Групповая скорость

Экспертиза РАН

Проведена экспертиза
Российской Академией Наук

Дисперсия водных волн (красные точки движутся со скоростью фазы, зелёные — с групповой скоростью). В данном случае фазовая скорость в два раза превышает групповую.

Группова́я ско́рость — величина, характеризующая скорость распространения «группы волн» — то есть более или менее хорошо локализованной квазимонохроматической волны (волны с достаточно узким спектром). Обычно интерпретируется как скорость перемещения максимума амплитудной огибающей квазимонохроматического волнового пакета (или цуга волн). В случае рассмотрения распространения волн в пространстве размерностью больше единицы подразумевается, как правило, волновой пакет, близкий по форме к плоской волне^[1].

Определение

Групповая скорость во многих важных случаях определяет скорость переноса энергии и информации квазисинусоидальной волной (хотя это утверждение в общем случае требует серьёзных уточнений и оговорок).

Групповая скорость определяется динамикой физической системы, в которой распространяется волна (конкретной среды, конкретного поля и т. п.). В большинстве случаев подразумевается линейность этой системы (точно или приближённо).

Для одномерных волн групповая скорость вычисляется из закона дисперсии:

v_{gr}=d\omega /dk

,

где $\omega$ — угловая частота, $k$ — волновое число.

Групповая скорость волн в пространстве (например, трёхмерном или двумерном) определяется градиентом частоты по волновому вектору ${\vec {k}}$ :

{\vec {v}}_{gr}=\nabla _{\vec {k}}\omega

или (для трёхмерного пространства):

(v_{gr})_{x}=\partial \omega /\partial k_{x},

(v_{gr})_{y}=\partial \omega /\partial k_{y},

(v_{gr})_{z}=\partial \omega /\partial k_{z}.

Замечание: групповая скорость, вообще говоря, зависит от волнового вектора (в одномерном случае — от волнового числа), то есть различна для разной величины и для разных направлений волнового вектора.

Групповая скорость используется для систем, в которых осуществляется измерение запаздывающих сигналов для расчёта расстояний и времени запаздывания, в гидролокации, при управлении удалёнными объектами, и т. д.

Частные случаи

В одномерных средах без дисперсии групповая скорость формально совпадает с фазовой скоростью лишь в случае одномерных волн.

В диссипативных (поглощающих) средах групповая скорость уменьшается с увеличением частоты в случае нормальной дисперсии фазовой скорости и, наоборот, увеличивается в средах с аномальной дисперсией (например, капиллярные волны на поверхности воды). При этом возможно преодоление групповой скоростью скорости света в выбранной среде, а также отрицательная аномальная дисперсия, когда групповая скорость противоположна фазовой. В диссипативных структурах (например, плазмонных) групповая скорость может иметь любое значение: меньше скорости света, больше скорости света, быть отрицательной по отношению к фазовой скорости, переходить через бесконечность. Такая групповая скорость есть величина кинематическая (как и фазовая скорость) и определяет скорость переноса биений двух бесконечно близких по частоте монохроматических волн (как её рассматривал Стокс). Для гамильтоновых систем (замкнутых систем без диссипации) в общем случае С. М. Рытовым (ЖЭТФ, 7, 930, 1947) доказана теорема, утверждающая, что групповая скорость совпадает со скоростью переноса электромагнитной энергии монохроматической волной (теорема Леонтовича-Лайтхилла-Рытова). Отрицательная (по отношению к фазовой скорости) групповая скорость в таких недиссипативных средах и структурах соответствует обратным волнам. В диссипативных средах и структурах направление движения энергии определяет вектор Пойнтинга или направление затухания волны.

Если дисперсионные свойства среды таковы, что волновой пакет распространяется в ней без существенных изменений формы своей огибающей, групповая скорость обычно может быть интерпретирована как скорость переноса «энергии» волны и скорость, с которой могут быть переданы с помощью волнового пакета сигналы, несущие информацию, (то есть «скорость распространения причинности»).

В классическом пределе квантовомеханических уравнений скорость классической частицы представляет собой значение групповой скорости, соответствующей квантовомеханической волновой функции. Из одного из пары канонических уравнений Гамильтона:

{\dot {q}}_{i}=\partial H/\partial p_{i}

,

следует классический предел приведённого выше выражения для групповой скорости; это особенно ясно в декартовых координатах, учитывая ${\vec {p}}=\hbar {\vec {k}},\ H(p,q)=\hbar \omega (k,q).$

История

Идея групповой скорости, отличающейся от фазовой скорости волны, впервые предложена Гамильтоном в 1839 году. Первое достаточно полное рассмотрение сделано Рэлеем в его работе «Теории звука» («Theory of Sound») в 1877^[2].

См. также

Примечания

↑ Миллер М. А., Суворов E. В. Групповая скорость // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1. — С. 544—545. — 704 с. — 100 000 экз.
↑ Brillouin, Léon (1960), Wave Propagation and Group Velocity, New York: Academic Press Inc., OCLC 537250

Литература

Уизем Дж. Б. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир. — 1977.
Ablowitz M.J. & Segur H. Solitons and the Inverse Scattering Transform. — SIAM Philadelphia. — 1981.
Rabinovich M.I., Trubetskov D.I. Oscillations and waves in linear and nonlinear systems. — Kewver-Academic Publ., Amsterdam. — 1989.
Ostrovsky L.A. and Potapov A.I. Modulated Waves. Theory and Applications. — Johns Hopkins Uni Press, Baltimore — London. — 1999.
Андронов А. А. Витт А. А. Хайкин С. Э. Теория колебаний. — М. : Наука, 1981.
Трубецков Д. И. Рожнев А. Г. Линейные колебания и волны : учебное. пособие для студентов вузов. — М. : Издательство физико-математической литературы, 2001.
Горелик Г. С. Колебания и волны : введение в акустику, радиофизику и оптику : учебное пособие для студентов вузов. — М. : Физматлит, 2007.
Бишоп Р. Колебания. — М. : Вузовская книга, 2019.

Ссылки

[ФЭ1-1] Миллер М. А., Суворов E. В. Групповая скорость // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1. — С. 544—545. — 704 с. — 100 000 экз.

[autogenerated1-2] Brillouin, Léon (1960), Wave Propagation and Group Velocity, New York: Academic Press Inc., OCLC 537250

[1]

[2]