Логарифмический потенциал

Понятие потенциала как функции, градиент которой даёт силовое поле, оформилось в XVIII веке (Лагранж, Лаплас, Пуассон). Дж. Грин в An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism (1828) ввёл то, что позже назвали функцией Грина, и вывел формулы Грина^[7]. К. Ф. Гаусс в Allgemeine Lehrsätze… (1840) дал общие теоремы о ньютоновом потенциале^[8].

Двумерный случай с ядром логарифма выделяется как предельная форма ньютонова потенциала при трансляционной инвариантности вдоль оси и как естественный аппарат плоских краевых задач. О. Д. Келлог посвятил логарифмическому потенциалу отдельную главу Foundations of Potential Theory (1929), подчеркнув иное поведение на бесконечности^[5]. Г. К. Эванс (1927) разобрал разрывные задачи Дирихле и Неймана именно для логарифмического ядра^[9]. Ш. Ж. де ла Валле-Пуссен (1949) связал логарифмический потенциал с выметанием и конформными отображениями^[10].

В русской школе каноническое изложение слоёв и скачков дано Н. М. Гюнтером («Теория потенциала», 1953) и в курсе уравнений математической физики В. С. Владимирова^[2][11]. Н. И. Мусхелишвили встроил эти потенциалы в теорию сингулярных интегральных уравнений и плоской упругости^[12]. Современная абстрактная теория (ёмкости, тонкая топология) изложена у Н. С. Ландкофа (1966; англ. 1972)^[13].

Логарифмический потенциал описывает двумерную электростатику (или двумерную ньютонову гравитацию) с плотностью ${\displaystyle \rho }$. В трёхмерной картине это потенциал распределения, не зависящего от одной декартовой координаты: бесконечная заряженная нить, цилиндр, вал^[1][14][15].

Нормировка ядра ${\displaystyle \ln(1/r)}$ даёт ${\displaystyle \Delta V=-2\pi \rho }$. Редукция трёхмерного закона Гаусса в единицах СГС для нити линейной плотности ${\displaystyle \lambda }$ приводит к ${\displaystyle V=-2\lambda \ln r}$ и ${\displaystyle \Delta V=-4\pi \lambda \,\delta }$: математический логарифмический потенциал отличается от этой физической нормировки множителем 2. В системе СИ ${\displaystyle V=-(\lambda /(2\pi \varepsilon _{0}))\ln r}$. Аддитивная постоянная на плоскости не фиксируется условием ${\displaystyle V\to 0}$ на бесконечности, что требует задания потенциала относительно некоторого конечного радиуса.

Точку ${\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{2}}$ удобно отождествлять с комплексным числом; модуль тогда есть евклидова норма. Если плотность комплекснозначна, действительную и мнимую части рассматривают отдельно.

Пусть ${\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{2}}$ — ограниченная область, ${\displaystyle \zeta =\xi +i\eta }$,

${\displaystyle V(z)=\iint \limits _{G}\rho (\zeta )\ln {\frac {1}{|z-\zeta |}}\,d\xi \,d\eta .}$

Если ${\displaystyle \rho \in C({\overline {G}})}$, то ${\displaystyle V\in C^{1}(\mathbb {R} ^{2})}$ и ${\displaystyle V}$ гармонична в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus {\overline {G}}}$ (а также в тех точках ${\displaystyle G}$, где ${\displaystyle \rho =0}$). При ${\displaystyle |z|\to \infty }$

${\displaystyle V(z)=\ln {\frac {1}{|z|}}\iint \limits _{G}\rho (\zeta )\,d\xi \,d\eta +O{\bigl (}|z|^{-1}{\bigr )}.}$

Полная «масса» ${\displaystyle M=\iint _{G}\rho }$ видна в главном члене ${\displaystyle -M\ln |z|}$; если ${\displaystyle M\neq 0}$, потенциал не стремится к нулю на бесконечности^[16].

