Двоичный логарифм

Исторически двоичные логарифмы нашли своё первое применение в теории музыки, когда Леонард Эйлер установил: двоичный логарифм отношения частот двух музыкальных тонов равен количеству октав, которое отделяет один тон от другого. Эйлер также опубликовал таблицу двоичных логарифмов целых чисел от 1 до 8 с точностью до семи десятичных знаков^[2][3].

С созданием информатики выяснилось, что двоичные логарифмы необходимы для определения количества битов, требующихся для кодирования сообщения. Другие области, в которых часто используется двоичный логарифм, включают комбинаторику, биоинформатику, криптографию, проведение спортивных турниров и фотографию. Стандартная функция для вычисления двоичного логарифма предусмотрена во многих распространённых системах программирования.

В нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительны^[4]:

	Формула	Пример
Произведение	${\displaystyle \operatorname {lb} (xy)=\operatorname {lb} (x)+\operatorname {lb} (y)}$	${\displaystyle \operatorname {lb} (256)=\operatorname {lb} (16\cdot 16)=\operatorname {lb} (16)+\operatorname {lb} (16)=4+4=8}$
Частное от деления	${\displaystyle \operatorname {lb} \!\left({\frac {x}{y}}\right)=\operatorname {lb} (x)-\operatorname {lb} (y)}$	${\displaystyle \operatorname {lb} \left({\frac {1}{32}}\right)=\operatorname {lb} (1)-\operatorname {lb} (32)=0-5=-5}$
Степень	${\displaystyle \operatorname {lb} (x^{p})=p\operatorname {lb} (x)}$	${\displaystyle \operatorname {lb} (1024)=\operatorname {lb} (2^{10})=10\operatorname {lb} (2)=10}$
Корень	${\displaystyle \operatorname {lb} {\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\operatorname {lb} (x)}{p}}}$	${\displaystyle \operatorname {lb} {\sqrt {8}}={\frac {1}{2}}\operatorname {lb} 8={\frac {3}{2}}=1{,}5}$

Существует очевидное обобщение приведённых формул на случай, когда допускаются отрицательные переменные, например:

${\displaystyle \operatorname {lb} |xy|=\operatorname {lb} (|x|)+\operatorname {lb} (|y|),}$

${\displaystyle \operatorname {lb} \!\left|{\frac {x}{y}}\right|=\operatorname {lb} (|x|)-\operatorname {lb} (|y|).}$

Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:

${\displaystyle \operatorname {lb} (x_{1}x_{2}\dots x_{n})=\operatorname {lb} (x_{1})+\operatorname {lb} (x_{2})+\dots +\operatorname {lb} (x_{n})}$.

Связь двоичного, натурального и десятичного логарифмов:

${\displaystyle \operatorname {lb} x\approx 1{,}442695\ln x}$,

${\displaystyle \operatorname {lb} x\approx 3{,}321928\lg x}$.

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим функцию двоичного логарифма: ${\displaystyle y=\operatorname {lb} x}$. Она определена при всех ${\displaystyle x>0,}$ область значений: ${\displaystyle E(y)=(-\infty ;+\infty )}$.

График этой функции часто называется логарифмикой, она обратна для функции ${\displaystyle y=2^{x}}$. Функция монотонно возрастает, непрерывна и дифференцируема всюду, где она определена. Производная для неё даётся формулой^[5]:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {lb} x={\frac {\operatorname {lb} e}{x}}}$.

Ось ординат ${\displaystyle (x=0)}$ является вертикальной асимптотой, поскольку:

${\displaystyle \lim _{x\to 0+0}\operatorname {lb} x=-\infty }$.