История понятия непрерывной функции

Лейбниц сформулировал общий философско-математический «закон непрерывности» (лат. lex continuitatis), согласно которому природа не делает скачков (natura non facit saltus). В применении к математике этот закон означал, что если переменные величины непрерывно приближаются друг к другу, то и результаты операций над ними также непрерывно приближаются друг к другу^[4]. Лейбниц использовал этот принцип в работах по дифференциальному исчислению. По его словам: «Если явления (или данные) непрерывно сближаются так, что напоследок одно переходит в другое, то это же должно произойти и с соответствующими последующими или результатами (или искомыми)». В этом положении выделяют два аспекта: сохранение порядка при переходе от данных к искомым, которое исследователи связывают с пониманием непрерывности у Эйлера, и предельный переход, при котором бесконечно малое различие в данных соответствует бесконечно малому различию в результатах, что связывают с трактовками Больцано и Коши^[5].

Эйлер в «Introductio in analysin infinitorum» (1748) определял функцию как аналитическое выражение, составленное из переменной величины, констант и операций над ними. Непрерывной он считал функцию, задаваемую единым аналитическим выражением, а разрывной (discontinua) — функцию, задаваемую различными выражениями на разных интервалах^[6]. Такое понимание отличалось от современного определения непрерывности и отражало связь понятия функции с аналитической записью.

Спор о колеблющейся струне (1740—1770-е годы), в котором участвовали Д'Аламбер, Эйлер и Даниил Бернулли, поставил вопрос о том, какие функции могут служить решениями волнового уравнения. Д'Аламбер считал, что начальная форма струны должна задаваться единым аналитическим выражением, тогда как Эйлер допускал произвольные «механически заданные» кривые. Этот спор был связан с различными подходами к понятию функции и к вопросу о допустимых видах непрерывности^[7][8].

В первой трети XIX века в математическом анализе было распространено мнение, что любая непрерывная функция имеет производную во всех точках своей области определения или, по крайней мере, в большинстве точек. Это представление опиралось на геометрический образ непрерывной функции как кривой, которую можно начертить одним росчерком пера, не отрывая его от бумаги. Из такого образа следовало предположение, что к кривой в каждой точке можно провести касательную, а значит, соответствующая функция должна быть дифференцируема.

Такое представление разделяли некоторые математики того времени. Андре-Мари Ампер в 1806 году представил «доказательство» того, что любая непрерывная функция имеет производную во всех точках непрерывности. Аналогичные рассуждения были приведены Сильвестром Франсуа де Лакруа в его «Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению» (2-е издание, 1810—1819), который использовался как один из основных учебников математического анализа в течение нескольких десятилетий. В 1875 году Жозеф Луи Франсуа Бертран также предпринял попытку доказать дифференцируемость непрерывной функции.

Эти доказательства позднее были признаны несостоятельными, поскольку основывались на недостаточно уточнённом понимании функции и непрерывности. К 30-м годам XIX века в работах Коши и других математиков понятия предела, функции и непрерывности получили более определённые формулировки. Это создало возможность для построения примеров непрерывных функций, не имеющих производной ни в одной точке, и для разграничения понятий непрерывности и дифференцируемости^[9].

Один из ранних шагов к строгому определению непрерывности был сделан чешским математиком Бернардом Больцано. В рукописи «Funktionenlehre» («Учение о функциях»), датированной 1830 годом и обнаруженной в 1920-х годах (издана в 1930 году), Больцано дал определение непрерывности и рассмотрел свойства непрерывных функций. В этой работе он также ввёл понятие односторонней непрерывности, что стало частью процесса арифметического обоснования анализа и предшествовало более поздним формулировкам Коши и Вейерштрасса^[10]. Работы Больцано были малоизвестны при его жизни и не оказали непосредственного влияния на большинство современников, однако впоследствии они стали рассматриваться как один из источников строгого подхода к анализу^[11].

