Макфарлейн, Александр

Макфарлейн родился в Блэргори (Шотландия) в семье Дэниела Макфарлейна и Энн Смолл. Учился в Эдинбургском университете. Его докторская диссертация «Пробивной разряд электричества»^[2] была посвящена экспериментальным результатам, полученным в лаборатории Питера Гатри Тэйта.

В 1878 году Макфарлейн выступил в Королевском обществе Эдинбурга с докладом об алгебраической логике, предложенной Джорджем Булем. Был избран членом Королевского общества Эдинбурга. Его кандидатуру предложили Питер Гатри Тэйт, Филип Келланд, Александр Крам Браун и Джон Хаттон Бальфур. В следующем году он опубликовал работу «Принципы алгебры логики», в которой интерпретировал булевы переменные с помощью алгебраических преобразований.

Макфарлейн преподавал в Эдинбургском и Сент-Эндрюсском университетах, был профессором физики в Техасском университете (1885—1894)^[3], профессором электричества, а затем математической физики в Лихайском университете. В 1896 году он способствовал созданию ассоциации исследователей кватернионов для продвижения этой алгебры^[4]. Стал секретарём Ассоциации кватернионов, а в 1909 году — её президентом. Был редактором «Библиографии кватернионов», изданной Ассоциацией в 1904 году.

Макфарлейн также является автором популярного сборника математических биографий «Десять британских математиков» (1916) и аналогичной работы о физиках «Лекции о десяти британских физиках девятнадцатого века» (1919). Он участвовал в развитии геометрии^[5], в частности, под влиянием Джорджа Брюса Холстеда, профессора математики Техасского университета. Макфарлейн создал «алгебру физики», которая представляла собой адаптацию кватернионов к физическим наукам. Его первая публикация по «анализу пространства» предшествовала появлению пространства Минковского на семнадцать лет.

Макфарлейн активно участвовал в нескольких Международных конгрессах математиков, включая первый конгресс в Чикаго в 1893 году и конгресс в Париже в 1900 году, где он выступил с докладом «Применение анализа пространства к криволинейным координатам».

После выхода на пенсию Макфарлейн переехал в Чатем (Онтарио), где умер в 1913 году^[6].

Александр Макфарлейн называл свою работу «анализом пространства». В 1894 году он опубликовал пять своих ранних статей^[7] и рецензию на книгу Александра Маколея «Полезность кватернионов в физике». Нумерация страниц была сохранена из предыдущих публикаций, и предполагалось, что читатель знаком с кватернионами. Первая статья — «Принципы алгебры физики», в которой он впервые предлагает алгебру гиперболических кватернионов, поскольку «студент, изучающий физику, сталкивается с трудностью в принципе кватернионов, который делает квадрат вектора отрицательным». Вторая статья — «Мнимое в алгебре». Подобно Хомершему Коксу (1882/83)^[8][9], Макфарлейн использует гиперболический версор как гиперболический кватернион, соответствующий версору Гамильтона. Изложение усложнено обозначением:

${\displaystyle h\alpha ^{A}=\operatorname {ch} A+\operatorname {sh} A\ \alpha ^{\pi /2}.}$

Позже он перешёл к обозначению exp(A α), использовавшемуся Эйлером и Софусом Ли. Выражение ${\displaystyle \alpha ^{\pi /2}}$ призвано подчеркнуть, что α является прямым версором, где π/2 — мера прямого угла в радианах. Значение π/2 в показателе степени излишне.

Третья статья — «Фундаментальные теоремы анализа, обобщённые для пространства». На математическом конгрессе 1893 года Макфарлейн прочитал свой доклад «Об определении тригонометрических функций», в котором предложил определять радиан как отношение площадей, а не длин: «истинный аналитический аргумент для круговых отношений — это не отношение дуги к радиусу, а отношение удвоенной площади сектора к квадрату радиуса»^[10]. Доклад был исключён из опубликованных трудов математического конгресса (упоминается на странице 167) и издан частным образом в его «Статьях по анализу пространства» (1894). Макфарлейн пришёл к этой идее отношений площадей, рассматривая основу для гиперболического угла, который определяется аналогично.

Пятая статья — «Эллиптический и гиперболический анализ», в которой рассматривается сферическая теорема косинусов как фундаментальная теорема сферы, и предлагаются аналоги для эллипсоида вращения, общего эллипсоида и равносторонних однополостных и двуполостных гиперболоидов, где он приводит гиперболическую теорему косинусов.

В 1900 году Александр опубликовал работу «Гиперболические кватернионы»^[11] в Королевском обществе Эдинбурга, включив в неё лист с девятью рисунками, на двух из которых изображены сопряжённые гиперболы. Пострадав в «Великих векторных дебатах» из-за неассоциативности своей алгебры физики, он восстановил ассоциативность, вернувшись к бикватернионам — алгебре, использовавшейся учениками Гамильтона с 1853 года.

• 1879: Principles of the Algebra of Logic from Internet Archive.
• 1885: Physical Arithmetic from Internet Archive.
• 1887: The Logical Form of Geometrical Theorems from Annals of Mathematics 3: 154,5.
• 1894: Papers on Space Analysis.
• 1898: Book Review: “La Mathematique; philosophie et enseignement” by C.A. Laissant in Science 8: 51–3.
• 1899 The Pythagorean Theorem from Science 34: 181,2.
• 1899: The Fundamental Principles of Algebra from Science 10: 345–364.
• 1906: Vector Analysis and Quaternions.
• 1910: Unification and Development of the Principles of the Algebra of Space from Bulletin of the Quaternion Association.
• 1911: Book Review: Life and Scientific Work of P.G. Tait by C.G. Knott from Science 34: 565,6.
• 1912: A System of Notation for Vector-Analysis; with a Discussion of the Underlying Principles from Bulletin of the Quaternion Association.
• 1913: On Vector-Analysis as Generalized Algebra, address to 5th International Congress of Mathematicians, Cambridge, via Internet Archive
• Macfarlane, Alexander. Lectures on Ten British Mathematicians of the Nineteenth Century. — New York: John Wiley and Sons, 1916. — (Mathematical monographs, no. 17).^[12][13]
• Macfarlane, Alexander. Lectures on Ten British Physicists of the Nineteenth Century. — New York: John Wiley and Sons, 1919.^[14]
• Publications of Alexander Macfarlane from Bulletin of the Quaternion Association, 1913