Либ, Эллиот

Либ Эллиот родился 31 июля 1932 года в Бостоне, штат Массачусетс.

В 1953 году получил степень бакалавра по физике в Массачусетском технологическом институте.

В 1956 году получил докторскую степень по математической физике в британском Бирмингемском университете^[6][7].

В 1956—1957 годах был стипендиатом программы Фулбрайта в японском Киотском университете.

С 1960 по 1963 год он работал штатным физиком-теоретиком в корпорации IBM.

В 1963—1966 годах — адъюнкт-профессор физики в израильском Иешива-университете, затем два года провёл в Северо-восточном университете Иллинойса.

С 1968 по 1975 годы был профессором в Массачусетском технологическом институте.

С 1975 года — профессор в Принстоне^[6][5].

Эллиот Либ внёс фундаментальный вклад как в теоретическую физику, так и в математику. В данном разделе представлены лишь некоторые из его достижений. Основные исследовательские работы Либа собраны в четырёх томах сборников (Selecta)^{[8][9][10][11]}.

Либ известен многими новаторскими результатами в статистической механике, касающимися, в частности, разрешимых систем. Его многочисленные работы собраны в сборниках «Статистическая механика»^[8] и «Физика конденсированного состояния и точно решаемые модели»^[9], а также в книге Дэниела Мэттиса^[12]. Они рассматривают (среди прочего) модели типа Изинга, модели ферромагнетизма и сегнетоэлектричества, точное решение 6-вершинных моделей для двумерной "ледяной модели", одномерный дельта-бозе-газ (теперь называемый моделью Либа — Линигера) и модель Хаббарда.

Вместе с Дэниелом Мэттисом и Теодором Шульцем он решил в 1964 году двумерную модель Изинга (с новым выводом точного решения Ларса Онсагера посредством преобразования Джордана — Вигнера передаточных матриц) и в 1961 году модель XY, явно решаемую одномерную модель со спином 1/2. В 1968 году вместе с Фа-Юэ Ву он дал точное решение одномерной модели Хаббарда.

В 1971 году он и Невилл Темперли представили алгебру Темперли-Либа для построения определённых передаточных матриц. Эта алгебра также связана с теорией узлов и группой кос, квантовыми группами и субфакторами алгебр фон Неймана .

Вместе с Дереком В. Робинсоном в 1972 году он вывел ограничения на скорость распространения информации в нерелятивистских спиновых системах с локальными взаимодействиями. Они стали известны как границы Либа-Робинсона и играют важную роль, например, в определении границ ошибок в термодинамическом пределе или в квантовых вычислениях. Их можно использовать для доказательства экспоненциального убывания корреляций в спиновых системах или для утверждений о превышении над основным состоянием в многомерных спиновых системах (обобщённые теоремы Либа-Шульца-Маттиса).

В 1972 году он и Мэри Бет Раскей доказали сильную субаддитивность квантовой энтропии, теорему, которая является фундаментальной для квантовой теории информации. Это тема тесно связана с тем, что известно как неравенство обработки данных в квантовой теории информации. Доказательство сильной субаддитивности Либа—Раскей основано на более ранней статье, в которой Либ доказал несколько важных гипотез об операторных неравенствах, включая гипотезу Вигнера-Янасе-Дайсона^[13].

В 1997—1999 годах Либ вместе с Якобом Ингвасоном представил чрезвычайно оригинальную строгую трактовку увеличения энтропии во втором законе термодинамики и адиабатической доступности^[14].

В 1975 году Либ и Вальтер Тирринг нашли доказательство стабильности материи, которое было короче и более концептуально, чем доказательство Фримена Дайсона и Эндрю Ленарда от 1967 года. Их доказательство основан на новом неравенстве в спектральной теории, которое стало известно как неравенство Либа-Тирринга. Последнее стало стандартным инструментом при изучении больших фермионных систем, например, для (псевдо-)релятивистских фермионов во взаимодействии с классическими или квантованными электромагнитными полями. С математической стороны неравенство Либа-Тирринга также вызвало огромный интерес к спектральной теории операторов Шрёдингера^[15]. Эта плодотворная исследовательская программа привела ко многим важным результатам, которые можно прочитать в его сборнике «Стабильность материи: от атомов к звездам»^[10], а также в его книге «Стабильность материи в квантовой механике» (с Робертом Сейрингером)^[16].

Основываясь на оригинальной теореме Дайсона-Ленарда об устойчивости материи, Либ вместе с Джоэлем Лебовицем уже в 1973 году представили первое доказательство существования термодинамических функций для квантовой материи. Вместе с Хайде Нарнхофер он сделал то же самое для электронного газа, что легло в основу большинства функционалов в теории функционала плотности .

