Система Цермело — Френкеля

Теория множеств Цермело — Френкеля (ZF) — теория первого порядка с равенством с одним двуместным предикатным символом ${\displaystyle \in }$ и следующими аксиомами:

1. ${\displaystyle \forall A\forall B\ (\forall b\ (b\in A\leftrightarrow b\in B)\rightarrow A=B)}$ — аксиома объёмности (экстенсиональности);
2. ${\displaystyle \forall A\ \exists D\ \forall c\ {\bigl (}c\in D\leftrightarrow \exists a\ (a\in A\ \land \ c\in a){\bigr )}}$ — аксиома объединения;
3. ${\displaystyle \forall A\ \exists B\ \forall b\ (b\in B\leftrightarrow \forall d\ {\bigl (}d\in b\rightarrow d\in A{\bigr )})}$ — аксиома булеана;
4. ${\displaystyle \exists A\ \exists E\ {\bigl (}\forall c\ \lnot {\bigl (}c\in E{\bigr )}\land E\in A\ \land \ \forall b\ (b\in A\rightarrow \forall c{\bigl (}{\bigl (}d\in c\leftrightarrow d=b\lor \forall a{\bigl (}a\in d\leftrightarrow a=b{\bigr )}{\bigr )}\rightarrow c\in A){\bigr )}{\bigr )}}$ — аксиома бесконечности;
5. ${\displaystyle \forall A\ {\Bigl (}\exists a{\bigl (}a\in A{\bigr )}\rightarrow \exists b\ {\bigl (}b\in A\ \land \ \forall c\ (c\in b\rightarrow \lnot {\bigl (}c\in A){\bigr )}{\bigr )}{\Bigr )}}$ — аксиома регулярности;
6. ${\displaystyle \forall x\ \forall y\ \forall z\ {\bigl (}\varphi [x,y]\land \varphi [x,z]\rightarrow y=z{\bigr )}\rightarrow \forall A\ \exists D\ \forall c\ {\bigl (}c\in D\leftrightarrow \exists b\ (b\in A\ \land \ \varphi [b,c]){\bigr )}}$ — схема преобразования.

Иногда также к этим аксиомам добавляют следующие:

• ${\displaystyle \exists E\ \forall c\ \lnot {\bigl (}c\in E{\bigr )}}$ — аксиома пустого множества;
• ${\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\ \exists C\ \forall b\ {\bigl (}b\in C\leftrightarrow (b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2}){\bigr )}}$ — аксиома пары;
• ${\displaystyle \forall A\ \exists C\ \forall b\ {\bigl (}b\in C\leftrightarrow b\in A\land \varphi [b]{\bigr )}}$ — схема выделения.

Однако эти аксиомы избыточны и могут быть выведены из основных.

Теория множеств Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC) получается из ZF добавлением к списку аксиом ещё одной дополнительной аксиомы, называемой аксиомой выбора:

${\displaystyle \forall A\ {\bigl (}{\bigl (}\exists a{\bigl (}a\in A{\bigr )}\ \land \ \forall b\ (b\in A\rightarrow \exists a{\bigl (}a\in b{\bigr )}{\bigr )}\ \land \ \forall b_{1}\ \forall b_{2}\ \forall c\ (b_{1}\in A\land b_{2}\in A\land c\in b_{1}\land c\in b_{2}\rightarrow b_{1}=b_{2}{\bigr )}{\bigr )}\rightarrow {\bigl (}\exists D\ \forall b{\bigl (}b\in A\rightarrow \exists d{\bigl (}d\in b\land d\in D{\bigr )}\land \forall d_{1}\ \forall d_{2}\ {\bigl (}d_{1}\in b\land d_{2}\in b\land d_{1}\in D\land d_{2}\in D\rightarrow d_{1}=d_{2}{\bigr )}{\bigr )}{\bigr )}{\bigr )}}$ — аксиома выбора

Аксиомы ZFC включают в себя:

0) группу высказываний о равенстве множеств (аксиома 1),

1) группу высказываний о существовании множеств (аксиомы 0, 6),

2) группу высказываний об образовании множеств из уже имеющихся множеств (аксиомы 2, 3, 4 и схемы 5, 7), в которой можно выделить три подгруппы,

3) группу высказываний об упорядоченности образованных множеств (аксиомы 8, 9).

