История неравенства о среднем арифметическом, среднем геометрическом и среднем гармоническом

Истоки понятия среднего восходят к древнейшим цивилизациям. Вавилонские математики (около 2000—1600 гг. до н. э.) умели находить среднее арифметическое и использовали его в вычислениях, связанных с распределением продовольствия, землемерными работами и астрономическими вычислениями. На клинописных табличках серии YBC 7289 обнаружены итеративные процедуры приближённого извлечения квадратных корней, в основе которых лежит идея, близкая к среднему геометрическому^[1].

Древнеегипетский Папирус Ринда (около 1650 г. до н. э.) содержит задачи на раздел ресурсов поровну и пропорциональное распределение, что свидетельствует о практике использования среднего арифметического. Но теоретически понятие средней величины в египетской математике не было оформлено.

В древнеиндийской геометрии, представленной в ритуальных текстах шульба-сутр (около VIII—V вв. до н. э.), подробно рассматривались задачи преобразования фигур с сохранением площади. Одной из классических была задача построения квадрата, равновеликого заданному прямоугольнику со сторонами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$. Фактически алгоритмы сутр описывали точное геометрическое конструирование отрезка длиной ${\displaystyle {\sqrt {ab}}}$, что эквивалентно нахождению среднего пропорционального^[2]. Хотя индийские математики того времени не оперировали абстрактными алгебраическими понятиями «средних» и не формулировали неравенств в явном виде, сами геометрические соотношения, лежащие в основе этих построений (в частности, использование полусуммы и полуразности сторон), неявно отражают фундаментальный факт: сторона искомого квадрата не превосходит полусуммы сторон исходного прямоугольника, то есть

$${\displaystyle {\sqrt {ab}}\leq {\frac {a+b}{2}}.}$$

В пифагорейской традиции теория средних величин изначально формировалась на стыке арифметики и музыкальной акустики. Уже в эпоху Пифагора выделялись три основных вида средних: арифметическое, геометрическое и «субконтрарное» (ὑπεναντία) — термин, который впоследствии Архит (совместно с Гиппасом) заменил на «гармоническое»^[3].

Согласно исследованиям, опирающимся на сохранившиеся компиляции, для построения этих средних пифагорейцы использовали так называемый метод пропорций: рассматривался набор из трёх чисел ${\displaystyle a>m>b>0}$, обладающий тем свойством, что отношение двух их разностей равно отношению двух исходных чисел. Именно этот алгоритм традиционно приписывается Пифагору Самосскому (569—500 до н. э.)^[4], хотя в современной историографии встречается и альтернативная атрибуция Евдоксу^[5].

В сохранившемся фрагменте трактата Архита «О музыке» эти понятия получают строгие определения: арифметическое среднее характеризуется постоянной разностью между соседними членами, геометрическое — постоянным отношением, а гармоническое — тем свойством, что «на какую часть первое превосходит второе, на такую же часть второго превосходит третье», что в современной записи соответствует формуле ${\displaystyle b={\frac {2ac}{a+c}}}$^[6]. Данная система средних стала математическим фундаментом пифагорейской теории музыки и нашла применение в космологических построениях школы: Филолай связывал гармоническое среднее с «геометрической гармонией» куба (12 рёбер, 8 вершин и 6 граней, где 8 выступает средним между 12 и 6)^[7], а позднее Ямвлих описал открытую пифагорейцами четырёхчленную «музыкальную пропорцию» ${\displaystyle a:{\frac {a+b}{2}}:{\frac {2ab}{a+b}}:b}$ (классический пример ${\displaystyle 12:9:8:6}$), которая, согласно античной традиции, восходит к вавилонским источникам и была использована Платоном в диалоге «Тимей» для описания гармонического строения мировой души^[8].

Исследование пропорционального метода показывает, что если в левой части пропорции использовать отношения разностей ${\displaystyle {\frac {a-m}{a-b}}}$, ${\displaystyle {\frac {a-b}{m-b}}}$ или ${\displaystyle {\frac {a-m}{m-b}}}$, а в правой — отношения исходных чисел ${\displaystyle {\frac {a}{a}},{\frac {a}{m}},{\frac {m}{a}},{\frac {b}{m}},{\frac {m}{b}}}$ и ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$, то из 21 возможной пропорции ровно 10 дают нетривиальные средние величины^[4]. В историографии существует дискуссия об авторстве этих десяти «греческих средних»: если три классических (A, G, H) прочно связываются с Пифагором, то следующие три (включая контрагармоническое) атрибутируются Евдоксу^[9], а оставшиеся четыре — геометрам Темноиду и Евфранору. В то же время Дж. Джини приписывает все семь поздних средних Никомаху^[10].