В 1970-е годы Либ и Барри Саймон изучили несколько нелинейных приближений уравнения Шрёдингера для многих тел, в частности метод Хартри — Фока и модель атомов Томаса-Ферми. Они представили первое строгое доказательство того, что последняя даёт ведущий порядок энергии для больших нерелятивистских атомов. Вместе с Рафаэлем Бенгурией и Хаимом Брезисом он изучил несколько вариантов модели Томаса-Ферми.

Проблема ионизации в математической физике требует определения строгой верхней границы числа электронов, которые может связать атом с данным ядерным зарядом. Экспериментальные и численные данные, по-видимому, предполагают, что может быть не более одного или, возможно, двух дополнительных электронов. Строгое доказательство этого утверждения — открытая проблема. Аналогичный вопрос можно задать и относительно молекул. Либ доказал известную верхнюю границу числа электронов, которые может связать ядро. Позднее, вместе с Исраэлем Майклом Сигалом, Барри Саймоном и Вальтером Тиррингом, он впервые доказал, что избыточный заряд асимптотически мал по сравнению с ядерным зарядом.

Вместе с Якобом Ингвасоном он дал строгое доказательство формулы для энергии основного состояния разрежённых бозе-газов. Впоследствии вместе с Робертом Зайрингером и Якобом Ингвасоном он изучал уравнение Гросса-Питаевского для энергии основного состояния разрежённых бозонов в ловушке, начиная с квантовой механики многих тел^[17]. Работы Либа с Джозефом Конлоном и Хорнг-Цер Яу, а также с Яном Филипом Соловеем над тем, что известно как «закон ${\displaystyle N^{7/5}}$ для бозонов» дают первое строгое обоснование теории спаривания Боголюбова.

В квантовой химии Либ известен тем, что в 1983 году представил первую строгую формулировку теории функционала плотности с использованием средств выпуклого анализа. Универсальный функционал Либа дает наименьшую энергию кулоновской системы с заданным профилем плотности для смешанных состояний. В 1980 году он вместе со Стивеном Оксфордом доказал неравенство Либа — Оксфорда^[18], которое даёт оценку минимально возможной классической кулоновской энергии при фиксированной плотности и позже использовалось для калибровки некоторых функционалов, таких как PBE и SCAN. Позднне, вместе с Матье Левином и Робертом Зайрингером он дал первое строгое обоснование приближения локальной плотности для медленно меняющихся плотностей^[19].

В 1970-е годы Либ занялся вариационным исчислением и дифференциальными уравнениями в частных производных, и внёс в эти разделы математики фундаментальный вклад.

Важной темой был поиск лучших приближений для констант в нескольких неравенствах функционального анализа, которые Либ затем использовал для строгого изучения нелинейных квантовых систем. Его результаты в этом направлении собраны в сборнике Неравенства^[11]. Среди неравенств, в которых он определил точные параметры, — неравенство Юнга и неравенство Харди — Литтлвуда — Соболева, которые будут обсуждаться ниже. Он также разработал инструменты, которые сейчас считаются стандартными в анализе, такие как перестановочные неравенства или лемма Брезиса — Либа, которая дает недостающий член в лемме Фату для последовательностей функций, сходящихся почти везде.

Вместе с Хермом Браскэмпом и Хоакином Латтингером он доказал в 1974 году обобщение упомянутого выше перестановочного неравенства, установив, что некоторые полилинейные интегралы увеличиваются, когда все функции заменяются их симметричной убывающей перестановкой. Вместе с Фредериком Альмгреном он прояснил свойства непрерывности перестановки. Перестановка часто используется для доказательства существования решений в некоторых нелинейных моделях.

В двух известных работах (одна в 1976 году с Гермом Браскэмпом и еще одна в одиночку в 1990 году) Либ установил справедливость и определил наилучшие константы для целого семейства неравенств, которое обобщает, например, неравенство Гёльдера, неравенство Юнга для свёрток и неравенство Лумиса — Уитни. Оно теперь известно как неравенство Браскампа — Либа. Суть в том, что наилучшая константа определяется случаем, когда все функции являются гауссианами. Неравенство Браскампа — Либа нашло приложения и обобщения, например, в гармоническом анализе.

Используя перестановочные неравенства и методы компактности, Либ доказал в 1983 году существование оптимизаторов для неравенства Харди — Литтлвуда — Соболева и неравенства Соболева. Он также определил наилучшую константу в некоторых случаях, обнаружив и используя конформную инвариантность проблемы и связав её с помощью стереографической проекции с конформно эквивалентной, но более разрешимой проблемой на сфере. Новое доказательство (без перестановок) было предоставлено позже Рупертом Франком, что позволило рассмотреть случай группы Гейзенберга^[20].