Следующее высказывание выражает достаточное условие идентичности двух множеств.

${\displaystyle \forall A_{1}\forall A_{2}\ (\forall b\ (b\in A_{1}\leftrightarrow b\in A_{2})\to A_{1}=A_{2})}$

Примечание

«Аксиому объёмности» можно сформулировать следующим образом: «Если каждый элемент первого множества принадлежит второму множеству, а каждый элемент второго множества принадлежит первому множеству, тогда оба множества идентичны.»

Необходимое условие идентичности двух множеств имеет вид ${\displaystyle \forall A_{1}\forall A_{2}\ (A_{1}=A_{2}\to \forall b\ (b\in A_{1}\leftrightarrow b\in A_{2}))}$ и выводится из аксиом предиката ${\displaystyle =}$, а именно:

${\displaystyle \forall a\ (a=a)}$,

${\displaystyle \forall A_{1}\forall A_{2}\ (A_{1}=A_{2}\to (\varphi [A_{1}]\to \varphi [A_{2}]))}$, где ${\displaystyle \varphi [a_{1}]}$ — любое математически корректное суждение об ${\displaystyle a_{1}}$, а ${\displaystyle \varphi [a_{2}]}$ — то же самое суждение, но об ${\displaystyle a_{2}}$.

Соединение указанного необходимого условия [идентичности множеств] с аксиомой объёмности даёт следующий критерий равенства множеств:

${\displaystyle \forall A_{1}\forall A_{2}\ (A_{1}=A_{2}\leftrightarrow \forall b\ (b\in A_{1}\leftrightarrow b\in A_{2})\ )}$

«Аксиома объёмности» была бы бесполезным высказыванием, если бы не существовало ни одного множества или существовало только одно множество.

Следующие два высказывания гарантируют существование по меньшей мере двух разных множеств, а именно: а) множества, в котором нет ничего, и б) множества, содержащего бесконечное количество элементов.

${\displaystyle \exists A\forall b\ (b\notin A)}$

Примечание

«Аксиому [существования] пустого множества» можно сформулировать следующим образом: «Существует [по меньшей мере одно] множество без единого элемента.»

Доказывается, что «аксиома пустого множества» равносильна высказыванию ${\displaystyle \exists !A\forall b\ (b\notin A)}$. Поэтому единственному множеству ${\displaystyle a}$ можно присвоить имя. Употребительны два имени: ${\displaystyle \varnothing }$ и ${\displaystyle \{\}}$. Используя указанные имена, «аксиому пустого множества» записывают так:

${\displaystyle \forall b\ (b\notin \varnothing )}$ и ${\displaystyle \forall b\ (b\notin \{\})}$

${\displaystyle \exists A\ (\varnothing \in A\ \land \ \forall b\ (b\in A\to b\cup \{b\}\in A)\ )}$, где ${\displaystyle b\cup \{b\}=\{c\colon c\in b\ \lor \ c=b\}}$

Примечание

«Аксиому бесконечности» можно сформулировать следующим образом: «Существует [по меньшей мере одно] „бесконечное множество“, которое состоит из ${\displaystyle \varnothing ,\ \ \varnothing \cup \{\varnothing \},\ \ \varnothing \cup \{\varnothing \}\cup \{\varnothing \cup \{\varnothing \}\},\ \ldots }$.»

Высказывание о существовании бесконечного множества отличается от (ложного в данной аксиоматике) высказывания о существовании «множества всех множеств» (${\displaystyle \exists A\forall b\ (b\in A)}$).

Следующие пять высказываний можно назвать аксиомами образования множеств [из имеющихся множеств, включая ${\displaystyle \varnothing }$ и по меньшей мере одну ${\displaystyle \infty }$].

Каждое из этих пяти высказываний создано на основе высказывания ${\displaystyle \forall A\exists b\ (b=\varphi [A])}$, которое выводится из аксиом предиката ${\displaystyle =}$.

Эти пять высказываний можно объединить в следующие подгруппы:

2.0) группу постулатов об образовании множеств путём перечисления их элементов,

2.1) группу деклараций об учреждении и об упразднении семейств множеств,

2.2) группу схем образования множеств с помощью математически корректных суждений.

