Байес, Томас

Томас Байес родился около 1701 или 1702 года в Лондоне (по другим данным — в графстве Хартфордшир, в приходе Бовингдон) в состоятельной семье нонконформистов. Его отец, Джошуа Байес (1671—1746), был одним из первых шести пресвитерианских священников, рукоположённых в Англии после Акта о веротерпимости — в 1694 году^[2][7]. Мать — Анна Карпентер (1676—1733). Томас был старшим из семерых детей: у него было три брата — Джон (1705—1743), Самуил (1712—1789) и Натаниэль (1722—1764) — и три сестры — Мэри (1704—1780), Анна (1706—1758) и Ребекка^[7].

Семья Байесов происходила из Шеффилда, где дед и прадед Томаса были известными мастерами-ножевщиками (master cutlers). Накопленное семейное состояние, к поколению Джошуа Байеса инвестированное преимущественно в ипотеки и банковские аннуитеты (в том числе государственные ценные бумаги), обеспечило Томасу и его родственникам материальную независимость на всю жизнь^[8].

Поскольку в то время нонконформистам было запрещено поступать в Оксфорд и Кембридж, Байес получил начальное образование дома. Распространённое в литературе утверждение о его обучении в «Академии Кауарда» (Coward's Academy) является ошибочным, так как это учебное заведение было основано значительно позже. Скорее всего, Байес посещал Fund Academy в лондонском Тентер-Элли, где преподавали Джон Уорд и Джон Имс^[9].

19 февраля 1719 года Байес поступил в Эдинбургский университет (Шотландия), где изучал логику под руководством Колина Драммонда и богословие. Университетские архивы сохранили точные даты его учебных выступлений: 14 января 1721 года он произнёс проповедь (гомилию) на текст из Евангелия от Матфея 7:24–27, а 20 января 1722 года — на Матфея 11:29–30. В 1720 году он получил лицензию проповедника, но рукоположён в Эдинбурге не был^[9].

Рукоположение Байеса в качестве нонконформистского министра произошло позже, но не позднее 1727 года, поскольку его имя фигурирует в списке «Утверждённых служителей пресвитерианского исповедания» (Approved Ministers of the Presbyterian Denomination), составленном доктором Джоном Эвансом за этот год^[9]. По возвращении в Лондон он некоторое время помогал отцу в служении в часовне на Литер-лейн (Leather Lane) в Холборне. В этот период он опубликовал свои первые труды — один богословский и один математический.

Около 1733 года, после смерти прежнего пастора Джона Арчера, Байес стал министром пресвитерианской часовни Маунт-Сайон в Танбридж-Уэллсе — модном курортном городке в 55 км (35 миль) к юго-востоку от Лондона, славившемся своими целебными источниками^[2][1].

В 1746 году Уильям Уистон, сменивший Ньютона на кафедре в Кембридже, описывал завтрак с Байесом как встречу с «диссентерским министром в Танбридж-Уэллсе, преемником мистера Хамфри Диттона и, подобно ему, весьма хорошим математиком»^[2]. Современники характеризовали Байеса как «джентльмена, живущего на доходы, но непопулярного проповедника»^[7].

Несмотря на то что к тому моменту Байес не опубликовал ни одной математической работы под своим именем, в 1742 году он был избран членом (fellow) Лондонского королевского общества^[2][1]. Считается, что он был принят в общество на основании анонимного трактата 1736 года о защите метода флюксий Ньютона^[3].

Байес никогда не женился и не имел детей. Он жил скромно и уединённо, предпочитая математические исследования общественной жизни. Единственной известной близкой женщиной в его жизни была Сара Джеффри (Sarah Jeffery), владелица пансиона в Танбридж-Уэллсе, где, вероятно, жил Байес. В своём завещании он оставил ей значительное наследство — вероятно, в знак благодарности за заботу в последние годы жизни^[8].

Байес унаследовал от отца состояние в размере около 2000 фунтов стерлингов и его библиотеку. В 1746 году, после смерти Джошуа Байеса, Томас и его брат Самуил были назначены исполнителями доверительного фонда в 1400 фунтов стерлингов, оставленного отцом сестре Ребекке, чтобы предотвратить растрату этих денег её мужем Томасом Коттоном^[7]. В своём единственном богословском труде Байес использовал термин «творения Божьи» вместо «человек» или «человечество», что для XVIII века было необычайно инклюзивной формулировкой^[8]. В завещании Байес оставил 200 фунтов стерлингов, которые должны были быть поровну разделены между его другом и коллегой-проповедником Джоном Хойлом и Ричардом Прайсом^[7].