На спрямляемой кривой ${\displaystyle S}$

${\displaystyle V^{(0)}(z)={\Bigl (}\ln {\frac {1}{|\cdot |}}{\Bigr )}*(\mu \,\delta _{S})=\int \limits _{S}\mu (\zeta )\ln {\frac {1}{|z-\zeta |}}\,ds_{\zeta }.}$

При ${\displaystyle \mu \in C(S)}$ потенциал непрерывен на всей плоскости, гармоничен в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus S}$ и

${\displaystyle V^{(0)}(z)=\ln {\frac {1}{|z|}}\int _{S}\mu \,ds+O{\bigl (}|z|^{-1}{\bigr )},\qquad |z|\to \infty .}$

Если ${\displaystyle S}$ — кривая Ляпунова (нормаль гёльдерова) и ${\displaystyle \mathbf {n} }$ — единичная нормаль, то касательные производные непрерывны при переходе через ${\displaystyle S}$, а нормальная производная имеет скачок. Обозначая «${\displaystyle +}$» сторону, куда указывает ${\displaystyle \mathbf {n} }$ (внешность, если нормаль внешняя), и «${\displaystyle -}$» противоположную сторону, а ${\displaystyle \partial _{n}V^{(0)}}$ без индекса — прямое значение (сингулярный интеграл на ${\displaystyle S}$)^[1][2],

${\displaystyle (\partial _{\mathbf {n} }V^{(0)})_{+}=-\pi \mu +\partial _{\mathbf {n} }V^{(0)},\qquad (\partial _{\mathbf {n} }V^{(0)})_{-}=+\pi \mu +\partial _{\mathbf {n} }V^{(0)}.}$

Отсюда ${\displaystyle (\partial _{n}V)_{+}-(\partial _{n}V)_{-}=-2\pi \mu }$. Таким образом, разрывна именно нормальная производная, в то время как сам потенциал и его касательные производные непрерывны^[17][18].

${\displaystyle V^{(1)}(z)=\int \limits _{S}\nu (\zeta )\,{\frac {\partial }{\partial n_{\zeta }}}\ln {\frac {1}{|z-\zeta |}}\,ds_{\zeta }=\int \limits _{S}\nu (\zeta )\,{\frac {\cos \psi }{|z-\zeta |}}\,ds_{\zeta },}$

где ${\displaystyle \psi }$ — угол между внешней нормалью ${\displaystyle \mathbf {n} (\zeta )}$ и вектором ${\displaystyle z-\zeta }$, направленным из точки интегрирования ${\displaystyle \zeta }$ в точку наблюдения ${\displaystyle z}$. Такое определение угла обеспечивает строгую согласованность с оператором нормальной производной ${\displaystyle \partial _{n}\ln(1/|z-\zeta |)}$ и корректные предельные переходы для постоянной плотности^[1].

При ${\displaystyle \nu \in C(S)}$ функция ${\displaystyle V^{(1)}}$ гармонична и в ограниченной компоненте ${\displaystyle G}$, и во внешности (то есть в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus S}$). На бесконечности ${\displaystyle V^{(1)}(z)=O(|z|^{-1})}$: двойной слой, в отличие от простого, регулярен в бесконечности^[1].

На кривой Ляпунова существуют непрерывные предельные значения с каждой стороны (глобальной непрерывности на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ нет — есть скачок). Прямое значение на ${\displaystyle S}$ непрерывно, и при соглашении о внешней нормали:

${\displaystyle V_{+}^{(1)}(z)=\pi \nu (z)+V^{(1)}(z),\qquad V_{-}^{(1)}(z)=-\pi \nu (z)+V^{(1)}(z),}$

где ${\displaystyle V^{(1)}(z)}$ справа — прямое значение интеграла. Нормальная производная двойного слоя непрерывна при переходе через ${\displaystyle S}$^[1].

Если ${\displaystyle \nu \equiv \mathrm {const} }$ и ${\displaystyle \mathbf {n} }$ — внешняя нормаль,

${\displaystyle V^{(1)}(z)={\begin{cases}-2\pi \nu ,&z\in G,\\-\pi \nu ,&z\in S,\\0,&z\notin {\overline {G}}.\end{cases}}}$

Это двумерный аналог телесного угла (индекс кривой или число оборотов)^[19][20][21].