Простейший способ образовать новое множество [из уже имеющихся множеств] состоит в том, чтобы «ткнуть пальцем» в каждое множество, которое должно стать элементом [образуемого множества]. В ZFC указанный способ образования множеств представлен одной аксиомой, в которой «тыканье пальцем» моделируется с помощью предиката ${\displaystyle =}$.

2.0 Аксиома пары

${\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})}$, что есть ${\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\ (c=\{b\colon b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2}\})}$

Примечание

«Аксиому [неупорядоченной] пары» можно сформулировать следующим образом: «Из любых двух множеств можно образовать „неупорядоченную пару“, то есть такое множество ${\displaystyle c}$, каждый элемент ${\displaystyle b}$ которого идентичен данному множеству ${\displaystyle a_{1}}$ или данному множеству ${\displaystyle a_{2}}$».

Примеры

${\displaystyle 1.\ a_{1}=0\ \land \ a_{2}=1\Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=0\ \lor \ b=1)}$

${\displaystyle 2.\ a_{1}=\varnothing \ \land \ a_{2}=\{\varnothing \}\Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=\varnothing \ \lor \ b=\{\varnothing \}\ )}$

Доказывается, что «аксиома пары» равносильна высказыванию ${\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\exists !c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})}$. Поэтому единственному множеству ${\displaystyle c}$ можно присвоить имя ${\displaystyle \{a_{1},a_{2}\}}$. Используя указанное имя, «аксиому пары» записывают так:

${\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\forall b\ (b\in \{a_{1},a_{2}\}\leftrightarrow b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})}$ или ${\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\ (\{a_{1},a_{2}\}=\{b\colon b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2}\})}$

Следующие две аксиомы, именуемые «аксиомой множества подмножеств» и «аксиомой объединения», можно рассматривать как естественное дополнение к «аксиоме пары». Чтобы убедиться в этом, заметим следующее.

Известно, что каждое множество ${\displaystyle z}$ имеет подмножества, включая [копию пустого множества] ${\displaystyle \varnothing }$ и [копию самого множества] ${\displaystyle z}$. Иначе говоря,

${\displaystyle \forall z\exists x\exists y\ (x\subseteq z\ \land \ y\subseteq z)\quad \land \quad \forall z\ (\varnothing \subseteq z\ \land \ z\subseteq z)}$.

Руководствуясь «аксиомой пары», из названных подмножеств можно образовать неупорядоченную пару ${\displaystyle \{\varnothing ,z\}}$. Назовём эту пару семейством ${\displaystyle Fam_{2}(z)}$.

Если можно образовать семейство ${\displaystyle Fam_{2}(z)}$ из двух подмножеств множества ${\displaystyle z}$, тогда можно объявить об образовании семейства ${\displaystyle Fam_{a}(z)}$ из всех подмножеств множества ${\displaystyle z}$.

Чтобы объявить об образовании семейства ${\displaystyle Fam_{a}(z)}$ достаточно потребовать, чтобы каждый элемент ${\displaystyle b}$ названного семейства был подмножеством множества ${\displaystyle z}$, а каждое подмножество ${\displaystyle b}$ названного множества было элементом семейства ${\displaystyle Fam_{a}(z)}$. Иначе говоря,

${\displaystyle \forall b\ (b\in Fam_{a}(z)\to b\subseteq z)\ \land \ \forall b\ (b\subseteq z\to b\in Fam_{a}(z)\ )}$,

что равносильно предложению

${\displaystyle \forall b\ (b\in Fam_{a}(z)\leftrightarrow b\subseteq z)}$,

которое подразумевает предложение

${\displaystyle \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq z)}$,

которое является частным случаем высказывания

${\displaystyle \forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)}$.

Если можно объявить об учреждении семейства ${\displaystyle Fam_{a}(z)}$, тогда можно объявить об упразднении названного семейства.

Мыслимы различные способы упразднения семейства ${\displaystyle Fam_{a}(z)}$, включая:

1) его полное упразднение (уничтожение), то есть ${\displaystyle Del(Fam_{a}(z))=\varnothing }$, что равносильно

${\displaystyle \forall c\ (c\in Del(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in \varnothing )}$,

2) его фиктивное упразднение (резервирование), то есть ${\displaystyle Fic(Fam_{a}(z))=Fam_{a}(z)}$, что равносильно

${\displaystyle \forall c\ (c\in Fic(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in Fam_{a}(z))}$,

3) его реверсивное упразднение (расформирование), то есть ${\displaystyle Rev(Fam_{a}(z))=z}$, что равносильно

${\displaystyle \forall c\ (c\in Rev(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in z)}$.

