Физика колебаний и волн

В колебательных и волновых процессах численные значения физических величин циклически изменяются. Для упрощения анализа физических явлений в пространственных и временных координатах можно рассматривать проекции. Если зафиксировать какой-либо момент времени, волновой характер проявляется в определённом распределении характеризующей величины в пространстве, в котором наблюдаемо чередование максимумов и минимумов физической величины. Если, напротив, зафиксировать пространственные координаты, локально наблюдаемая физическая величина совершает колебания.

Волновой циклический процесс состоит из циклов, которые повторяются в пространстве и времени. Колебания — это циклический процесс, в котором циклы повторяются во времени. Например, проекция точки, которая движется по единичной окружности, совершает колебания на отрезке [-1,1]. Соответствие между этими двумя циклическими процессами (движением по окружности и движением проекции) используют для графического отображения колебаний. Отображение колебаний с помощью вращающегося вектора амплитуды называется методом векторных диаграмм^[4].

Колебаниями называются процессы, которые повторяются (во времени), так, что то в одну сторону, то в противоположную сторону меняется физическая величина, характеризующая явление^[2]. В зависимости от физической природы процесса, различают:

• Механические колебания:
  • Колебания пружины, колебания струны (и мембраны), колебания маятника;
  • Колебания поршня в цилиндре двигателя внутреннего сгорания, колебания Земной коры во время землетрясений;
  • Колебания давления воздуха во время распространения звука, волнение моря и качка корабля.
• Электромагнитные колебания: колебания в цепи переменного тока, колебания поля.
• Электромеханические колебания: колебания мембраны телефона, колебания диффузора электродинамического громкоговорителя^[4].

Колебания механической природы и электромагнитной природы подчиняются одинаковым количественным законам. Раздел физики, в котором колебания различной природы рассматривают с одной точки зрения, называется физикой колебаний^[2].

Система, совершающая колебания, называется колебательной системой^[4]. Основные свойства колебательных систем:

• У любой колебательной системы есть устойчивое состояние равновесия;
• Как только колебательная система оказывается выведенной из устойчивого состояния равновесия, появляется сила, возвращающая систему в устойчивое состояние;
• Вернувшись в устойчивое состояние, колеблющееся тело по инерции продолжает движение^[3].

Если колебательная система в начальный момент времени находится в устойчивом состоянии равновесия, колебания не происходят пока на систему не подействует внешняя сила. Если колебательная система выведена из этого состояния, перечисленные свойства приводят к тому, что в системе происходят колебания, которые какое-то время продолжаются.

Колебания, которые происходят без переменных внешних воздействий на колебательную систему, называются свободными колебаниями. В противном случае — колебания называются вынужденными колебаниями^[4].

Колебания называются периодическими, если численные значения всех физических величин, характеризующих колебательную систему и меняющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени. Периодические колебания величины ${\displaystyle s(t)}$ называются гармоническими колебаниями, если ${\displaystyle s(t)=Asin(\omega t+\varphi _{0})}$ или ${\displaystyle s(t)=Acos(\omega t+\varphi _{1})}$. Начальные фазы в аргументах этих тригонометрических функций связаны соотношением ${\displaystyle \varphi _{1}=\varphi _{0}-\pi /2}$^[4].

Можно доказать, что величина (${\displaystyle s}$) совершает гармонические колебания (с циклической частотой ${\displaystyle \omega }$) тогда и только тогда, если она удовлетворяет уравнению ${\displaystyle {\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}+\omega ^{2}s=0}$. Поэтому это уравнение называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний^[4].

Когда система одновременно участвует в разных колебательных процессах, получение закона результирующих колебаний системы называется сложением колебаний. Гармонические колебания двух колебательных процессов называются когерентными, если разность их фаз не зависит от времени. В сложении некогерентных колебаний получаются негармонические результирующие колебания. Для сложения двух одинаково направленных гармонических колебаний можно использовать метод векторных диаграмм^[4].