• Равновесная мера и теорема Фростмана. Для любого компакта ${\displaystyle K\subset \mathbb {C} }$ существует единственная вероятностная равновесная мера ${\displaystyle \mu }$, минимизирующая логарифмическую энергию ${\displaystyle I(\mu )=\iint \ln {\frac {1}{|z-\zeta |}}d\mu (z)d\mu (\zeta )}$. Согласно теореме Фростмана, потенциал этой меры удовлетворяет неравенству ${\displaystyle V^{\mu }(z)\leq I(\mu )}$ всюду на ${\displaystyle \mathbb {C} }$, причём ${\displaystyle V^{\mu }(z)=I(\mu )}$ квазивсюду на носителе меры ${\displaystyle \mu }$. Эта теорема лежит в основе определения логарифмической ёмкости компакта, которая связана с трансфинитным диаметром и конформным радиусом^[10][22].
• Краевые задачи на плоскости. Задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма на границе: плотность простого слоя ищется для задачи Неймана, а плотность двойного слоя — для задачи Дирихле^[23][24].
• Комплексный анализ. Логарифмический потенциал в плоскости связан с вещественной частью комплексного логарифма: фундаментальное решение уравнения Лапласа в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ имеет вид ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\ln {\frac {1}{|z-\zeta |}}}$, что с точностью до постоянного множителя совпадает с ${\displaystyle \operatorname {Re} \ln(z-\zeta )}$.

Интеграл типа Коши

${\displaystyle F(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {\varphi (\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta }$

выражается через комбинацию потенциалов простого и двойного слоёв, так как ядро Коши раскладывается по нормали и касательной к контуру:

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta -z}}={\frac {\partial }{\partial n_{\zeta }}}\ln |z-\zeta |+i{\frac {\partial }{\partial s_{\zeta }}}\ln |z-\zeta |.}$^[25].

Функция Грина плоской области ${\displaystyle D}$ обязательно содержит логарифмическую особенность:

${\displaystyle G(z,\zeta )={\frac {1}{2\pi }}\ln {\frac {1}{|z-\zeta |}}+g(z,\zeta ),}$

где ${\displaystyle g(z,\zeta )}$ — гармоническая по ${\displaystyle z}$ функция, подобранная так, чтобы ${\displaystyle G(z,\zeta )=0}$ при ${\displaystyle z\in \partial D}$. Слагаемое ${\displaystyle \ln(1/|z-\zeta |)}$ (или с множителем ${\displaystyle 1/(2\pi )}$) обеспечивает правильное поведение фундаментального решения в окрестности полюса ${\displaystyle \zeta }$..

• Гидродинамика и упругость. Двумерный закон Био — Савара для точечного вихря есть повёрнутый градиент логарифмического потенциала. Плоская теория упругости (метод Колосова — Мусхелишвили) опирается на те же гармонические ядра.
• Численные методы. Метод граничных элементов в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ дискретизует простой и двойной слой. Для преодоления слабой сингулярности ядра ${\displaystyle \ln |z-\zeta |}$ применяются методы вычитания сингулярности или специализированные квадратурные формулы Гаусса с логарифмическим весовым множителем.
• Теория случайных матриц и статистическая физика. В гауссовских ансамблях случайных матриц (GUE, GOE) и ансамбле Гинибра совместная плотность вероятности собственных значений содержит множитель ${\displaystyle \prod _{i<j}|z_{i}-z_{j}|^{\beta }}$. В логарифмическом масштабе это соответствует энергии взаимодействия частиц двумерного кулоновского газа (газа Дайсона). При размере матрицы ${\displaystyle N\to \infty }$ эмпирическая спектральная мера стремится к равновесной мере логарифмического потенциала во внешнем поле, определяемом распределением элементов матрицы^[26].