Поскольку

${\displaystyle c\in z\Leftrightarrow \{c\}\in Fam_{a}(z)\Leftrightarrow \exists b\ (b=\{c\}\ \land \ b\in Fam_{a}(z))\Leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in Fam_{a}(z))}$,

постольку предложение

${\displaystyle \forall c\ (c\in Rev(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in z)}$

равносильно предложению

${\displaystyle \forall c\ (c\in Rev(Fam_{a}(z))\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in Fam_{a}(z))\ )}$,

которое подразумевает предложение

${\displaystyle \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in Fam_{a}(z))\ )}$,

которое является частным случаем высказывания

${\displaystyle \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in a)\ )}$.

Из изложенного следует, что высказывания ${\displaystyle \forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)}$ и ${\displaystyle \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in a)\ )}$ можно считать независимыми условно.

${\displaystyle \forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)}$, что есть ${\displaystyle \forall a\exists d\ (d=\{b\colon b\subseteq a\})}$, где ${\displaystyle b\subseteq a\Leftrightarrow \forall c\ (c\in b\to c\in a)}$

Примечание

«Аксиому множества подмножеств» можно сформулировать следующим образом: «Из любого множества ${\displaystyle a}$ можно образовать „суперкучу“, то есть множество ${\displaystyle d}$, состоящее из (собственных либо несобственных) подмножеств ${\displaystyle b}$ данного множества ${\displaystyle a}$.»

Примеры

${\displaystyle 1.\ a=\varnothing \Rightarrow \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing \})}$, так как ${\displaystyle \forall a\ (\varnothing \subseteq a\land a\subseteq a)}$

${\displaystyle 2.\ a=\{\varnothing \}\Rightarrow \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing ,\{\varnothing \}\})\Leftrightarrow \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b=\varnothing \ \lor \ b=\{\varnothing \})}$

${\displaystyle 3.\ a=\{1,2,3\}\Rightarrow \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\})}$

${\displaystyle 4.\ a=\{a_{1},a_{2}\}\Rightarrow \exists d\forall b(b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing ,\{a_{1}\},\{a_{2}\},\{a_{1},a_{2}\}\})}$

Доказывается, что «аксиома множества подмножеств» равносильна высказыванию ${\displaystyle \forall a\exists !d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)}$. Поэтому единственному множеству ${\displaystyle d}$ можно присвоить имя ${\displaystyle {\mathcal {P}}(a)}$, которое произносится: «множество всех подмножеств [множества] ${\displaystyle a}$». Используя указанное имя, «аксиому множества подмножеств» записывают так:

${\displaystyle \forall a\forall b\ (b\in {\mathcal {P}}(a)\leftrightarrow b\subseteq a)}$ или ${\displaystyle \forall a\ ({\mathcal {P}}(a)=\{b\colon b\subseteq a\})}$

${\displaystyle \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\ )}$, что есть ${\displaystyle \forall a\exists d\ (d=\{c\colon \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\})}$

Примечание

Аксиому объединения [множеств] можно сформулировать следующим образом: «Из любого семейства множеств можно образовать „кучу-малу“, то есть такое множество ${\displaystyle d}$, каждый элемент ${\displaystyle c}$ которого принадлежит по меньшей мере одному множеству ${\displaystyle b}$ данного семейства ${\displaystyle a}$».

Примеры

${\displaystyle 1.\ a={\mathcal {P}}(\varnothing )=\{\varnothing \}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \varnothing )}$

${\displaystyle 2.\ a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in {\mathcal {P}}(\varnothing )\ )\Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{\varnothing \})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}3.\ a=\{b_{1},b_{2},b_{3}\}=\{\{0,1\},\{1,2\},\{3\}\}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{0,1\}\lor c\in \{1,2\}\lor c\in \{3\})\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{0,1,2,3\})\end{aligned}}}$

${\displaystyle 4.\ a=\{b,\{b\}\}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in b\cup \{b\})\Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in b\ \lor \ c=b)}$

${\displaystyle 5.\ a=(a_{1},a_{2})=\{\{a_{1}\},\{a_{1},a_{2}\}\}=\{\{a_{1},a_{1}\},\{a_{1},a_{2}\}\}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{a_{1},a_{2}\})}$

