Закон Снеллиуса

Зако́н Сне́ллиуса (иногда называемый также законами Снелля или Снелла) устанавливает зависимость угла преломления света на границе двух прозрачных сред. Аналогичным образом он может быть применён к преломлению волн других типов, например звуковых. Теоретическое обоснование закона приведено в статье Преломление.

Открытие закона датируется 1621 годом, когда оно было сделано голландским математиком Виллебрордом Снеллиусом^[1]. Независимо и несколько позднее закон был опубликован французским философом и математиком Рене Декартом.

Угол падения света на поверхность связан с углом преломления соотношением:

$n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2},$

где

n_{1}

— показатель преломления среды, из которой свет падает на границу раздела;

\theta _{1}

— угол падения света — угол между падающим лучом и нормалью к поверхности;

n_{2}

— показатель преломления среды, в которую свет проникает после прохождения границы;

\theta _{2}

— угол преломления света — угол между преломлённым лучом и нормалью к поверхности.

Преломление света на границе двух сред с различным показателем преломления

Вывод закона

Предположим, что вектор ${\vec {k}}$ находится в плоскости чертежа. Оси $x$ и $y$ мы ориентируем соответственно по горизонтали и вертикали. По симметрии векторы ${\vec {k}}$ , ${\vec {k'}}$ и ${\vec {k''}}$ , соответствующие падающей, отражённой и преломлённой волнам, лежат в одной плоскости.

Возьмём из падающего луча плоскополяризованную компоненту, угол между ${\vec {E}}$ и плоскостью произволен. При выборе нулевой начальной фазы имеем:

E=E_{m}e^{i(\omega t-{\vec {k}}{\vec {r}})}=E_{m}e^{i(\omega t-k_{x}x-k_{y}y)};

E'=E'_{m}e^{i(\omega 't-{\vec {k'}}{\vec {r}})}=E'_{m}e^{i(\omega 't-k'_{x}x-k'_{y}y+\alpha ')};

E''=E''_{m}e^{i(\omega ''t-{\vec {k''}}{\vec {r}})}=E''_{m}e^{i(\omega ''t-k''_{x}x-k''_{y}y+\alpha '')}.

Итоговые поля в первой и второй среде запишутся в виде:

E_{1}=E+E'=E_{m}e^{i(\omega t-k_{x}x-k_{y}y)}+E'_{m}e^{i(\omega 't-k'_{x}x-k'_{y}y+\alpha ')};

E_{2}=E''=E''_{m}e^{i(\omega ''t-k''_{x}x-k''_{y}y+\alpha '')}.

Очевидно, что касательные компоненты $E_{1}$ и $E_{2}$ равны на границе раздела (при $y=0$ ). Поэтому

E_{m}e^{i(\omega t-k_{x}x)}+E'_{m}e^{i(\omega 't-k'_{x}x+\alpha ')}=E''_{m}e^{i(\omega ''t-k''_{x}x+\alpha '')}.

Чтобы это соотношение выполнялось для любых $t$ , необходимо $\omega =\omega '=\omega ''$ , а для любых $x$ требуется

k_{x}=k'_{x}=k''_{x}\Leftrightarrow k\sin {\alpha }=k'\sin {\alpha '}=k''\sin {\alpha ''}\Leftrightarrow {\cfrac {\omega }{v_{1}}}\sin {\alpha }={\cfrac {\omega }{v_{1}}}\sin {\alpha '}={\cfrac {\omega }{v_{2}}}\sin {\alpha ''},

где $v_{1}$ и $v_{2}$ — скорости волны в первой и второй среде.

Отсюда следует:

{\cfrac {\sin {\alpha }}{\sin {\alpha ''}}}={\cfrac {v_{1}}{v_{2}}}=n_{12}\blacksquare .

Закон Снеллиуса точно описывает явления в рамках «геометрической оптики», то есть при размерах преломляющей поверхности существенно больших по сравнению с длиной волны. В более общем случае он остаётся приближённым, что отражает суть геометрической оптики.

При $n_{1}\sin \theta _{1}>n_{2}$ наблюдается полное внутреннее отражение: преломлённый луч отсутствует, а падающий луч возвращается от границы раздела.

Следует отметить, что в анизотропных средах (например, в кристаллах с низкой симметрией или механически деформированных твёрдых тел) закон преломления усложняется. В этом случае направление преломлённого луча может зависеть не только от направления падающего, но и от его поляризации (см. двойное лучепреломление).

Закон Снеллиуса не устанавливает соотношений между интенсивностями и поляризациями падающего, преломлённого и отражённого лучей — для этого применяются формулы Френеля.