Точно неизвестно, когда и почему Байес всерьёз занялся теорией вероятностей. С. Стиглер предполагал, что толчком послужило знакомство с работой Томаса Симпсона 1755 года, в которой тот рассматривал усреднение астрономических наблюдений^[10]. По мнению Дж. Барнарда, Байес освоил теорию вероятностей по книге Абрахама де Муавра «Учение о шансах»^[11]. Существует и гипотеза о том, что Байес стремился дать математический ответ аргументу Дэвида Юма против чудес из «Исследования о человеческом разумении» (1748)^[8].

Последние годы жизни Байес провёл в Танбридж-Уэллсе, занимаясь математическими исследованиями в уединении. Он оставил служение в Маунт-Сайон в 1752 году, но остался жить в городе. К 1755 году его здоровье пошатнулось; Томас Байес скончался 7 апреля 1761 года^[7][3].

Байес был похоронен в семейном склепе на лондонском кладбище Банхилл-Филдс — традиционном месте погребения английских нонконформистов^[3]. В 1960 году склеп был восстановлен на добровольные пожертвования статистиков из разных стран; на надгробии появилась надпись: «В признание важного вклада Томаса Байеса в теорию вероятностей этот склеп восстановлен в 1960 году на пожертвования статистиков всего мира»^[12].

В 2018 году Эдинбургский университет открыл в честь своего выпускника Bayes Centre — междисциплинарный исследовательский центр по науке о данных и искусственному интеллекту стоимостью около 45 млн фунтов стерлингов^[13]. Имя Байеса носит само направление байесовской статистики, а Международное общество байесовского анализа (ISBA) поддерживает специальный фонд ухода за его склепом (Thomas Bayes Tomb Maintenance Fund)^[14].

Главный научный труд Байеса — «An Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances» — был прочитан Ричардом Прайсом в Королевском обществе 23 декабря 1763 года и опубликован в 53-м томе журнала Philosophical Transactions (том датирован 1763 годом, фактически вышел в 1764)^[4][1][2].

Байес поставил так называемую «обратную задачу» теории вероятностей: если наблюдается ряд независимых испытаний с двумя исходами (успех/неудача), причём вероятность успеха ${\displaystyle p}$ неизвестна, то как, исходя из числа наблюдённых успехов и неудач, оценить вероятность того, что истинное значение ${\displaystyle p}$ лежит в заданном интервале?^[3][4]

Байес избегал явного использования исчисления, предпочитая геометрические аргументы с площадями. Историки предполагают, что это было продиктовано либо стремлением к более широкой аудитории, либо следованием геометрическому стилю Ньютона, изложенному в «Началах»^[3][2][15].

Байес предположил, что до проведения испытаний вероятность ${\displaystyle p}$ равномерно распределена на отрезке ${\displaystyle [0,1]}$ (так называемое [[Априорное распределение|априорное распределение]). После наблюдения ${\displaystyle r}$ успехов в ${\displaystyle n}$ испытаниях он вывел, что апостериорное распределение ${\displaystyle p}$ задаётся бета-распределением с параметрами ${\displaystyle r+1}$ и ${\displaystyle n-r+1}$^[4]:

${\displaystyle P(a\leq p\leq b\mid r,n)={\frac {\int _{a}^{b}p^{r}(1-p)^{n-r}\,dp}{\int _{0}^{1}p^{r}(1-p)^{n-r}\,dp}}.}$

Хотя сама формула условной вероятности в современном виде не выделена Байесом явно как отдельная теорема, все необходимые для её вывода предварительные результаты содержатся в его работе^[4][2].

Чтобы обосновать равномерное априорное распределение, не выходя за рамки классического понимания вероятности как доли равновозможных исходов, Байес предложил мысленный эксперимент, известный как «бильярдный стол Байеса»: на квадратный стол наугад бросается шар W, и линия через точку его остановки определяет неизвестную вероятность ${\displaystyle p}$ того, что следующий шар ляжет по одну сторону от линии; наблюдатель видит лишь исходы бросков и по ним должен судить о ${\displaystyle p}$^[4][3].

Сама вероятность в «Опыте» определена через понятие ожидания: «вероятность любого события есть отношение между ценностью, по которой следует исчислять ожидание, зависящее от наступления события, и стоимостью ожидаемого в случае его наступления»^[4] — иными словами, вероятность понимается как справедливая цена ставки на событие. Стиглер отмечал, что такое определение близко современной субъективной интерпретации, но требует наблюдаемости события, поэтому выводы Байеса были осторожнее выводов позднейших байесианцев^[10].

Название «Опыта» отсылает к «Учению о шансах» Абрахама де Муавра (1718; 2-е изд. 1738; 3-е изд. 1756): де Муавр решил «прямую» задачу учения о шансах и ещё в 1733 году получил нормальную аппроксимацию биномиального распределения, тогда как Байес поставил задачу обратную^[16][15].