${\displaystyle 6.\ a=\langle a_{1},a_{2}\rangle =\{a_{1},\{a_{1},a_{2}\}\}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in a_{1}\cup \{a_{1},a_{2}\})}$

${\displaystyle 7.\ a={\mathcal {P}}(\{a_{1},a_{2}\})=\{\varnothing ,\{a_{1}\},\{a_{2}\},\{a_{1},a_{2}\}\}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{a_{1},a_{2}\})}$

Доказывается, что аксиома объединения равносильна высказыванию ${\displaystyle \forall a\exists !d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\ )}$. Поэтому единственному множеству ${\displaystyle d}$ можно присвоить имя ${\displaystyle \cup \,a}$, которое произносится: «объединение множеств семейства ${\displaystyle a}$». Используя указанное имя, аксиому объединения записывают так:

${\displaystyle \forall a\forall c\ (c\in \cup a\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\ )}$ или ${\displaystyle \forall a\ (\cup a=\{c\colon \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\}\ )}$.

Объединение множеств семейства ${\displaystyle a}$ (${\displaystyle \cup a}$) не следует путать с пересечением множеств семейства ${\displaystyle a}$ (${\displaystyle \cap a}$), о котором известно:

${\displaystyle \forall a\forall c\ (c\in \cap a\leftrightarrow \forall b\ (b\in a\to c\in b)}$, то есть ${\displaystyle \forall a\ (\cap a=\{c\colon \forall b\ (b\in a\to c\in b)\})}$

Среди математических высказываний встречаются аксиомы связи, включая:

а) аксиому связи между алгебраической операцией ${\displaystyle +}$ (сложить) и алгебраической операцией ${\displaystyle \cdot }$ (умножить)

${\displaystyle \forall x\forall y\forall z\ (x\in \mathbb {R} \land \ y\in \mathbb {R} \land z\in \mathbb {R} \to (x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z)}$,

б) аксиому связи между отношением порядка ${\displaystyle \leq }$ (меньше или равно) и алгебраической операцией ${\displaystyle +}$ (сложить)

${\displaystyle \forall x\forall y\forall z\ (x\in \mathbb {R} \land y\in \mathbb {R} \land z\in \mathbb {R} \to (x\leq y\to x+z\leq y+z))}$

Следующие два высказывания, именуемые «схемой выделения» и «схемой преобразования», являются аксиомами связи между множествами (например, множеством ${\displaystyle \{0,1\}}$) и математически корректными суждениями (например, суждением ${\displaystyle x\leq 0}$).

«Схема выделения» и «схема преобразования» выражают следующую простую мысль: «Каждое математически корректное суждение об элементах любого множества приводит к образованию [того же самого или другого] множества.»

Математически корректные суждения, фигурирующие в «схеме выделения», позволяют «довести [до товарного вида]» множества, которые образованы, например, с помощью аксиомы множества подмножеств.

Математически корректные суждения, фигурирующие в «схеме преобразования», позволяют создавать «[математические] изделия» из [«неотёсанных»] множеств, образованных, например, с помощью аксиомы множества подмножеств.

${\displaystyle \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ \Phi [b]\ )}$, что есть ${\displaystyle \forall a\exists c\ (c=\{b\colon b\in a\ \land \ \Phi [b]\}\ )}$, где ${\displaystyle \Phi [b]}$ — любое математически корректное суждение о ${\displaystyle b}$, но не о множестве ${\displaystyle a}$ и не о множестве ${\displaystyle c}$.

Примечание

Схему выделения [подмножеств] можно сформулировать следующим образом: «Из каждого множества можно выделить [по меньшей мере одно] подмножество ${\displaystyle c}$, высказав суждение ${\displaystyle \Phi }$ о каждом элементе ${\displaystyle b}$ данного множества ${\displaystyle a}$.»