Решая пропорции относительно ${\displaystyle m}$, получаем аналитические выражения всех десяти средних (в современных обозначениях, предложенных Дж. и П. Борвейнами^[11]):

• Арифметическое ${\displaystyle A(a,b)={\frac {a+b}{2}}}$.
• Геометрическое ${\displaystyle G(a,b)={\sqrt {ab}}}$.
• Гармоническое ${\displaystyle H(a,b)={\frac {2ab}{a+b}}}$.
• Контрагармоническое ${\displaystyle C(a,b)={\frac {a^{2}+b^{2}}{a+b}}}$.
• Первое контрагеометрическое ${\displaystyle F_{5}(a,b)={\frac {a-b+{\sqrt {(a-b)^{2}+4b^{2}}}}{2}}}$.
• Второе контрагеометрическое ${\displaystyle F_{6}(a,b)={\frac {b-a+{\sqrt {(a-b)^{2}+4a^{2}}}}{2}}}$.
• ${\displaystyle F_{7}(a,b)={\frac {a^{2}-ab+b^{2}}{a}}}$.
• ${\displaystyle F_{8}(a,b)={\frac {a^{2}}{2a-b}}}$.
• ${\displaystyle F_{9}(a,b)={\frac {b(2a-b)}{a}}}$.
• ${\displaystyle F_{10}(a,b)={\frac {b+{\sqrt {b(4a-3b)}}}{2}}}$.

Евклид (около 300 г. до н. э.) в своих «Началах» (Στοιχεῖα) дал геометрическое воплощение всех трёх средних без их явного именования:

• Книга II, предложение 14. Построение квадрата, равновеликого данному прямоугольнику. Это конструкция среднего геометрического: сторона квадрата ${\displaystyle x={\sqrt {ab}}}$ — это «среднее пропорциональное» между ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$.

• Книга VI, предложение 13. Явная конструкция среднего пропорционального (геометрического среднего) двух отрезков с помощью вписанного угла: перпендикуляр из точки, разделяющей диаметр, до пересечения с полуокружностью равен ${\displaystyle {\sqrt {ab}}}$.

• Книга VI, предложение 17. Доказательство того, что ${\displaystyle a:x=x:b}$ (то есть ${\displaystyle x^{2}=ab}$) эквивалентно пропорциональности отрезков. Из конструкции VI.13 непосредственно следует неравенство ${\displaystyle {\sqrt {ab}}\leq {\frac {a+b}{2}}}$, поскольку высота в треугольнике, вписанном в полуокружность, не превосходит радиуса, то есть геометрическое среднее не превосходит арифметического. Евклид осознавал этот факт геометрически, хотя и не формулировал его как отдельное неравенство.

Папп Александрийский (около 290—350 гг. н. э.) в Synagoge («Математическом собрании», книга III) дал наиболее полное античное изложение теории средних^[12]:

• перечислил все десять видов средних, известных к его времени (три классических пифагорейских и семь позднейших);
• описал пропорциональный метод их определения;
• описал геометрическую конструкцию, одновременно изображающую все три классических средних на одном чертеже;
• явно указал, что для любых неравных ${\displaystyle a>b>0}$ выполняется строгое неравенство ${\displaystyle H<G<A}$.

Конструкция Паппа состоит в следующем. Пусть ${\displaystyle AB=a+b}$ — диаметр полуокружности, ${\displaystyle C}$ — точка, делящая ${\displaystyle AB}$ так, что ${\displaystyle AC=a}$, ${\displaystyle CB=b}$. Тогда: Радиус полуокружности ${\displaystyle OB={\frac {a+b}{2}}=A}$.

• Перпендикуляр ${\displaystyle CD}$ из ${\displaystyle C}$ до окружности: ${\displaystyle CD={\sqrt {ab}}=G}$ (по свойству вписанного угла).
• Отрезок ${\displaystyle CE}$, где ${\displaystyle E}$ — проекция точки ${\displaystyle D}$ на радиус ${\displaystyle OC}$ (${\displaystyle O}$ — центр полуокружности): ${\displaystyle CE={\frac {2ab}{a+b}}=H}$.

Из рисунка очевидно, что ${\displaystyle CE\leq CD\leq OB}$, что и даёт ${\displaystyle H\leq G\leq A}$. Это одна из наиболее изящных геометрических иллюстраций неравенства, сохранившая свою наглядность до наших дней.