Заметное место в формализации понятия непрерывности занимает Огюстен Луи Коши. В «Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique» (1821) и «Résumé des leçons données à l'École Royale Polytechnique sur le calcul infinitésimal» (1823) Коши изложил анализ с опорой на понятие предела. Он определил непрерывность функции следующим образом: «Функция ${\displaystyle f(x)}$, данная между двумя известными пределами переменной ${\displaystyle x}$, является непрерывной функцией этой переменной, если для всех значений переменной ${\displaystyle x}$, взятой между этими пределами, численное значение разности ${\displaystyle f(x+\alpha )-f(x)}$ бесконечно уменьшается вместе с ${\displaystyle \alpha }$. Иными словами, функция ${\displaystyle f(x)}$ остаётся непрерывной для ${\displaystyle x}$ между двумя данными пределами, если между этими пределами бесконечно малое приращение переменной всегда влечёт бесконечно малое приращение самой функции. Добавим также, что функция ${\displaystyle f(x)}$, непрерывная для ${\displaystyle x}$, будет непрерывна и для соседних (voisinage) значений переменной ${\displaystyle x}$, лежащих между этими же пределами, как бы близко к этим пределам ни находился ${\displaystyle x}$»^[12].

До работ Коши непрерывность часто описывалась с помощью геометрических образов, например как свойство «кривой, которую можно начертить одним росчерком». У Коши это понятие было выражено через пределы и бесконечно малые величины, что позволило рассматривать непрерывность как аналитическое свойство функции. Коши доказал теорему о среднем значении, сформулированную Лагранжем в 1797 году; в этом доказательстве он использовал символ ${\displaystyle \varepsilon }$ как обозначение конечной погрешности или приращения. Использование ${\displaystyle \varepsilon }$ для оценки приращений функции стало одним из элементов последующего ${\displaystyle \varepsilon }$-${\displaystyle \delta }$-подхода к определению непрерывности. В формулировке Коши бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции; полная форма языка «${\displaystyle \varepsilon }$-${\displaystyle \delta }$» сложилась позднее в лекциях Вейерштрасса^[13].

Коши доказал теорему Ролля, используя в качестве одного из основных инструментов сходящиеся последовательности. Такой подход связывал непрерывность функции с арифметическим понятием предела последовательности и позволял определять её не через геометрическую «непрерывность линии», а через поведение значений функции в окрестности точки^[14].

Коши ввёл в систематическое изложение математического анализа критерий сходимости последовательности, впоследствии названный его именем. Этот критерий ранее был сформулирован Больцано в 1817 году.

В своих работах Коши также использовал рассуждения, близкие к принципу сжатой переменной (теореме о двух «милиционерах»). Позднее этот принцип применяли Фурье, Дирихле и Ж. Г. Дарбу. Он стал одним из распространённых инструментов доказательства предельных соотношений в анализе и позволял устанавливать непрерывность функций через сравнение с более простыми функциями или последовательностями^[15].

Вместе с тем различие между равномерной и поточечной сходимостью рядов функций в работах Коши ещё не было сформулировано. По этой причине Коши получил неверное утверждение о том, что предел сходящегося ряда непрерывных функций всегда непрерывен. Уточнение этого результата происходило постепенно. В 1826 году в статье, посвящённой биномиальному ряду, Абель привёл конкретный пример — ряд ${\displaystyle \sin x-{\frac {1}{2}}\sin 2x+{\frac {1}{3}}\sin 3x-\dots }$ — и показал, что этот ряд, состоящий из непрерывных функций, имеет разрывы в точках ${\displaystyle x=(2k+1)\pi }$. Тем самым было показано, что утверждение Коши не выполняется в общем виде. Однако Абель не сформулировал в явном виде понятие равномерной сходимости, необходимое для корректного условия теоремы. Филипп Зейдель и Джордж Стокс независимо друг от друга проанализировали доказательство Коши и указали на дополнительное условие, близкое к равномерной сходимости. Зейдель в 1847 году ввёл понятие «бесконечно медленно сходящихся рядов» (нем. unendlich langsam convergirende Reihen), поясняя, что для сохранения непрерывности суммы ряда его сходимость должна быть равномерной на рассматриваемом интервале^[16]. В современной литературе строгая формулировка и доказательство соответствующей теоремы обычно связываются с именем Карла Вейерштрасса.

Существенный вклад в строгое обоснование теории непрерывных функций внёс Карл Вейерштрасс. В 1860—1870-х годах в берлинских лекциях он развивал программу, получившую название арифметизации анализа. В её рамках изложение анализа строилось без обращения к геометрическим и кинематическим образам, таким как «движение точки» или «бесконечно малые приращения», и основывалось на арифметических определениях и логических рассуждениях.

