Свойства равномерного распределения

Вероятность попадания случайной величины в любой интервал ${\displaystyle (\alpha ,\beta )\subseteq [a,b]}$ равна ${\displaystyle {\frac {\beta -\alpha }{b-a}}}$ и зависит только от длины интервала, но не от его местоположения внутри отрезка. Это свойство делает равномерное распределение естественной моделью для ситуаций, где «все значения равновозможны».

Если ${\displaystyle X\sim U(a,b)}$, то для любых констант ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle d\neq 0}$ случайная величина ${\displaystyle Y=c+dX}$ также имеет равномерное распределение, причём ${\displaystyle Y}$ имеет равномерное распределение на отрезке с концами ${\displaystyle c+da}$ и ${\displaystyle c+db}$, то есть

${\displaystyle Y\sim U{\bigl (}\min(c+da,\;c+db),\;\max(c+da,\;c+db){\bigr )}.}$

Это свойство широко используется для генерации случайных чисел с произвольными параметрами на основе стандартного равномерного распределения ${\displaystyle U(0,1)}$.

Равномерное распределение ${\displaystyle U(0,1)}$ является базовым для моделирования случайных величин с другими законами распределения, поскольку с его помощью можно получать выборки из произвольных распределений. Наиболее общим методом является метод обратного преобразования. Согласно этому методу, если случайная величина ${\displaystyle U}$ имеет равномерное распределение на интервале ${\displaystyle (0,1)}$, а ${\displaystyle F^{-1}}$ — функция, обратная к функции распределения ${\displaystyle F(x)}$, то случайная величина ${\displaystyle X=F^{-1}(U)}$ будет иметь функцию распределения ${\displaystyle F(x)}$^[1]. Этот подход позволяет получать выборки из экспоненциального, распределения Вейбулла и многих других законов.

Для получения нормально распределённых случайных величин из равномерных используется метод Бокса — Мюллера. Если ${\displaystyle U_{1}}$ и ${\displaystyle U_{2}}$ — независимые случайные величины, равномерно распределённые на ${\displaystyle (0,1)}$, то

${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {-2\ln U_{1}}}\cos(2\pi U_{2}),\quad Z_{1}={\sqrt {-2\ln U_{1}}}\sin(2\pi U_{2})}$

будут независимыми стандартными нормальными случайными величинами^[2].

Треугольное распределение (распределение Симпсона) возникает как сумма двух независимых случайных величин, имеющих равномерный закон распределения на ${\displaystyle [0,1]}$^[3]. Плотность суммы ${\displaystyle S=X_{1}+X_{2}}$ имеет вид:

${\displaystyle f_{S}(s)={\begin{cases}s,&0\leq s\leq 1,\\2-s,&1<s\leq 2,\\0,&{\text{иначе}}.\end{cases}}}$

Сумма ${\displaystyle n}$ независимых равномерно распределённых величин на отрезке ${\displaystyle [0,1]}$ имеет распределение Ирвина — Холла с плотностью

${\displaystyle f_{S}(s)={\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{k=0}^{\lfloor s\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(s-k)^{n-1},}$

где ${\displaystyle 0\leq s\leq n}$. Это распределение наглядно иллюстрирует центральную предельную теорему: при увеличении ${\displaystyle n}$ плотность суммы приближается к нормальному распределению.

Порядковые статистики выборки объёма ${\displaystyle n}$ из распределения ${\displaystyle U(0,1)}$ имеют бета-распределение. Если ${\displaystyle X_{(k)}}$ — ${\displaystyle k}$-я порядковая статистика (k-й по величине элемент выборки), то

${\displaystyle X_{(k)}\sim B(k,n-k+1).}$

Это свойство широко используется в математической статистике при построении доверительных интервалов для квантилей^[4].

Равномерное распределение также является частным случаем бета-распределения: при параметрах ${\displaystyle \alpha =\beta =1}$ бета-распределение на отрезке ${\displaystyle [0,1]}$ совпадает со стандартным равномерным распределением^[5].

В школе сначала изучается дискретное равномерное распределение — например, при бросании игральной кости: ${\displaystyle P(X=k)=1/6}$ для ${\displaystyle k=1,2,\dots ,6}$. Затем, в задачах о случайном выборе точки на отрезке или в фигуре, вводится геометрическая вероятность, которая является естественным обобщением дискретного случая на непрерывные множества.

