Фазовая скорость

Фазовая скорость — скорость перемещения точки с постоянной фазой колебательного движения в пространстве вдоль заданного направления, определяемая как отношение угловой частоты волны к её волновому числу.

Понятие фазовой скорости строго применимо лишь к монохроматическим волнам; произвольную волну можно представить суммой таких волн через преобразование Фурье, каждой со своей фазовой скоростью. Для волновых пакетов используется групповая скорость как скорость огибающей.

Из условия постоянства фазы плоской волны выводится выражение для фазовой скорости. Закон дисперсии, связывающий частоту и волновое число, определяется типом волн и находится из дифференциального уравнения; при отсутствии зависимости фазовой скорости от частоты групповая скорость совпадает с фазовой.

Фазовая скорость не является обычным вектором: её значения по разным направлениям не представляют собой координаты или проекции вектора, направленного вдоль волнового вектора. Тем не менее формально вводят вектор фазовой скорости вдоль волнового вектора; скорость вдоль направления, составляющего угол θ с волновым вектором, равна v/cos θ и при θ, близком к 90°, стремится к бесконечности, что позволяет ей превышать скорость света.

Фазовая скорость может превышать скорость света, что не противоречит принципам причинности и относительности: эти принципы ограничивают лишь скорость физических объектов, способных передавать информацию. Чисто монохроматическая волна не может нести информацию, поскольку бесконечна во времени и пространстве; модуляция создаёт немонохроматический сигнал, распространяющийся с групповой, а не фазовой скоростью.

Фазовая скорость волны, соответствующей массивной квантовой частице, всегда превышает скорость света из-за наличия массы. Эта скорость принципиально ненаблюдаема, поскольку в квантовой физике фаза ненаблюдаема, и поэтому не может передавать информацию; наблюдаемой является только групповая скорость, соответствующая классической скорости частицы.

Фа́зовая ско́рость — скорость перемещения точки, обладающей постоянной фазой колебательного движения в пространстве, вдоль заданного направления^[1].

Обычно рассматривают направление, совпадающее с направлением волнового вектора. Фазовой называют скорость, измеренную именно в этом направлении, если противное не указано явно (то есть если явно не указано направление, отличное от направления волнового вектора). Фазовая скорость по направлению волнового вектора совпадает со скоростью движения фазового фронта (поверхности постоянной фазы). Её можно рассматривать при желании как векторную величину^[2]. Наиболее употребительное обозначение: $v_{\phi }\$ .

Строго говоря, понятие фазы применимо только при описании гармонических или монохроматических (то есть синусоидальных $\sin(\phi )$ или являющихся мнимыми экспонентами $e^{i\phi }$ ) волн, а также (приближённо) — для волн близкой формы (например, почти монохроматических волновых пакетов) или легко сводящихся к синусоидальным (например, сферических волн вида $\cos(\phi )/r$ ), или, что менее корректно, при описании периодических волн другой формы. Тем не менее, волну (практически) любой формы с помощью преобразования Фурье можно представить как сумму монохроматических волн, и тогда к каждой из этих волн понятие фазы и фазовой скорости применимо достаточно строго (с учётом того, что в этом случае у каждой монохроматической волны в разложении будет, вообще говоря, своя фазовая скорость, не совпадающая с другими; только в частных случаях они могут все точно совпадать или быть близки)^[3].

Для описания волн, отличных от гармонических, (особенно для описания волновых пакетов), используют, кроме понятия фазовой скорости, понятие групповой скорости (описывающей движение не отдельного гребня в волновом пакете, а его огибающей, например, максимума огибающей).

Основная формула, определяющая фазовую скорость (монохроматической) волны в одномерном пространстве или фазовую скорость вдоль волнового вектора для волны в пространстве большей размерности^[4]:

v_{\phi }=\omega /k

,

которая является прямым следствием того факта, что фаза плоской волны в однородной среде есть:

\phi =\omega t-kx

для одномерного случая

или $\phi =\omega t-{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}$ для размерности, большей единицы.

Конкретное соотношение между $\omega$ и $k$ — так называемый закон дисперсии — для каждого конкретного типа волн получают обычно из дифференциального уравнения, описывающего данный тип волн, подставляя в него монохроматическую (чаще всего плоскую) волну^[5].

В случае, когда фазовая скорость не зависит для данного типа волн от частоты или волнового числа (и направления волнового вектора), групповая скорость совпадает с фазовой.

Фазовая скорость электромагнитной волны

В вакууме для электромагнитной волны любой частоты (по крайней мере в тех диапазонах частот и интенсивностей, которые исследованы) фазовая скорость, измеренная в направлении волнового вектора, всегда равна одной и той же величине — скорости света в вакууме, универсальной константе.

В средах закон дисперсии электромагнитных волн достаточно сложен (см. Дисперсия света), и фазовая скорость может заметно меняться, вплоть до отрицательных значений.

Для волнового уравнения

Любая волна, описываемая волновым уравнением:

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}=C^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}

имеет фазовую скорость С (причём C здесь — некий постоянный коэффициент; этот коэффициент равен скорости света в волновом уравнении для электромагнитных волн).