Первым экспериментально определил зависимость угла преломления от угла падения античный астроном Клавдий Птолемей в пятой книге своего труда «Оптика». Птолемей измерял угол преломления при изменении угла падения от $10^{\circ }$ до $80^{\circ }$ и составил таблицы для сочетаний сред: воздух-вода, воздух-стекло и вода-стекло. Например, для воздух-вода его данные и современные значения представлены ниже (указана также погрешность)^[2]:

Углы преломления по Птолемею и по современным данным (воздух-вода)
Угол падения, градусов	10°	20°	30°	40°	50°	60°	70°	80°
Данные Птолемея	8° 0'	15° 30'	22° 30'	29° 0'	35° 0'	40° 30'	45° 30'	50° 0'
Современные данные	7° 29'	14° 52'	22° 01'	28° 49'	35° 04'	40° 30'	44° 48'	47° 36'
Величина ошибки	+31'	+38'	+29'	+11'	−4'	0'	+42'	+144'

Исследователи отмечают, что Птолемей, вероятно, измерял угол преломления преимущественно около 60°: именно при этом значении погрешность во всех трёх таблицах равна нулю. Для остальных углов он, по-видимому, применял линейную аппроксимацию с отобранными коэффициентами, тогда как истинная зависимость носит нелинейный характер, что и привело к существенным расхождениям^[2]^[3].

Арабский физик и астроном XI века Ибн аль-Хайсам в «Книга оптики» (1021 год) также приводил подобные таблицы, близкие к птолемеевским, но не стремился выразить закон математически.

В 1990 году арабский историк науки Рошди Рашед, изучавший арабский вклад в мировую науку, опубликовал статью, в которой сообщил об обнаружении двух фрагментов рукописи малоизвестного учёного X века ибн Саля, учителя Ибн аль-Хайсама. Рашед утверждал, что ему удалось реконструировать текст, где ибн Саль формулирует закон преломления так же, как Снеллиус. Независимых подтверждений этим сведениям пока нет; остаётся неясным, почему последователи ибн Саля, включая Ибн аль-Хайсама, не упоминают об этом открытии и почему сам ибн Саль не описал эксперименты, на которых основан его закон^[4].

В Европе ранняя формулировка закона найдена в неопубликованной рукописи английского математика Томаса Хэрриота (1602 год). Немецкий астроном Иоганн Кеплер просил Хэрриота предоставить подробности открытия для разработки зажигательных линз, но тот ограничился отправкой уточнённых таблиц, сославшись на плохое здоровье^[5].

Ещё одно независимое открытие закона случилось в 1621 году, когда нидерландский математик Виллеброрд Снелл изложил преломление в форме, эквивалентной современному описанию: «в одних и тех же средах отношение косекансов углов падения и преломления остаётся постоянным». Преждевременная смерть в 1626 году помешала Снеллу опубликовать результаты, но набросок его статьи сохранился в библиотеке Амстердамского университета^[6].

Позже закон был независимо опубликован Рене Декартом в приложении «Диоптрика» к труду «Рассуждение о методе» (1637). Приоритет Снелла подтвердил Христиан Гюйгенс в 1703 году в трактате «Диоптрика», спустя 77 лет после смерти Снелла, когда закон уже получил широкое признание; Гюйгенс также вывел закон Снеллиуса из волновой теории света и принципа Гюйгенса — Френеля (в «Трактате о свете»). Критики подозревали Декарта в плагиате, предполагая, что он мог познакомиться с рукописями Снелла в Лейдене^[7], однако доказательств этому не найдено, а самостоятельный путь Декарта к закону подробно изучен историками^[8]^[9].

Принцип, согласно которому свет идёт между двумя точками по траектории, затрачивающей наименьшее время, может быть использован для вывода закона преломления. Пусть скорость света в первой и второй средах равна $v_{1}$ и $v_{2}$ . Тогда время прохождения маршрута через точку P на границе сред:

T={\frac {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(d-x)^{2}}}{v_{2}}}\,.

Эта функция достигает минимума при равенстве её производной нулю^[10]:

{\frac {dT}{dx}}={\frac {x}{v_{1}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}}-{\frac {d-x}{v_{2}{\sqrt {b^{2}+(d-x)^{2}}}}}=0\,.

В результате производная принимает вид

{\frac {\sin \alpha }{v_{1}}}-{\frac {\sin \beta }{v_{2}}}=0\,,

откуда следует

{\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}\,.

Это и есть закон Снеллиуса^[11].

Обозначим вектора направлений падающего и преломлённого лучей как ${\vec {v}}_{1}$ и ${\vec {v}}_{2}$ , имеющие длины $|{\vec {v}}_{1}|=n_{1}$ и $|{\vec {v}}_{2}|=n_{2}$ , а ${\vec {n}}$ — единичный нормальный вектор к преломляющей поверхности в точке преломления. Тогда выполняется соотношение:

{\vec {v}}_{2}={\vec {v}}_{1}+\left({\sqrt {{\frac {n_{2}^{2}-n_{1}^{2}}{({\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {n}})^{2}}}+1}}-1\right)({\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {n}}){\vec {n}}.

Элементы большой науки: Закон Снеллиуса

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

Закон Снеллиуса

Формулировка

Область применимости закона

Исторический очерк

Принцип Ферма

Векторная формула

Примечания

Ссылки