Вейерштрасс придал определению непрерывности форму, близкую к современной, используя язык неравенств — так называемый ε-δ-язык: функция f называется непрерывной в точке x₀, если для любого наперёд заданного числа ε > 0 найдётся такое число δ > 0, что для всех x, удовлетворяющих условию |x − x₀| < δ, выполняется неравенство |f(x) − f(x₀)| < ε.

Отдельные элементы этого подхода, в частности использование символа ε, встречались ранее у Больцано и Коши, однако у Вейерштрасса эта форма определения стала систематически применяться как логическая схема с кванторами всеобщности и существования^[17]. Кроме того, в работах и лекциях Вейерштрасса были чётко разграничены поточечная и равномерная сходимость последовательностей и рядов функций. Это позволило сформулировать корректное условие, при котором сумма ряда непрерывных функций остаётся непрерывной: такое утверждение верно при равномерной сходимости ряда.

В 1872 году Вейерштрасс привёл пример функции, которая непрерывна в каждой точке, но не имеет производной ни в одной точке (функция Вейерштрасса). Этот пример показал, что непрерывность функции не влечёт её дифференцируемости и что геометрическое представление о непрерывной кривой как о кривой, имеющей касательные в большинстве точек, не может служить основанием для общего утверждения. После появления таких примеров различие между непрерывностью и дифференцируемостью стало рассматриваться как один из основных вопросов строгого изложения анализа^[18].

Важную роль в развитии понятия непрерывности и самого понятия функции сыграл Петер Густав Лежён Дирихле. До Дирихле в математике было распространено представление, восходящее к Эйлеру и Лагранжу, согласно которому функция должна задаваться единым аналитическим выражением — формулой, составленной из элементарных операций. Коши, формализовавший понятие предела, также в основном работал в рамках этого подхода и связывал разрывы с точками, в которых аналитическое выражение теряет смысл или становится многозначным.

В 1829 году в статье «О сходимости тригонометрических рядов» Дирихле предложил более общее определение: функцией называется соответствие, при котором каждому значению независимой переменной x на некотором отрезке сопоставлено единственное определённое значение зависимой переменной y. При этом способ задания соответствия — формула, график, таблица или словесное описание — не является определяющим признаком функции. В той же работе Дирихле привёл пример, получивший название функция Дирихле:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&{\text{если }}x{\text{ рационально}},\\0,&{\text{если }}x{\text{ иррационально}}.\end{cases}}}$

Эта функция разрывна в каждой точке числовой прямой: в любой окрестности произвольной точки, сколь бы малой она ни была, функция принимает как значение 1, так и значение 0, вследствие чего предел в точке не существует. Кроме того, функция Дирихле не относится к классу функций, интегрируемых в первоначальном смысле Коши; в более поздней формулировке через верхние и нижние суммы Дарбу верхняя сумма на любом отрезке равна длине отрезка, а нижняя — нулю, поэтому интеграл в смысле Римана—Дарбу не существует.

Этот пример показал, что класс функций шире класса функций, задаваемых аналитическими выражениями, и что непрерывность, наличие производной и интегрируемость не следуют из одного только факта задания функции как соответствия. Функция Дирихле стала одним из примеров, на которых проявилась необходимость различать понятия непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости. Эти вопросы были связаны с развитием теории интеграла Римана (1854), а позднее — теории меры и интеграла Лебега (1902), в рамках которой функция Дирихле на ограниченном отрезке является интегрируемой по Лебегу и имеет интеграл, равный нулю^[19].

С развитием общей топологии в начале XX века понятие непрерывности получило общую формулировку. В трудах Хаусдорфа («Grundzüge der Mengenlehre», 1914) и Куратовского непрерывное отображение было определено как отображение между топологическими пространствами, при котором прообраз любого открытого множества является открытым^[20]. Это определение охватывает частные случаи непрерывности для отображений между числовыми прямыми, евклидовыми пространствами и более общими пространствами и используется в современной математике как стандартная топологическая формулировка.

Фреше в 1906 году ввёл понятие метрического пространства, в рамках которого ε-δ-определение непрерывности получило естественное обобщение: расстояние между точками аргумента и расстояние между значениями функции задаются метриками соответствующих пространств^[21][22].

В рамках функционального анализа пространства непрерывных функций (C(X)) стали самостоятельным объектом исследования. Банах в 1932 году рассматривал банаховы пространства непрерывных функций, а теорема Стоуна — Вейерштрасса (1937) обобщила классическую теорему Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных функций многочленами^[23].