Такой результат получается прямой подстановкой в это уравнение монохроматической волны вида $\cos(kx-\omega t)$ и затем вычислением $\omega /k$ .

Этот результат верен не только для волнового уравнения на одномерном пространстве (мы его использовали выше лишь для краткости; всё остаётся совершенно аналогичным при любом количестве производных по координатам в правой части).

Для уравнения Клейна—Гордона

Уравнение Клейна — Гордона

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}=C^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+C^{4}m^{2}f

,

отличающееся только последним членом, даёт при аналогичной подстановке

\omega ^{2}=C^{2}k^{2}+C^{4}m^{2}

,

откуда:

\omega ={\sqrt {C^{2}k^{2}+C^{4}m^{2}}}

и

v_{\varphi }=\omega /k=C{\sqrt {1+C^{2}m^{2}/k^{2}}}

.

Это выражение при ненулевых вещественных m всегда больше, чем C, и может быть сколь угодно большим при k → 0.

В некотором смысле фазовая скорость не является вектором. Говоря так, имеют в виду тот факт, что фазовые скорости по разным направлениям (например, по направлениям координатных осей), определяемые так, как это описано выше, не являются ни координатами, ни проекциями^[6] вектора^[7]. В том числе, очевидно, они не являются проекциями или координатами вектора, совпадающего по направлению с волновым вектором, и с абсолютной величиной, равной фазовой скорости в этом направлении.

Но это не мешает формально ввести понятие вектора фазовой скорости, по определению совпадающего по направлению с волновым вектором и с абсолютной величиной, равной фазовой скорости в этом направлении. Проекции этого «вектора» на оси координат или компоненты по этим осям не будут соответствовать фазовой скорости вдоль этих направлений.

Для случая плоской гармонической волны фазовую скорость вдоль волнового вектора можно выразить следующим образом:

v_{\phi }\equiv v_{\phi ,0}=\omega /k

,

где $k$ — волновое число, $\omega$ — угловая частота.

При этом фазовая скорость вдоль направления, отклонённого от волнового вектора на угол $\alpha$ , будет равна:

v_{\phi ,\alpha }={\frac {v_{k}}{\cos \alpha }}

Ясно, что фазовая скорость может быть больше скорости света (это вытекает прямо из написанной выше формулы, учитывая, что $\cos \alpha$ может принимать сколь угодно малые значения при стремлении угла к прямому, и, соответственно, фазовая скорость по направлению, близкому к ортогональному, оказывается сколь угодно велика, стремясь к бесконечности)^[8].

Фазовая скорость может превосходить скорость света в вакууме, и нередко её превосходит. Это никак не противоречит известному принципу максимальности скорости света, необходимость которого возникает, чтобы одновременно соблюдались принцип причинности (чтобы не возникало причинных парадоксов) и принцип относительности (лоренц-инвариантность).

Дело в том, что эти принципы накладывают ограничение только на скорость распространения таких физических объектов, посредством которых можно передать информацию. А фазовая скорость^[9] не относится к скоростям таковых объектов. Чисто монохроматическая (синусоидальная) волна бесконечна в пространстве и во времени, не может никак измениться, чтобы передать информацию (если мы промодулируем волну, она перестанет быть монохроматической, а скорость распространения модуляции не совпадает с фазовой скоростью, обычно совпадая со скоростью групповой для почти монохроматических волн).

Фазовая скорость по направлению, не совпадающему с волновым вектором

Поскольку фазовая скорость, измеренная вдоль произвольного направления, не совпадающего с волновым вектором и направлением распространения волны, не является скоростью движения «физического объекта», то есть объекта, состояние которого в последующие моменты времени причинно обусловлено состоянием в предыдущие, а по сути характеризует просто состояние осциллирующего поля в искусственно выбранных точках, часто (а именно если выбрать достаточно большой угол с волновым вектором) фазовая скорость по данному направлению любой, даже сколь угодно медленной (как показано в параграфе выше) волны может превышать скорость света, стремясь к бесконечности при стремлении угла к прямому.

В частности, фазовая скорость света (или вообще любой бегущей электромагнитной волны) в вакууме, измеренная по любому направлению, не совпадающему с её волновым вектором, всегда больше скорости света.

Но дело не ограничивается фазовой скоростью по произвольному направлению. Скорость света может быть превзойдена даже и фазовой скоростью, измеренной вдоль волнового вектора.

Фазовая скорость для квантовой частицы

Фазовая скорость квантовой «волны», соответствующей любой массивной частице (то есть частице, имеющей массу больше нуля), всегда больше скорости света. Это легко видеть из формул $\ v_{\phi }=\omega /k$ , $E=\hbar \omega$ и $p=\hbar k$ , из чего $\ v_{\phi }=E/p$ , в то время как E для массивных частиц всегда больше p за счёт массы (энергии покоя).

Однако эта фазовая скорость в принципе не может наблюдаться (так как в квантовой физике фаза ненаблюдаема вообще). Доступна же наблюдению лишь групповая скорость, которая и является квантовым аналогом обычной скорости классической частицы.