Вероятность ${\displaystyle P(\alpha <X<\beta )}$ для равномерного распределения на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ равна отношению длины благоприятного отрезка к длине всего отрезка:

${\displaystyle P(\alpha <X<\beta )={\frac {\beta -\alpha }{b-a}},\quad a\leq \alpha <\beta \leq b.}$

Задача о встрече. Два человека договорились встретиться в определённом месте между 12:00 и 13:00. Каждый приходит в случайный момент времени и ждёт другого 15 минут. Какова вероятность встречи?

Решение. Пусть ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ — моменты прихода каждого (в минутах после 12:00). Тогда ${\displaystyle x,y\in [0,60]}$, и пространство всех исходов — квадрат со стороной 60 (площадь 3600). Благоприятные исходы удовлетворяют условию ${\displaystyle |x-y|\leq 15}$. Это область между прямыми ${\displaystyle y=x-15}$ и ${\displaystyle y=x+15}$. Её площадь равна ${\displaystyle 3600-45^{2}=3600-2025=1575}$. Искомая вероятность: ${\displaystyle P={\frac {1575}{3600}}={\frac {7}{16}}\approx 0.4375}$.

Задача об ожидании автобуса. Автобусы ходят строго по расписанию с интервалом 10 минут. Пассажир приходит на остановку в случайный момент времени. Какова вероятность, что он будет ждать автобус не более 3 минут?

Решение. Время ожидания ${\displaystyle X}$ имеет равномерное распределение на отрезке ${\displaystyle [0,10]}$. Искомая вероятность равна отношению длины отрезка ${\displaystyle [0,3]}$ к длине всего интервала:

${\displaystyle P(0\leq X\leq 3)={\frac {3}{10}}=0.3.}$

Задача о бросании иглы (задача Бюффона). На плоскость, разлинованную параллельными прямыми на расстоянии ${\displaystyle d}$ друг от друга, наудачу бросается игла длины ${\displaystyle l<d}$. Какова вероятность, что игла пересечёт одну из прямых?

Решение этой задачи связывает равномерное распределение с числом ${\displaystyle \pi }$^[7]. Обозначим через ${\displaystyle x}$ расстояние от центра иглы до ближайшей прямой (${\displaystyle x}$ равномерно распределено на ${\displaystyle [0,d/2]}$), а через ${\displaystyle \theta }$ — угол между иглой и прямой (${\displaystyle \theta }$ равномерно распределено на ${\displaystyle [0,\pi /2]}$). Игла пересекает прямую, если ${\displaystyle x\leq {\frac {l}{2}}\sin \theta }$. Интегрируя по прямоугольнику ${\displaystyle [0,d/2]\times [0,\pi /2]}$, получаем:

${\displaystyle P={\frac {2l}{\pi d}}.}$

На уроках информатики при изучении генераторов псевдослучайных чисел (ГПСЧ) школьники работают с функциями rand() в языках программирования (Pascal, C++) или random() в Python. Все эти функции выдают числа, аппроксимирующие стандартное равномерное распределение ${\displaystyle U(0,1)}$. Затем с помощью линейного преобразования ${\displaystyle Y=a+(b-a)X}$ эти числа масштабируются на нужный интервал ${\displaystyle [a,b]}$, что непосредственно иллюстрирует свойство инвариантности равномерного распределения относительно линейного преобразования^[8].

Истоки понятия равномерного распределения лежат в классическом определении вероятности, сформулированном в XVII—XVIII веках. Готфрид Вильгельм Лейбниц (в рукописи, датируемой 1676—1678 годами) ввёл принцип равновозможности, согласно которому вероятность определяется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов^[9].

В 1774 году Пьер-Симон Лаплас впервые применил равномерное распределение в качестве априорного — модели, выражающей полное отсутствие информации о неизвестном параметре^[10]. Это позволило использовать равномерное распределение не только для описания дискретных равновозможных исходов, но и для непрерывных случайных величин.

В математике существует также равномерное распределение последовательностей — понятие из теории чисел, не имеющее прямого отношения к вероятностному распределению. Оно было введено Германом Вейлем в 1916 году и связано с критерием равномерной распределённости дробных частей последовательностей. Это понятие оказало влияние на развитие эргодической теории и нашло применения в теории вероятностей^[11][12]. Подробнее см. статью Теорема Вейля о равномерном распределении.