При сложении одинаково направленных гармонических колебаний с циклическими частотами ${\displaystyle \omega ,2\omega ,3\omega }$ и т. д. получаются периодические негармонические колебания с периодом ${\displaystyle 2\pi /\omega }$. Любое гармоническое колебание можно представить в виде суммы гармонических колебаний с такими частотами: ${\displaystyle s=f(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}cos(n\omega t)+b_{n}sin(n\omega t))={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}sin(n\omega t+\varphi _{n})}$, где

${\displaystyle a_{n}={\frac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}f(t)cos(n\omega t)\,dt,\,\,(n=0,1,2,...)}$,

${\displaystyle b_{n}={\frac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}f(t)sin(n\omega t)\,dt,\,\,(n=1,2,...)}$^[5].

Такое представление периодической функции ${\displaystyle f(t)}$ называется её разложением в ряд Фурье. Члены ряда Фурье, соответствующие колебаниям с циклическими частотами ${\displaystyle \omega ,2\omega ,3\omega }$ и т. д. называются первой, второй, третьей и т. д. гармониками сложного периодического колебания. Совокупность этих гармоник образует спектр колебания. Периодические колебания имеют дискретный спектр частот^[4].

Непериодические колебания в общем случае имеют сплошной спектр частот. В гармоническом анализе эти сложные колебания представляются в виде интеграла Фурье^[4].

Некоторые непериодические колебания (они называются почти периодическими, квазипериодическими) имеют дискретный спектр частот. Но эти циклические частоты выражаются иррациональными числами^[4].

Различают 2 вида волн: упругие волны и электромагнитные волны.

Упругими волнами называются механические возмущения (деформации), которые распространяются в упругой среде. Тело называется упругим, если его деформации, которые появляются под влиянием внешних воздействий, полностью исчезают после прекращения этих воздействий.

Упругие волны в неограниченной среде распространяются, в результате вовлечения в вынужденные колебания всё более и более удалённых от источника волн частей среды. За колеблющиеся частицы сплошной среды, в которой распространяются упругие волны, принимают небольшие элементы объёма.

Упругая волна называется продольной, если частицы среды колеблются в направление распространения волны. Пример — звуковые волны в воздухе (это — упругие волны малой интенсивности).

Упругая волна называется поперечной, если частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны. Пример — волны, которые распространяются вдоль струн музыкальных инструментов.

Особое место занимают поверхностные волны. Имеются в виду волны на поверхности жидкости (возмущения поверхности жидкости). В поверхностных волнах частицы жидкости одновременно совершают и продольные, и поперечные колебания^[4].

Бегущей волной называется волна, которая, в отличие от стоячей волны, переносит энергию в пространстве. Уравнением бегущей волны называется зависимость величин, характеризующих колебания среды в распространении волны, от координат и времени.

Упругая волна называется синусоидальной, или гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими. Частота этих колебаний называется частотой волны.

Волновой поверхностью, или волновым фронтом, называется геометрическое место точек с одинаковой фазой колебаний. Волна называется плоской, если её поверхности представляют собой совокупность параллельных плоскостей. Волна называется сферической, если её поверхности представляют собой концентрические сферы; центр этих сфер называется центром волны.

Уравнение плоской синусоидальной волны: ${\displaystyle s=Asin(\omega t-}$kr${\displaystyle +\alpha )}$, где есть

k — волновой вектор,

r — радиус-вектор,

${\displaystyle \alpha }$ — начальная фаза колебаний.

Уравнение сферической синусоидальной волны: ${\displaystyle s={\frac {a_{0}}{r}}sin(\omega t-kr+\alpha )}$, где ${\displaystyle a_{0}}$ — это физическая величина, численно равная амплитуде волны на единичном расстоянии от центра волны.

Распространение волны в однородной изотропной среде описывается следующим дифференциальным уравнением в частных производных: ${\displaystyle \Delta s={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}}$, где ${\displaystyle \Delta }$ — это оператор Лапласа и ${\displaystyle v}$ — скорость распространения волны. Плоская и сферическая волна удовлетворяют этому уравнению. Функция ${\displaystyle s}$, которая характеризует синусоидальную волну с волновым числом ${\displaystyle k}$, распространяющуюся в однородной изотропной среде, одновременно удовлетворяет двум уравнениям: ${\displaystyle \Delta s=-k^{2}s}$ и ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}=-\omega ^{2}s}$^[4].