Примеры

${\displaystyle 1.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x=x)\Rightarrow \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b=b)}$

${\displaystyle 2.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x\neq x)\Rightarrow \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b\neq b)}$

${\displaystyle 3.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x\in y)\Rightarrow \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b\in y)}$

${\displaystyle 4.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x\notin y)\Rightarrow \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b\notin y)}$

${\displaystyle 5.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x<2)\ \land \ a=\mathbb {N} \Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in \mathbb {N} \ \land \ b<2)\Leftrightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in \{0,1\})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}6.\ (\Phi [x]\leftrightarrow \exists k\ (k\in \mathbb {N} \land x=2k))\land a=\mathbb {N} \Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in \mathbb {N} \land \exists k\ (k\in \mathbb {N} \land b=2k))\\\ \Leftrightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in \{0,2,4,6,\ldots \})\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}7.\ (\Phi [x]\ \leftrightarrow \ \exists u\exists v\ (u\in U\ \land \ v\in V\ \land \ x=(u,v)\ )\ )\quad \land \quad a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(U\cup V))\\\ \Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(U\cup V))\ \land \ \exists u\exists v\ (u\in U\land v\in V\land b=(u,v)))\end{aligned}}}$

Доказывается, что схема выделения равносильна высказыванию ${\displaystyle \forall a\exists !c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ \Phi [b]\ )}$. Поэтому единственному подмножеству ${\displaystyle c}$ можно присвоить имя ${\displaystyle \{x\colon x\in a\land \Phi [x]\}}$. Используя указанное имя, схему выделения записывают так:

${\displaystyle \forall a\forall b\ (b\in \{x\colon x\in a\land \Phi [x]\}\leftrightarrow b\in a\ \land \ \Phi [b]\ )}$

или

${\displaystyle \forall a(\{x\colon x\in a\ \land \ \Phi [x]\}=\{b\colon b\in a\ \land \ \Phi [b]\}}$

Схема выделения равносильна счётному множеству аксиом.

${\displaystyle \forall x\exists !y\ (\phi [x,y])\ \to \ \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c]\ )\ )}$, что есть ${\displaystyle \forall x\exists !y\ (\phi [x,y])\ \to \ \forall a\exists d\ (d=\{c\colon \exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c])\}\ )}$

Примечание

Схему преобразования [множеств] можно сформулировать следующим образом: «Любое множество можно преобразовать в [то же самое или другое] множество ${\displaystyle d}$, высказав любое истинное математически корректное функциональное суждение ${\displaystyle \phi }$ обо всех элементах ${\displaystyle b}$ данного множества ${\displaystyle a}$.»

Примеры

${\displaystyle 1.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow y=x)\Rightarrow \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c=b))\Leftrightarrow \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in a)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow y=x^{2})\ \land \ a=\{1,2,3\}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in \{1,2,3\}\ \land \ c=b^{2}))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{1,4,9\})\end{aligned}}}$

${\displaystyle 3.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow y=f(x))\Rightarrow \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c=f(b)\ )\ )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}4.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow (x=\varnothing \to y=a_{1})\land (x\neq \varnothing \to y=a_{2})\ )\quad \land \quad a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\\\ \Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in \{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\land (b=\varnothing \to c=a_{1})\land (b\neq \varnothing \to c=a_{2})\ ))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c=a_{1}\ \lor \ c=a_{2})\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}5.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow y=2x)\ \land \ a=\mathbb {N} \Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in \mathbb {N} \land c=2b))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{0,2,4,6,\ldots \})\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}6.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow y=2x+1)\ \land \ a=\mathbb {N} \Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in \mathbb {N} \land c=2b+1))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{1,3,5,7,\ldots \})\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}7.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow (x\in \mathbb {N} \ \land \ x<2\to y=x)\ \land \ (x\in \mathbb {N} \ \land \ \neg (x<2)\to y=1))\quad \land \quad a=\mathbb {N} \\\ \Rightarrow \exists d\forall c(c\in d\leftrightarrow \exists b(b\in \mathbb {N} \ \land \ (b\in \mathbb {N} \land b<2\to c=b)\ \land \ (b\in \mathbb {N} \land \neg (b<2)\to c=1)))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \mathbb {N} \ \land \ c<2)\Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{0,1\})\end{aligned}}}$

Доказывается, что в схеме преобразования множество ${\displaystyle d}$ единственно. Поэтому указанному множеству можно присвоить имя ${\displaystyle \{y\colon \exists x\ (x\in a\ \land \ \phi [x,y])\}}$. Используя указанное имя, схему преобразования записывают так:

${\displaystyle \forall x\exists !y(\phi [x,y])\to \forall a\forall c\ (c\in \{y\colon \exists x\ (x\in a\ \land \ \phi [x,y])\}\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c])\ )}$

или

${\displaystyle \forall x\exists !y(\phi [x,y])\to \forall a(\{y\colon \exists x\ (x\in a\ \land \ \phi [x,y])\}=\{c\colon \exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c])\}\ )}$

Схема преобразования равносильна счётному множеству аксиом.

