Теорема Цермело

Георг Кантор считал, что утверждение этой теоремы является «фундаментальным принципом мысли».^[1] Действительно, любое счётное множество можно тривиально вполне упорядочить, например, перенеся порядок с множества натуральных чисел. Однако большинству математиков трудно представить себе полный порядок уже, например, множества ${\displaystyle \mathbb {R} }$ действительных чисел. В 1904 году Дьюла Кёниг сообщил, что доказал, что такого упорядочения не может существовать. Несколько недель спустя Феликс Хаусдорф обнаружил ошибку в доказательстве.^[2] Однако вскорости Эрнст Цермело опубликовал свою известнейшую работу,^[3] в которой доказал, что любое множество можно вполне упорядочить. Его доказательство опиралось на впервые сформулированную в этой же работе аксиому выбора. Вызванная этим фактом дискуссия побудила Цермело впоследствии вплотную заняться аксиоматизацией теории множеств, что привело к созданию аксиоматики Цермело — Френкеля.

Доказательство см. в статье Утверждения, эквивалентные аксиоме выбора.