Современный анализ показывает, что среди всех десяти греческих средних справедливы только следующие глобальные неравенства^[4]: ${\displaystyle H\leq G\leq A\leq F_{6}\leq F_{5}\leq C,}$ ${\displaystyle H\leq F_{9}\leq F_{10},\quad F_{8}\leq F_{7}\leq F_{5}\leq C,}$ ${\displaystyle F_{8}\leq A\leq F_{6}\leq F_{5}\leq C,\quad {\text{и}}\quad G\leq F_{10}.}$

Все греческие средние являются однородными функциями первой степени и строгими средними, однако их монотонность по второму аргументу различается: если ${\displaystyle A,G,H,F_{6},F_{8},F_{9},F_{10}}$ изотонны, то ${\displaystyle C,F_{5},F_{7}}$ обладают нелинейной монотонностью (убывают на начальном интервале ${\displaystyle (0,p\cdot a)}$ и возрастают далее), что отражает разнообразие античных пропорциональных конструкций^[4].

Поворотным моментом в истории неравенства стала монография Огюстена Луи Коши «Cours d’analyse de l'École Royale Polytechnique» (1821)^[27]. В «Примечании II» этой книги Коши впервые дал строгое алгебраическое доказательство неравенства ${\displaystyle A\geq G}$ для произвольного числа ${\displaystyle n}$ положительных слагаемых. Он использовал метод, вошедший в историю как «прямая и обратная индукция Коши» (forward-backward induction).

Прямой шаг: из истинности неравенства для ${\displaystyle n}$ чисел вывести его для ${\displaystyle 2n}$ чисел, применяя неравенство дважды и используя AM-GM для двух чисел.

Обратный шаг: из истинности для ${\displaystyle n}$ чисел вывести его для ${\displaystyle n-1}$ чисел, добавив дополнительное число, равное среднему арифметическому остальных. Комбинация этих двух шагов (сначала поднимаемся по степеням двойки, затем спускаемся к любому натуральному ${\displaystyle n}$) даёт доказательство для всех ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Метод Коши стал классическим и вошёл в учебники.

Современник Коши, Симеон Дени Пуассон (1781—1840), предложил в тот же период независимое доказательство, использующее дифференциальное исчисление: фиксируя произведение ${\displaystyle x_{1}\cdots x_{n}}$ и минимизируя сумму, он показал, что минимум достигается при равных значениях. Этот подход неявно предполагает теоремы о существовании экстремума.

После Коши теория неравенств средних развивалась сразу в нескольких направлениях.

• Степенные средние. Отто Гёльдер (1859—1937) в 1889 году доказал фундаментальное неравенство Гёльдера и развил теорию степенных средних ${\displaystyle M_{r}}$. В частности, монотонность ${\displaystyle M_{r}}$ по ${\displaystyle r}$ (которая обобщает AM-GM как частный случай ${\displaystyle r=0}$ и ${\displaystyle r=1}$) была установлена именно в его работах^[28].
• Неравенство Йенсена. Йохан Йенсен (1859—1925) в 1906 году опубликовал статью, в которой ввёл понятие выпуклой функции и доказал общее неравенство для выпуклых функций, носящее его имя^[29]. Неравенство AM-GM следует из неравенства Йенсена для функции ${\displaystyle f(x)=\ln x}$ (вогнутая) или ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ (выпуклая). Это поставило AM-GM в один ряд с основными теоремами анализа.
• Неравенство Коши — Буняковского — Шварца. Виктор Буняковский (1804—1889) и Герман Шварц (1843—1921) доказали интегральное неравенство, из которого (при соответствующей специализации) также следует AM-GM. Взаимосвязь этих неравенств была детально разработана в конце XIX века.
• Неравенство Чебышёва. Пафнутий Чебышёв (1821—1894) доказал в 1882 году неравенство о монотонных суммах, находящееся в тесной связи с AM-GM: если последовательности ${\displaystyle (x_{i})}$ и ${\displaystyle (y_{i})}$ одновременно не убывают или не возрастают, то

$${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum x_{i}y_{i}\geq \left({\frac {1}{n}}\sum x_{i}\right)\left({\frac {1}{n}}\sum y_{i}\right).}$$

• Неравенство Маклорена. Колин Маклорен в 1729 году доказал фундаментальное неравенство между элементарными симметрическими средними, обобщающее AM-GM: ${\displaystyle e_{1}\geq e_{2}^{1/2}\geq \dots \geq e_{n}^{1/n}}$. Впоследствии оно было включено в общую теорию симметрических функций и мажоризации.

В России развитие теории неравенств было связано с именами Маркова, Ляпунова и других. Александр Ляпунов в 1901 году детально исследовал неравенство между степенными средними (в русскоязычной традиции часто называемое неравенством Ляпунова), являющееся обобщением AM-GM:

$${\displaystyle \left({\frac {1}{n}}\sum x_{i}^{r}\right)^{1/r}\leq \left({\frac {1}{n}}\sum x_{i}^{s}\right)^{1/s}\quad {\text{при}}\quad r<s.}$$