Следующие два высказывания определяют упорядоченность множеств, которые образованы из ${\displaystyle \varnothing }$ и каждой ${\displaystyle \infty }$ с помощью аксиом образования множеств.

${\displaystyle \forall a\ (a\neq \varnothing \to \exists b\ (b\in a\ \land \ \forall c\ (c\in b\to c\notin a)\ )\ )}$

Примечание

«Аксиому регулярности» можно сформулировать следующим образом: «В любом семействе множеств есть [по меньшей мере одно] множество ${\displaystyle b}$, каждый элемент ${\displaystyle c}$ которого не принадлежит данному семейству ${\displaystyle a}$.»

Примеры

${\displaystyle {\begin{aligned}1.\ a=\{x\}\Rightarrow a\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ (b\in \{x\}\land \forall c\ (c\in b\to c\notin \{x\})\ )\\\ \Leftrightarrow \exists b\ (b\in \{x\}\land \forall c\ (c\in \{x\}\to c\notin b))\Rightarrow \forall x(x\notin x)\\\ \Leftrightarrow \forall a(a\notin a)\Leftrightarrow \forall a\forall b\ (a\in b\ \lor \ b\in a\to a\neq b)\end{aligned}}}$

Сравните с высказываниями ${\displaystyle \forall a\ (a=a)}$ и ${\displaystyle \forall a\ (a\not <a)}$, а также ${\displaystyle \forall a\forall b\ (a<b\ \lor \ b<a\to a\neq b)}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}2.\ a=\{x,y\}\Rightarrow a\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ (b\in \{x,y\}\ \land \ \forall c\ (c\in b\to c\notin \{x,y\}))\\\ \Rightarrow \forall x\forall y\ (x\in y\to y\notin x)\\\ \Leftrightarrow \forall a\forall b\ (a\in b\to b\notin a)\end{aligned}}}$

Сравните с высказываниями ${\displaystyle \forall a\forall b\ (a=b\to b=a)}$ и ${\displaystyle \forall a\forall b\ (a<b\to b\not <a)}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}3.\ a=\{x,y,z\}\Rightarrow a\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ (b\in \{x,y,z\}\land \forall c\ (c\in b\to c\notin \{x,y,z\}))\\\ \Rightarrow \forall a\forall b\forall c\ (a\in b\land b\in c\to c\notin a)\end{aligned}}}$

Сравните с высказываниями ${\displaystyle \forall a\forall b\forall c\ (a=b\land b=c\to c=a)}$ и ${\displaystyle \forall a\forall b\forall c\ (a<b\land b<c\to c\not <a)}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall a\ (a\neq \varnothing \land \forall b\ (b\in a\to b\neq \varnothing )\land \forall b_{1}\forall b_{2}\ (b_{1}\neq b_{2}\land \{b_{1},b_{2}\}\subseteq a\to b_{1}\cap b_{2}=\varnothing )\\\ \to \exists d\forall b\ (b\in a\to \exists c\ (b\cap d=\{c\})\ )\ )\end{aligned}}}$

Примечание

«Аксиому выбора» можно сформулировать следующим образом: «Из любого семейства непустых попарно непересекающихся множеств можно выбрать „делегацию“, то есть такое множество ${\displaystyle d}$, в котором есть по одному элементу ${\displaystyle c}$ от каждого множества ${\displaystyle b}$ данного семейства ${\displaystyle a}$.»

Пример

Предположим, что семейство образовано из множества неотрицательных чётных чисел и множества неотрицательных нечётных чисел. В таком случае, выполнены все условия «аксиомы выбора», а именно:

${\displaystyle 1.\quad \{\{0,2,4,\ldots \},\ \{1,3,5,\ldots \}\}\neq \varnothing }$,

${\displaystyle 2.\quad \{0,2,4,\ldots \}\neq \varnothing \quad \land \quad \{1,3,5,\ldots \}\neq \varnothing }$,

${\displaystyle 3.\quad \{0,2,4,\ldots \}\ \cap \ \{1,3,5,\ldots \}=\varnothing }$.

