Получил военно-морское образование. Позднее окончил Военно-дипломатическую академию (ныне — Военная академия Министерства обороны Российской Федерации).
По окончании академии служил в Главном разведывательном управлении (позднее — Главное управление) Генерального штаба Вооружённых сил Российской Федерации (ГШ ВС РФ). Стал первым заместителем начальника Главного управления ГШ ВС РФ.
Являясь одним из руководителей российской военной разведки, принимал непосредственное участие в руководстве военной операцией в Сирийской Арабской Республике против международной террористической организации «Исламское государство».
Указом Президента Российской Федерации («закрытым») в 2017 году за мужество и героизм, проявленные при исполнении воинского долга, вице-адмиралу Костюкову Игорю Олеговичу присвоено звание Героя Российской Федерации с вручением медали «Золотая Звезда».
Вице-адмирал И. Костюков (справа) перед началом мероприятия, посвящённого 100-летию образования ГРУ. Москва, ЦАТРА, 2 ноября 2018
Во время болезни руководителя Главного управления генерал-полковника Игоря Коробова с осени 2018 года и после его кончины 21 ноября 2018 года вице-адмирал Игорь Костюков являлся временно исполняющим обязанности начальника Главного управления (ГУ) Генерального штаба по должности, до назначения нового начальника Главного управления Президентом Российской Федерации[3]. Игорь Костюков упоминался в СМИ как наиболее вероятный кандидат на должность заместителя начальника Генерального штаба Вооружённых сил Российской Федерации — начальника Главного управления Генерального штаба Вооружённых сил Российской Федерации[4].