В 1977 году Либ доказал единственность (с точностью до симметрии) основного состояния для уравнения Шокара — Пекара, также называемого уравнением Шредингера — Ньютона^[21], которое может описывать самогравитирующий объект или электрон, движущийся в поляризуемая среда (полярон). Вместе с Лоуренсом Томасом он предоставил в 1997 году вариационный вывод уравнения Шокара — Пекара из модели квантовой теории поля (гамильтониан Фрёлиха). Эта проблема была решена ранее Монро Донскер и Шриниваса Варадхан с использованием метода интеграла по вероятностным путям.

В другой работе с Хермом Браскампом в 1976 году Либ распространил неравенство Прекопа — Лейндлера на другие типы выпуклых комбинаций двух положительных функций. Он усилил это неравенство и неравенство Брунна — Минковского, введя понятие существенного сложения.

Либ также написал вызвавшие общий интерес статьи о гармонических отображених, в том числе с Фредериком Альмгреном, Хаимом Брезисом и Жаном-Мишелем Короном . В частности, Альгрем и Либ доказали ограничение на число особенностей минимизирующих энергию гармонических отображений.

Наконец, следует упомянуть его учебник «Анализ» с Майклом Лоссом^[22]. Он стал стандартом для аспирантов по математическому анализу. Он развивает все традиционные методы анализа в краткой, интуитивно понятной форме с упором на приложения.

Жена — Кристиана Феллбаум, профессор Принстонского университета..

• Премия Дэнни Хайнемана в области математической физики Американского физического общества и Американского института физики (1978)^[23].
• Медаль имени Макса Планка Немецкого физического общества (1992)^[24].
• Медаль Больцмана Международного союза теоретической и прикладной физики (1998)^[25].
• Премия Рольфа Шока (2001)^[26].
• Австрийский почётный знак «За науку и искусство» (2002)^[27].
• Премия Пуанкаре Международной ассоциации математической физики (2003)^[28].
• Медаль Института математики и физики им. Эрвина Шредингера (2021)^[29].
• Медаль Американского физического общества (2022) — за выдающиеся достижения в исследованиях за «крупный вклад в теоретическую физику путём получения точных решений важных физических проблем, которые повлияли на физику конденсированного состояния, квантовую информацию, статистическую механику и атомную физику»^[30].
• Премия Гаусса на Международном конгрессе математиков (2022) — за глубокий математический вклад исключительной широты, который сформировал области квантовой механики, статистической механики, вычислительной химии и квантовой теории информации^[31].
• Медаль Дирака ICTP (2022, совместно с Джоэлем Лебовицем и Дэвидом Рюэлем)^[32].
• Киотская премия в области фундаментальных наук (2023).

• Lieb, Elliott H.; Seiringer, Robert. The stability of matter in quantum mechanics. Cambridge University Press, 2010 ISBN 978-0-521-19118-0^[16]
• Lieb, Elliott H.; Loss, Michael. Analysis. Graduate Studies in Mathematics, 14. American Mathematical Society, Providence, RI, 1997. xviii+278 pp. ISBN 0-8218-0632-7^[22]
• Lieb, Elliott H.; Seiringer, Robert; Solovej, Jan Philip; Yngvason, Jakob. The mathematics of the Bose gas and its condensation. Oberwolfach Seminars, 34. Birkhäuser Verlag, Basel, 2005. viii+203 pp. ISBN 978-3-7643-7336-8; 3-7643-7336-9^[17]

• Statistical mechanics. Selecta of Elliott H. Lieb. Edited, with a preface and commentaries, by B. Nachtergaele, J. P. Solovej and J. Yngvason. Springer-Verlag, Berlin, 2004. x+505 pp. ISBN 3-540-22297-9^[8]
• Condensed matter physics and exactly soluble models. Selecta of Elliott H. Lieb. Edited by B. Nachtergaele, J. P. Solovej and J. Yngvason. Springer-Verlag, Berlin, 2004. x+675 pp. ISBN 3-540-22298-7^[9]
• The Stability of Matter: From Atoms to Stars. Selecta of Elliott H. Lieb (4th edition). Edited by W. Thirring, with a preface by F. Dyson. Springer-Verlag, Berlin, 2005. xv+932 pp. ISBN 978-3-540-22212-5^[10]
• Inequalities. Selecta of Elliott H. Lieb. Edited, with a preface and commentaries, by M. Loss and M. B. Ruskai. Springer-Verlag, Berlin, 2002. xi+711 pp. ISBN 3-540-43021-0^[11]

• Lieb, Elliott H., Mattis, Daniel C., editors. Mathematical Physics in One Dimension: Exactly Soluble Models of Interacting Particles, Academic Press, New York, 1966. ISBN 978-0-12-448750-5^[12].

• The Physics and Mathematics of Elliott Lieb. Edited by R. L. Frank, A. Laptev, M. Lewin and R. Seiringer. EMS Press, July 2022, 1372 pp. ISBN 978-3-98547-019-8^[33]

• Алгебра Темперли — Либа
• Модель Хаббарда, уравнения Либа — Ву
• Энтропия