Следовательно, можно образовать по меньшей мере одну «делегацию» в составе одного «делегата» (например, числа ноль) от множества ${\displaystyle \{0,2,4,\ldots \}}$ и одного «делегата» (например, числа один) от множества ${\displaystyle \{1,3,5,\ldots \}}$. Действительно:

${\displaystyle \{0,2,4,\ldots \}\ \cap \ \{0,1\}=\{0\}}$.

${\displaystyle \{1,3,5,\ldots \}\ \cap \ \{0,1\}=\{1\}}$.

По-видимому, первоначальный вариант теории множеств, умышленно названный немецким математиком Георгом Кантором учением о множествах, состоял из двух аксиом, а именно:

1) аксиомы объёмности ${\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b\ (b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2})\to a_{1}=a_{2})}$, которая позволяет сформулировать критерий равенства множеств,

2) «аксиомы математической свободы» ${\displaystyle \forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow \Phi [a,c])}$, которая позволяет создавать множества с помощью «суждения свободы» ${\displaystyle \Phi [a,c]}$.

«Аксиома математической свободы» имеет рациональные следствия, включая следующие:

${\displaystyle \exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c\neq c)}$,

${\displaystyle \forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c=a)}$,

${\displaystyle \forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c=a\ \lor \ c=x)}$,

${\displaystyle \forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c\in a\land \Phi [c])}$,

${\displaystyle \forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c\subseteq a)}$,

${\displaystyle \forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow \exists d\ (d\in a\land c\in d))}$.

В 1903 году английский философ Бертран Рассел обратил внимание на следующее:

1) руководствуясь «аксиомой математической свободы», невозможно отличить «свободу» от «вседозволенности»,

2) выбрав в качестве ${\displaystyle \Phi [a,c]}$ тривиальнейшее математическое суждение ${\displaystyle c=c}$, мы получаем высказывание о существовании «множества всех множеств» ${\displaystyle \exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c=c)}$, от которого «один шаг» до парадокса Рассела.

Эти критические высказывания о «немецком учении [о множествах]» побудили немецкого математика Эрнста Цермело заменить «аксиому математической свободы» такими её следствиями, которые не вызывали бы протеста у математиков.

В 1908 году в журнале Mathematische Annalen Эрнст Цермело опубликовал следующие семь аксиом:

1) аксиому объёмности (нем. Axiom der Bestimmtheit);

2) аксиому о существовании «элементарных множеств» (нем. Axiom der Elementarmengen) ${\displaystyle \varnothing }$, ${\displaystyle \{a\}}$ и ${\displaystyle \{a_{1},a_{2}\}}$, которую можно записать в следующем виде:

${\displaystyle \exists a\forall b\ (b\notin a)\ \land \ \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a)\ \land \ \forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\forall b\ (b\in c\ \leftrightarrow \ b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})}$;

3) схему выделения (нем. Axiom der Aussonderung);

4) аксиому множества подмножеств (нем. Axiom der Potenzmenge);

5) аксиому объединения (нем. Axiom der Vereinigung);

6) аксиому выбора (нем. Axiom der Auswahl);

7) аксиому бесконечности (нем. Axiom der Unendlichkeit) в формулировке, отличной от современной формулировки.

Так «учение о множествах» превратилось в теорию множеств, а именно в теорию ZC [Zermelo set theory with the Axiom of Choice].

Последняя аксиома теории ZC (аксиома бесконечности) сблизила сторонников Георга Кантора со сторонниками Леопольда Кронекера, которые рассматривали множество натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$ как священный грааль математики.

Предпоследняя аксиома теории ZC (аксиома выбора) стала предметом оживлённых математических дискуссий. Действительно, эта аксиома не является следствием «аксиомы математической свободы».

В 1922 году немецкий математик Абрахам Френкель и норвежский математик Туральф Скулем дополнили теорию ZC схемой преобразования. В результате теория ZC превратилась в теорию ZFC [Zermelo-Fraenkel set theory with the Axiom of Choice].

В 1925 году венгерский математик Джон фон Нейман дополнил теорию ZFC аксиомой регулярности. Одно из следствий этой аксиомы (${\displaystyle \forall a\ (a\notin a)}$) «похоронило» и «множество всех множеств», и «парадокс Рассела».