Уравнение касательной к графику функции

Если некоторая прямая проходит через точку с координатами ${\displaystyle (x_{0};f(x_{0}))}$, а угол наклона данной прямой равен производной функции в данной точке, то такую прямую называют касательной к графику.

Если не существует производной графика в данной точке, то и не может существовать касательной, или же данная касательная перпендикулярна к оси ${\displaystyle OX}$. Второй случай можно наблюдать в результате проведения касательной для графика функции арксинуса.

Для задания любой прямой необходимо воспользоваться формулой ${\displaystyle y=kx+b}$.

Коэффициент ${\displaystyle k}$ показывает, под каким углом будет располагаться прямая относительно оси ${\displaystyle OX}$. Если данный коэффициент больше нуля, то угол наклона между касательной и осью ${\displaystyle OX}$ острый, если же коэффициент отрицательный, то угол между осью ${\displaystyle OX}$ и касательной тупой.

Угловой коэффициент — это производная функции в некоторой точке ${\displaystyle x_{0}}$.

Чтобы задать уравнение касательной, необходимо воспользоваться формулой:

• ${\displaystyle y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}),\quad x\in \mathbb {R} }$.

Если функция ${\displaystyle f}$ имеет в точке ${\displaystyle x_{0}}$ бесконечную производную ${\displaystyle f'(x_{0})=\pm \infty ,}$ то касательной прямой в этой точке называется вертикальная прямая, задаваемая уравнением:

• ${\displaystyle x=x_{0}.}$

Отсюда следует, что для нахождения коэффициента ${\displaystyle k}$, необходимо найти производную в рассматриваемой точке.

Пример

Найдём уравнение прямой для функции ${\displaystyle y=x^{3}}$ в точке ${\displaystyle x_{0}=3}$.

1. Находим производную данной функции: ${\displaystyle y'=3x^{2}}$.

2. Как уже было сказано, коэффициент — это производная функции в некоторой точке, поэтому: ${\displaystyle y'(3)=3\cdot 3^{2}=27.}$

3. Как видно из уравнения касательной, также необходимо найти и значение функции в рассматриваемой точке ${\displaystyle f(x_{0})}$: ${\displaystyle f(3)=3^{3}=27.}$ ^[1]

4. Теперь составим уравнение касательной по заданной формуле: ${\displaystyle y=27(x-3)+27.}$

Чтобы получить конечное уравнение, необходимо сделать некоторые преобразования: ${\displaystyle y=27(x-3)+27=27x-81+27=27x-54.}$

Таким образом, искомое уравнение касательной: ${\displaystyle y=27x-54.}$