Свёртка (математический анализ)

Пусть ${\displaystyle f,g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ — две функции, интегрируемые относительно меры Лебега на пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Тогда их свёрткой называется функция ${\displaystyle f*g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$, определённая формулой

${\displaystyle (f*g)(x)\ }$

${\displaystyle {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\,g(x-y)\,dy=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(x-y)\,g(y)\,dy.}$

В частности, при ${\displaystyle n=1}$ формула принимает вид

${\displaystyle (f*g)(x)\ }$

${\displaystyle {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(y)\,g(x-y)\,dy=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x-y)\,g(y)\,dy.}$

Свёртка ${\displaystyle (f*g)(x)}$ определена при почти всех ${\displaystyle x\in {\mathbb {R} ^{n}}}$ и интегрируема.

В случае, когда ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, а функции ${\displaystyle f(x),~g(x)}$ определены на промежутке ${\displaystyle [0,+\infty )}$, свёртку можно записать в виде

${\displaystyle (f*g)(x)\ }$

${\displaystyle {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \limits _{0}^{x}f(y)\,g(x-y)\,dy=\int \limits _{0}^{x}f(x-y)\,g(y)\,dy.}$

Впервые интегралы, являющиеся свёрткой двух функций, встречаются в трудах Леонарда Эйлера (1760-е годы); позднее свёртка появляется у Лапласа, Лакруа, Фурье, Коши, Пуассона и других математиков. Обозначение свёртки функций при помощи звёздочки впервые предложил Вито Вольтерра в 1912 году на своих лекциях в Сорбонне (опубликованы годом позже)^[1].

Пусть стоит задача вычислить, как будет изменяться количество снега на каком-либо участке земли в зависимости от времени. Решение этой задачи можно разделить на два этапа:

1. построить модель выпадения снега и модель таяния снега.
2. каким-то образом соединить эти две модели в одну.
   

   График ${\displaystyle {\color {Blue}f(x)}}$ зависимости количества нерастаявшего снега от времени прошедшего с момента его выпадения.

Задачи первого этапа решаются путём наблюдений и опытов, а задачи второго этапа — свёрткой получившихся на первом этапе моделей.

Пусть в результате решения задачи на первом этапе было построено две зависимости (математические модели):

• зависимость количества выпавшего снега от текущего времени ${\displaystyle {\color {Red}g(t)}}$,
• зависимость доли нерастаявшего снега от времени, прошедшего с момента его выпадения ${\displaystyle {\color {Blue}f(\tau )}}$.

Если бы снег не начинал таять, количество всех выпавших осадков ${\displaystyle G}$ можно было бы посчитать путём сложения в дискретном случае:

${\displaystyle G=\sum _{t=0}^{T}g(t)}$,

или путём интегрирования в случае непрерывном:

${\displaystyle G=\int \limits _{0}^{T}g(t)\,dt}$.

Но в данном случае таяние снега имеет место и, более того, оно зависит не только от текущего общего количества снега, но и от того, в какой момент времени выпал этот конкретный объём снега. Так снег, выпавший две недели назад, может уже испариться, в то время как снег, выпавший полчаса назад, ещё будет лежать и даже не начнёт подтаивать.

Получается, что для снега, выпавшего в разное время, нужно построить свою модель таяния и как-то сложить все эти модели вместе.

Для этих целей и можно использовать понятие математической свёртки. Пусть в момент времени ${\displaystyle t}$ рассматривается снег, который выпал в момент времени ${\displaystyle \tau }$, тогда

• ${\displaystyle \tau }$ — время выпадения снега. Например, 13:00;
• ${\displaystyle {\color {Red}g(\tau )}}$ — количество выпавшего в момент ${\displaystyle {\tau }}$ снега. Например, 7 кг;
• ${\displaystyle t}$ — момент времени, для которого нам нужно узнать состояние выпавшего в ${\displaystyle \tau }$ снега. Например, 15:00;
• ${\displaystyle t-\tau }$ — количество времени, прошедшее с момента выпадения до момента расчёта оставшейся доли снега. То есть 15:00 − 13:00;
• ${\displaystyle {\color {Blue}f(t-\tau )}}$ — доля снега, которая не растаяла после того, как пролежала ${\displaystyle t-\tau }$ часов.

Нужно для каждого количества ${\displaystyle {\color {Red}g(\tau )}}$ снега, выпавшего в момент времени ${\displaystyle \tau }$, сложить множество моделей ${\displaystyle f(t-\tau )}$ в одну функцию. Если это сделать, получится сумма в дискретном случае:

${\displaystyle w(t)=\sum \limits _{\tau =0}^{t}g(\tau )f(t-\tau ),}$

или интеграл в непрерывном:

${\displaystyle w(t)=\int \limits _{\tau =0}^{t}g(\tau )f(t-\tau )d\tau .}$

Графически функция ${\displaystyle w(t)}$ изображена ниже, где разными цветами представлены вклады каждой кучи снега из графика ${\displaystyle {\color {Red}g(x)}}$.

График функции ${\displaystyle w(t)}$, где разным цветом представлен вклад каждой кучи снега (цвета вкладов соответствуют цветам куч выпавшего снега на графике ${\displaystyle {\color {Red}g(x)}}$ выше)

Функция ${\displaystyle w(t)}$ полностью моделирует поведение снега, выпавшего согласно модели ${\displaystyle {\color {Red}g(x)}}$. Так, на графике выше видно, что общее количество снега увеличивается тремя скачками, но снег начинает таять сразу, не дожидаясь выпадения других осадков.

Пусть ${\displaystyle G}$ — группа, оснащённая мерой ${\displaystyle m}$, и ${\displaystyle f,g:G\to \mathbb {R} }$ — две функции, определённые на ${\displaystyle G}$. Тогда их свёрткой называется функция

${\displaystyle (f*g)(x)=\int \limits _{G}f(y)\,g\left(xy^{-1}\right)\,m(dy),\quad \forall x\in G.}$

Пусть есть борелевское пространство ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$ и две меры ${\displaystyle \mu ,\nu :{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\to \mathbb {R} }$. Тогда их свёрткой называется мера

${\displaystyle \mu *\nu (A)=\mu \otimes \nu \left(\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x+y\in A\}\right),\quad \forall A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),}$

где ${\displaystyle \mu \otimes \nu }$ обозначает произведение мер ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \nu }$.