Обобщённое гиперболическое распределение

Обобщённое гиперболическое
Обобщённое гиперболическое
Параметры	(вещественное число); (вещественное число); (вещественное число); коэффициент асимметрии (вещественное число); коэффициент масштаба (вещественное число);
Носитель
Плотность вероятности	;
Математическое ожидание
Дисперсия
Производящая функция моментов

Обобщённое гиперболическое
Обобщённое гиперболическое
Параметры	(вещественное число); (вещественное число); (вещественное число); коэффициент асимметрии (вещественное число); коэффициент масштаба (вещественное число);
Носитель
Плотность вероятности	;
Математическое ожидание
Дисперсия
Производящая функция моментов

Как видно из названия, обобщённое гиперболическое распределение является довольно обширным классом распределений, который включает в себя распределение Стьюдента, распределение Лапласа, гиперболическое распределение и распределение variance-gamma.

$X\sim \mathrm {GH} (-{\frac {\nu }{2}},0,0,{\sqrt {\nu }},\mu )$ имеет распределение Стьюдента с $\nu$ степенями свободы.
$X\sim \mathrm {GH} (1,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )$ имеет гиперболическое распределение.

$X\sim \mathrm {GH} (\lambda ,\alpha ,\beta ,0,\mu )$ имеет распределение variance-gamma.

Связанные распределения

Обобщённое гиперболическое
Параметры	$\mu$ (вещественное число) $\lambda$ (вещественное число) $\alpha$ (вещественное число) $\beta$ коэффициент асимметрии (вещественное число) $\delta$ коэффициент масштаба (вещественное число) $\gamma ={\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}$
Носитель	$x\in (-\infty ;+\infty )$
Плотность вероятности	${\frac {(\gamma /\delta )^{\lambda }}{{\sqrt {2\pi }}K_{\lambda }(\delta \gamma )}}\;e^{\beta (x-\mu )}$ $\times {\frac {K_{\lambda -1/2}\left(\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}\right)}{\left({\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}/\alpha \right)^{1/2-\lambda }}}$
Математическое ожидание	$\mu +{\frac {\delta \beta K_{\lambda +1}(\delta \gamma )}{\gamma K_{\lambda }(\delta \gamma )}}$
Дисперсия	${\frac {\delta K_{\lambda +1}(\delta \gamma )}{\gamma K_{\lambda }(\delta \gamma )}}+{\frac {\beta ^{2}\delta ^{2}}{\gamma ^{2}}}\left({\frac {K_{\lambda +2}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}-{\frac {K_{\lambda +1}^{2}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }^{2}(\delta \gamma )}}\right)$
Производящая функция моментов	${\frac {e^{\mu z}\gamma ^{\lambda }}{({\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}}})^{\lambda }}}{\frac {K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}$