Суперэллипсоид

Базовый суперэллипсоид определяется неявной функцией:

${\displaystyle f(x,y,z)=\left(x^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}+y^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}\right)^{\epsilon _{2}/\epsilon _{1}}+z^{\frac {2}{\epsilon _{1}}}}$

Параметры ${\displaystyle \epsilon _{1}}$ и ${\displaystyle \epsilon _{2}}$ — положительные действительные числа, задающие степень «квадратности» формы.

Поверхность суперэллипсоида определяется уравнением:

${\displaystyle f(x,y,z)=1}$

Для любой точки ${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}}$, точка находится внутри суперэллипсоида при ${\displaystyle f(x,y,z)<1}$, и вне его — при ${\displaystyle f(x,y,z)>1}$.

Любая «параллель» суперэллипсоида (горизонтальное сечение на постоянном z между −1 и +1) — это кривая Ламе с показателем ${\displaystyle 2/\epsilon _{2}}$, масштабируемая коэффициентом ${\displaystyle a=(1-z^{\frac {2}{\epsilon _{1}}})^{\frac {\epsilon _{1}}{2}}}$, то есть

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}+\left({\frac {y}{a}}\right)^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}=1.}$

Любой «меридиан» (сечение произвольной вертикальной плоскостью через начало координат) — это кривая Ламе с показателем ${\displaystyle 2/\epsilon _{1}}$, растянутая по горизонтали с коэффициентом w, который зависит от выбранной плоскости. Пусть ${\displaystyle x=u\cos \theta }$, ${\displaystyle y=u\sin \theta }$ для некоторого ${\displaystyle \theta }$, тогда сечение задаётся:

${\displaystyle \left({\frac {u}{w}}\right)^{\frac {2}{\epsilon _{1}}}+z^{\frac {2}{\epsilon _{1}}}=1,}$

где

${\displaystyle w=(\cos ^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}\theta +\sin ^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}\theta )^{-{\frac {\epsilon _{2}}{2}}}.}$

В частности, при ${\displaystyle \epsilon _{2}=1}$ горизонтальные сечения — круги, и горизонтальный масштаб ${\displaystyle w}$ для всех сечений равен 1. В этом случае суперэллипсоид становится телом вращения, получаемым вращением кривой Ламе с показателем ${\displaystyle 2/\epsilon _{1}}$ вокруг вертикальной оси.

Базовая форма суперэллипсоида распространяется от −1 до +1 по каждой координатной оси. Общий суперэллипсоид получают масштабированием базовой формы по осям с коэффициентами ${\displaystyle a_{x}}$, ${\displaystyle a_{y}}$, ${\displaystyle a_{z}}$ — полуосями итогового тела. Неявная функция имеет вид:^[1]

${\displaystyle F(x,y,z)=\left(\left({\frac {x}{a_{x}}}\right)^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}+\left({\frac {y}{a_{y}}}\right)^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}\right)^{\frac {\epsilon _{2}}{\epsilon _{1}}}+\left({\frac {z}{a_{z}}}\right)^{\frac {2}{\epsilon _{1}}}.}$

Поверхность определяется уравнением

${\displaystyle F(x,y,z)=1}$

Для точки ${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}}$, она находится внутри суперэллипсоида, если ${\displaystyle F(x,y,z)<1}$, и вне — если ${\displaystyle F(x,y,z)>1}$.

Поэтому неявная функция также называется функцией внутренности-внешности суперэллипсоида^[1].

Существует параметрическое задание поверхности суперэллипсоида через параметры ${\displaystyle \eta \in [-\pi /2,\pi /2)}$, ${\displaystyle \omega \in [-\pi ,\pi )}$:^[2]

${\displaystyle x(\eta ,\omega )=a_{x}\cos ^{\epsilon _{1}}\eta \cos ^{\epsilon _{2}}\omega }$

${\displaystyle y(\eta ,\omega )=a_{y}\cos ^{\epsilon _{1}}\eta \sin ^{\epsilon _{2}}\omega }$

${\displaystyle z(\eta ,\omega )=a_{z}\sin ^{\epsilon _{1}}\eta }$

В задачах компьютерного зрения и робототехники интерес зачастую представляют суперэллипсоиды в произвольном положении в трёхмерном евклидовом пространстве^[4][5].

Для данного евклидова преобразования системы суперэллипсоида ${\displaystyle g=[\mathbf {R} \in SO(3),\mathbf {t} \in \mathbb {R} ^{3}]\in SE(3)}$ относительно системы «мир», неявная функция поверхности общего суперэллипсоида имеет вид^[5]:

${\displaystyle F\left(g^{-1}\circ (x,y,z)\right)=1}$

где символ ${\displaystyle \circ }$ обозначает преобразование точки ${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}}$ из мировой системы координат в каноническую систему суперэллипсоида.

Объём, ограниченный поверхностью суперэллипсоида, выражается через бета-функции ${\displaystyle \beta (\cdot ,\cdot )}$:^[9]

${\displaystyle V(\epsilon _{1},\epsilon _{2},a_{x},a_{y},a_{z})=2a_{x}a_{y}a_{z}\epsilon _{1}\epsilon _{2}\beta \left({\frac {\epsilon _{1}}{2}},\epsilon _{1}+1\right)\beta \left({\frac {\epsilon _{2}}{2}},{\frac {\epsilon _{2}+2}{2}}\right)}$

или через гамма-функцию ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$, поскольку

${\displaystyle \beta (m,n)={\frac {\Gamma (m)\Gamma (n)}{\Gamma (m+n)}}}$