Коши, Огюстен Луи

Родился в семье чиновника, глубоко верующего монархиста. Учился в Политехнической школе (1805), затем перешёл в парижскую Школу мостов и дорог (1807). По окончании школы стал инженером путей сообщения в Шербуре. Здесь он начал самостоятельные математические исследования.

В 1811—1812 годах Коши представил Парижской академии несколько работ. В 1813 году возвращается в Париж, продолжает математические исследования.

С 1816 года Коши специальным королевским указом назначен членом Академии (вместо изгнанного Монжа). Мемуар Коши по теории волн на поверхности тяжёлой жидкости получает первую премию на математическом конкурсе, и Коши приглашён преподавать в Политехническую школу.

1818: женился на Алоизе де Бюр. У них родились две дочери.

1821: опубликован труд «Алгебраический анализ» по основаниям анализа.

1830: после июльской революции Коши был вынужден в силу своих клерикально-роялистских настроений отправиться вместе с Бурбонами в эмиграцию. Он жил преимущественно в Турине и Праге, будучи некоторое время воспитателем герцога Бордосского, внука Карла X, за что был произведён изгнанным королём в бароны.

1836: умер Карл X, и присяга ему потеряла силу. В 1838 году Коши вернулся в Париж, но не пожелал из-за своей неприязни к новому режиму занять никаких государственных должностей. Он ограничился преподаванием в иезуитском колледже. Только после новой революции (1848) он получил место в Сорбонне, хотя и не принёс присяги; Наполеон III оставил его в этой должности в 1852 году.

Коши написал свыше 800 работ, полное собрание его сочинений содержит 27 томов. Его работы относятся к различным областям математики (преимущественно к математическому анализу) и математической физики.

Коши впервые дал строгое определение основным понятиям математического анализа — пределу, непрерывности, производной, дифференциалу, интегралу, сходимости ряда и т. д. Его определение непрерывности опиралось на понятие бесконечно малого, которому он придал новый смысл: у Коши бесконечно малое — переменная величина, стремящаяся к нулю. Ввёл понятие радиуса сходимости ряда. Курсы анализа Коши, основанные на систематическом использовании понятия предела, послужили образцом для большинства курсов позднейшего времени.

Именно Коши впервые дал строгое определение несобственного интеграла как предела интегральных сумм и ввёл понятие главного значения для интегралов с особенностями. Эти результаты заложили основу современной теории сходимости и позволили корректно работать с интегралами по бесконечным промежуткам и от неограниченных функций. Подробнее о становлении понятия, классификации типов несобственных интегралов и развитии теории сходимости см. статью История несобственного интеграла.

Огюстен Луи Коши внёс фундаментальный вклад в развитие теории математических неравенств, заложив строгие аналитические основы для их доказательства и систематического применения. Наиболее известным результатом в этой области является его доказательство неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим (AM–GM), опубликованное в 1821 году в «Курсе анализа Королевской Политехнической школы». Коши впервые применил оригинальный метод «прямой и обратной индукции», позволяющий распространить неравенство со случаев, когда число слагаемых является степенью двойки, на произвольное натуральное количество. Этот подход стал классическим образцом элементарного доказательства и подробно рассматривается в историко-математических исследованиях развития неравенства о средних.

Кроме того, Коши установил одно из центральных соотношений линейной алгебры и функционального анализа, ныне известное как неравенство Коши — Буняковского — Шварца. Его формулировка для конечных сумм и интегралов стала базовым инструментом в теории сходимости рядов, теории вероятностей и математической физике. Многие другие оценочные соотношения, включая неравенство треугольника для комплексных чисел, оценки остаточных членов рядов и интегральные неравенства, также были впервые строго обоснованы Коши в рамках его программы арифметизации анализа. Детальное изложение исторического контекста, эволюции методов доказательства и роли неравенств Коши в современной математике см. в статьях История неравенства о среднем арифметическом, среднем геометрическом и среднем гармоническом и Неравенство Коши — Буняковского — Шварца.

Коши много работал в области комплексного анализа, в частности, создал теорию интегральных вычетов. В математической физике глубоко изучил краевую задачу с начальными условиями, которая с тех пор называется «задача Коши». Ему также принадлежат исследования по геометрии (о многогранниках), по теории чисел, алгебре и другим областям математики.

В механике О. Л. Коши внёс значительный вклад в формирование математического аппарата механики сплошных сред. Он первым стал рассматривать условия равновесия и движения выделенного объёма сплошной среды, на который действуют объёмные и поверхностные силы^[1]. В 1827 году Коши установил свойство взаимности напряжений: давления на двух пересекающихся площадках с общим центром и одинаковой площадью обладают тем свойством, что проекция одного из них на нормаль ко второй площадке равна проекции второго давления на нормаль к первой площадке^[2]. При этом он показал, что напряжение имеет шесть составляющих (три нормальные и три тангенциальные); отсюда позднее развилась теория тензоров^[1]. Рассматривая материальное тело как сплошную среду, он вывел систему уравнений для напряжений и деформаций в каждой точке тела, а в 1828 г. вывел классические уравнения динамики изотропного упругого тела в перемещениях^[2]. В результате этих исследований были заложены основы математической теории упругости.

В случае жидкой частицы Коши рассматривал не только её поступательное и вращательное перемещение, но также и деформации — изменения объёма и формы^[1]. В 1815 г. он строго доказал теорему Лагранжа о сохранении безвихревого течения идеальной баротропной жидкости в поле консервативных сил^[3]. В 1815—1816 гг. Коши и Пуассон разработали фундамент теории волн малой амплитуды^[4].

В работах по оптике Коши дал математическую разработку волновой теории света и теории дисперсии. Занимался также астрономией и другими областями естествознания.

Коши писал^[5][6]:

• Коши Г. А. Л. Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчислении. Перевод с французского В. Буняковского. — СПб.: Императорская Академия Наук, 1831. — 243 с.

В 1935 году Международный астрономический союз присвоил имя О. Л. Коши кратеру на видимой стороне Луны.

Имя учёного присвоено многим научным теоремам и понятиям, см. Список объектов, названных в честь Огюстена Луи Коши.