Фазовая скорость для уравнения Клейна — Гордона

Но дифференциальные уравнения, описывающие квантовые частицы, могут быть реализованы в принципе и на других физических системах (например, на достаточно простых механических моделях). В этом случае фазовая скорость вполне доступна наблюдению.

Тем не менее и здесь фазовая скорость может быть сделана сколь угодно большой (достаточно подобрать достаточно малое k), и в принципе её нетрудно сделать большей, чем скорость света.

Этот на вид парадоксальный результат связан с тем, что «распространение» такой волны является иллюзией^[10] в том смысле, что между разными частями волны нет причинной связи (состояние волны, продвинувшейся вправо, не определяется тем, какой она была слева).

↑ Большая советская энциклопедия в 50-ти томах. — Москва, 1954.
↑ Бишоп Р. Колебания. — пер. с англ. под ред. Я. Г. Пановко. — Москва: Вузовская книга, 2019.
↑ Д. И. Трубецков, А. Г. Рожнев. Линейные колебания и волны : учебное. пособие для студентов вузов. — М.: Физматлит, 2001.
↑ Горелик Г. С. Колебания и волны : введение в акустику, радиофизику и оптику : учебное пособие для студентов вузов. — 3-е. изд. — М.: Физматлит, 2007.
↑ $\cos(kx-\omega t)$ или $\exp(i(kx-\omega t))$ или аналогичный многомерный вариант.
↑ В случае использования, например, косоугольных координат понятия координаты вектора и проекции на ось не совпадают.
↑ Конечно, в определённой фиксированной системе координат любая тройка (будем говорить для определённости о трёхмерном случае) чисел определяет вектор; однако если мы имеем дело с настоящим вектором, то при смене системы координат (например, при повороте осей) мы должны получить согласованные по определённым правилам результаты для любой системы координат, а уже такое оказывается для рассматриваемой нами тройки чисел неверным.
↑ Это не противоречит теории относительности. См. следующий параграф.
↑ Как, например, и скорость зайчика на экране — см. статью Сверхсветовое движение.
↑ Распространение как факт, конечно, имеет место; под иллюзией здесь понимается то, что мы склонны интуитивно вкладывать в этот факт больше, чем в нём реально есть, а именно мы интуитивно склонны считать, что для волны, движущейся слева направо, предыдущие состояния волны слева являются причиной последующих состояний справа, что не так. На самом деле более верным было бы сказать, что разные части этой волны колеблются независимо друг от друга, и наложение таких колебаний и даёт бегущую волну (действительно, чем-то похоже на оптический обман).

Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — Москва : Наука, 1981.
Трубецков Д. И., Рожнев А. Г. Линейные колебания и волны : учебное. пособие для студентов вузов. — Москва : Издательство физико-математической литературы, 2001.
Горелик Г. С. Колебания и волны : введение в акустику, радиофизику и оптику : учебное пособие для студентов вузов. — Москва : Физматлит, 2007.
Бишоп Р. Колебания. — Москва : Вузовская книга, 2019.

Физическая энциклопедия OnLine. Том 5, стр.266.

[:0-1] Большая советская энциклопедия в 50-ти томах. — Москва, 1954.

[2] Бишоп Р. Колебания. — пер. с англ. под ред. Я. Г. Пановко. — Москва: Вузовская книга, 2019.

[3] Д. И. Трубецков, А. Г. Рожнев. Линейные колебания и волны : учебное. пособие для студентов вузов. — М.: Физматлит, 2001.

[4] Горелик Г. С. Колебания и волны : введение в акустику, радиофизику и оптику : учебное пособие для студентов вузов. — 3-е. изд. — М.: Физматлит, 2007.

[5] $\cos(kx-\omega t)$ или $\exp(i(kx-\omega t))$ или аналогичный многомерный вариант.

[6] В случае использования, например, косоугольных координат понятия координаты вектора и проекции на ось не совпадают.

[7] Конечно, в определённой фиксированной системе координат любая тройка (будем говорить для определённости о трёхмерном случае) чисел определяет вектор; однако если мы имеем дело с настоящим вектором, то при смене системы координат (например, при повороте осей) мы должны получить согласованные по определённым правилам результаты для любой системы координат, а уже такое оказывается для рассматриваемой нами тройки чисел неверным.

[8] Это не противоречит теории относительности. См. следующий параграф.

[9] Как, например, и скорость зайчика на экране — см. статью Сверхсветовое движение.

[10] Распространение как факт, конечно, имеет место; под иллюзией здесь понимается то, что мы склонны интуитивно вкладывать в этот факт больше, чем в нём реально есть, а именно мы интуитивно склонны считать, что для волны, движущейся слева направо, предыдущие состояния волны слева являются причиной последующих состояний справа, что не так. На самом деле более верным было бы сказать, что разные части этой волны колеблются независимо друг от друга, и наложение таких колебаний и даёт бегущую волну (действительно, чем-то похоже на оптический обман).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

Фазовая скорость

Ограничения

Математическое описание

Фазовая скорость электромагнитной волны

Для волнового уравнения

Для уравнения Клейна—Гордона