Континуум-гипотеза

Континуум-гипотеза стала первой из двадцати трёх математических проблем, о которых Гильберт доложил на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Поэтому континуум-гипотеза известна также как первая проблема Гильберта.

В 1940 году Гёдель доказал, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо в ZFC — системе аксиом Цермело — Френкеля с аксиомой выбора, а в 1963 году Коэн с помощью разработанного им метода форсинга доказал, что континуум-гипотеза также недоказуема в ZFC^[3]. Оба эти результата опираются на предположение о непротиворечивости ZFC, причём оно является необходимым, так как в противоречивой теории любое утверждение является тривиально доказуемым. Таким образом, континуум-гипотеза является независимой от ZFC.

В предположении отрицания континуум-гипотезы ${\displaystyle \mathrm {ZFC+\neg CH} }$ имеет смысл задавать вопрос: для каких ординалов ${\displaystyle \alpha }$ может выполняться равенство ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{\alpha }}$? Ответ на этот вопрос даёт доказанная в 1970 году теорема Истона.

Известно несколько утверждений, эквивалентных континуум-гипотезе:

• Прямая ${\displaystyle \mathbb {R} }$ может быть раскрашена в счётное количество цветов так, что ни для какой одноцветной четвёрки чисел ${\displaystyle a,b,c,d}$ не выполняется условие ${\displaystyle a+b=c+d}$^[4].
• Плоскость ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ может быть полностью покрыта счётным семейством множеств, каждое из которых имеет вид ${\displaystyle y=f(x)}$ (то есть имеет единственную точку пересечения с каждой вертикальной прямой) или ${\displaystyle x=f(y)}$ (имеет единственную точку пересечения с каждой горизонтальной прямой)^[5].
• Пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ можно разбить на 3 множества так, что они пересекаются с любой прямой, параллельной осям ${\displaystyle Ox}$, ${\displaystyle Oy}$ и ${\displaystyle Oz}$, соответственно, лишь в конечном числе точек (каждому множеству соответствует своя ось)^[6].
• Пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ можно разбить на 3 множества так, что для каждого из них существует такая точка ${\displaystyle P}$, что это множество пересекается с любой прямой, проходящей через ${\displaystyle P}$, лишь в конечном числе точек^[7].

Обобщённая континуум-гипотеза заключается в предположении, что для любого бесконечного кардинала ${\displaystyle \kappa }$ выполняется равенство ${\displaystyle 2^{\kappa }=\kappa ^{+}}$; где ${\displaystyle \kappa ^{+}}$ обозначает следующий за ${\displaystyle \kappa }$ кардинал. Другими словами, в любом множестве, превосходящем по мощности некоторое бесконечное множество ${\displaystyle S}$, найдётся подмножество, равномощное булеану ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$^[8].

Обобщённая континуум-гипотеза также не противоречит аксиоматике Цермело — Френкеля, и, как показали Серпинский в 1947 году и Шпеккер в 1952 году, из неё следует аксиома выбора.