Approach // 2022 IEEE/CVF Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR) / Weixiao Liu, Yuwei Wu, Sipu Ruan … [и др.]. — 2022. — P. 2666–2675. — ISBN 978-1-6654-6946-3. — doi:10.1109/CVPR52688.2022.00270.
↑ Ruan, Sipu; Wang, Xiaoli; Chirikjian, Gregory S. (2022-01-01). “Collision Detection for Unions of Convex Bodies With Smooth Boundaries Using Closed-Form Contact Space Parameterization”. IEEE Robotics and Automation Letters [англ.]. 7 (4): 9485—9492. DOI:10.1109/LRA.2022.3190629. ISSN 2377-3766. Дата обращения 2024-06-09. |access-date= требует |url= (справка)
↑ Lu, G.; Third, J. R.; Müller, C. R. (2012-08-20). “Critical assessment of two approaches for evaluating contacts between super-quadric shaped particles in DEM simulations”. Chemical Engineering Science [англ.]. 78: 226—235. DOI:10.1016/j.ces.2012.05.041. ISSN 0009-2509. Дата обращения 2024-06-09.
↑ Alan H. Barr (1992), Rigid Physically Based Superquadrics. Глава III.8 в Graphics Gems III, ред. D. Kirk, стр. 137–159
↑ А. Яклич, А. Леонардиc, Ф. Солина (2000) Segmentation and Recovery of Superquadrics. Kluwer Academic Publishers, Дордрехт
↑ Wu, Yuwei. Primitive-Based Shape Abstraction via Nonparametric Bayesian Inference // Computer Vision – ECCV 2022 : [англ.] / Yuwei Wu, Weixiao Liu, Sipu Ruan … [et al.]. — 2022. — Vol. 13687. — P. 479–495. — ISBN 978-3-031-19812-0. — doi:10.1007/978-3-031-19812-0_28.

[barr81-1] ¹ ² ³ ⁴ Barr (1 января 1981). “Superquadrics and Angle-Preserving Transformations”. IEEE Computer Graphics and Applications [англ.]. 1 (1): 11—23. DOI:10.1109/MCG.1981.1673799. ISSN 0272-1716. S2CID 9389947. Дата обращения 2024-06-09. |access-date= требует |url= (справка)

[:1-2] ¹ ² Paschalidou, Despoina. Superquadrics Revisited: Learning 3D Shape Parsing Beyond Cuboids // 2019 IEEE/CVF Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR) / Despoina Paschalidou, Ali Osman Ulusoy, Andreas Geiger. — 2019. — P. 10336–10345. — ISBN 978-1-7281-3293-8. — doi:10.1109/CVPR.2019.01059.

[:0-3] ¹ ² ³ Liu, Weixiao. Robust and Accurate Superquadric Recovery: A Probabilistic Approach // 2022 IEEE/CVF Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR) / Weixiao Liu, Yuwei Wu, Sipu Ruan … [и др.]. — 2022. — P. 2666–2675. — ISBN 978-1-6654-6946-3. — doi:10.1109/CVPR52688.2022.00270.

[4] Ruan, Sipu; Wang, Xiaoli; Chirikjian, Gregory S. (2022-01-01). “Collision Detection for Unions of Convex Bodies With Smooth Boundaries Using Closed-Form Contact Space Parameterization”. IEEE Robotics and Automation Letters [англ.]. 7 (4): 9485—9492. DOI:10.1109/LRA.2022.3190629. ISSN 2377-3766. Дата обращения 2024-06-09. |access-date= требует |url= (справка)

[5] Lu, G.; Third, J. R.; Müller, C. R. (2012-08-20). “Critical assessment of two approaches for evaluating contacts between super-quadric shaped particles in DEM simulations”. Chemical Engineering Science [англ.]. 78: 226—235. DOI:10.1016/j.ces.2012.05.041. ISSN 0009-2509. Дата обращения 2024-06-09.

[barr92-6] Alan H. Barr (1992), Rigid Physically Based Superquadrics. Глава III.8 в Graphics Gems III, ред. D. Kirk, стр. 137–159

[7] А. Яклич, А. Леонардиc, Ф. Солина (2000) Segmentation and Recovery of Superquadrics. Kluwer Academic Publishers, Дордрехт

[8] Wu, Yuwei. Primitive-Based Shape Abstraction via Nonparametric Bayesian Inference // Computer Vision – ECCV 2022 : [англ.] / Yuwei Wu, Weixiao Liu, Sipu Ruan … [et al.]. — 2022. — Vol. 13687. — P. 479–495. — ISBN 978-3-031-19812-0. — doi:10.1007/978-3-031-19812-0_28.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Суперквадрики

Формулы

Неявное уравнение

Параметрическое задание

Сферический продукт

Код для построения графиков

Примечания

Ссылки

Категории