В статье «Кто открыл теорему Байеса?» (1983) С. Стиглер обсудил документальные указания на то, что частный случай теоремы (для дискретных гипотез) мог быть известен Николасу Сандерсону — слепому Лукасовскому профессору в Кембридже^[11]. Стиглер тем не менее сохранил за теоремой привычное имя; этот эпизод стал одной из иллюстраций сформулированного им «закона Стиглера», по которому ни одно научное открытие не называется именем первооткрывателя^[17].

Ричард Прайс (1723—1791) был не просто издателем работы Байеса, но и её активным соавтором. По словам племянника Прайса Уильяма Моргана, семья Байеса попросила Прайса просмотреть бумаги покойного и подготовить их к публикации^[8]. Прайс потратил значительное время на проверку, редактирование и уточнение рукописей. Исследователи отмечают, что примерно половина опубликованного эссе, включая Приложение со всеми числовыми примерами, была написана самим Прайсом^[8].

Прайс добавил к эссе обширное введение и приложение, придав работе глубокий теологический смысл. Он писал, что теорема «показывает, какие основания мы имеем полагать, что в устройстве мира существуют неизменные законы, согласно которым происходят события, и что, следовательно, строение мира должно быть результатом мудрости и силы разумной причины»^[4][3].

Кроме того, Прайс был первым, кто публично применил теорию Байеса: он использовал её для опровержения скептических аргументов Дэвида Юма против чудес в его знаменитой работе «Исследование о человеческом разумении» (1748)^[8][5].

Связь между Байесом и Прайсом, вероятно, возникла через их общего учителя Джона Имса (1685—1744), математика и друга Ньютона, который преподавал в диссентерской академии Мурфилдс и был одним из номинаторов Байеса в Королевское общество в 1742 году, одновременно обучая молодого Прайса^[8][3].

Апологетическую линию, начатую во введении к «Опыту», Прайс продолжил в сборнике «Четыре рассуждения» (Four Dissertations, 1767), где вновь обратился к юмовскому аргументу против чудес, обсуждая надёжность свидетельств о них^[18].

Единственная математическая работа, опубликованная Байесом при жизни (анонимно), — «An Introduction to the Doctrine of Fluxions, and a Defence of the Mathematicians Against the Objections of the Author of The Analyst» (1736)^[1][2]. Работа была ответом на критику Джорджа Беркли в трактате «Аналитик» (1734), где тот назвал ньютоновские флюксии «призраками ушедших величин».

Байес защищал метод флюксий, утверждая, что споры между математиками не умаляют ценности их методов, а логика и метафизика куда более спорны, чем математика: «Если споры профессоров какой-либо науки умаляют саму науку, то логика и метафизика умаляются гораздо сильнее, чем математика; почему же, если я наполовину слеп, я должен взять себе в проводники того, кто совсем слеп?»^[2][8]. Байес также защищал Ньютона от обвинения Беркли в том, что тот стремился «заслужить репутацию среди невежд, выставляя напоказ непонятные понятия»^[8].

Первая известная публикация Байеса — богословский трактат Divine Benevolence; or, An Attempt to Prove That the Principal End of the Divine Providence and Government Is the Happiness of His Creatures (1731). В нём Байес утверждал, что главной целью Божественного Провидения является счастье творений, полемизируя с воззрениями Джона Балгая и Уильяма Кинга^[1][2][8].

После смерти Байеса было опубликовано его письмо Джону Кантону, в котором он критиковал попытки Томаса Симпсона показать преимущество усреднения нескольких астрономических наблюдений перед одним тщательным измерением. Байес правильно заметил, что увеличение числа наблюдений с помощью несовершенного инструмента не устраняет систематическую ошибку, а лишь уменьшает случайную погрешность:

В сохранившейся после смерти Байеса записной книжке (notebook) содержатся обширные математические заметки по теории вероятностей, тригонометрии, геометрии, решению уравнений, рядам и дифференциальному исчислению^[2][3]. Кроме того, в ней есть разделы по естественной философии — электричеству, оптике, небесной механике, гармонии в музыке, а также выписки из трудов других авторов на разнообразные темы — от измерения пирамид до «Провинциальных писем» Блеза Паскаля^[3]. Связанные с материалами записной книжки заметки по электричеству содержатся в письме Байеса Кантону, хранящемся в библиотеке Королевского общества^[3].

Эссе Байеса не сразу получило широкое признание. Его результаты были переоткрыты Пьером-Симоном Лапласом в 1774 году (мемуар «Mémoire sur la probabilité des causes par les événements»), затем — Кондорсе, и оставались практически неоспоримыми до тех пор, пока Джордж Буль в XIX веке не поставил под сомнение некоторые из его выводов^[2][15].

В XIX веке, с развитием частотной (классической) школы статистики, байесовские методы подверглись жёсткой критике. Идея о том, что вероятность количественно выражает нашу неосведомлённость, была вытеснена концепцией объективной частоты. Джон Стюарт Милль осудил вероятность как «невежество, отчеканенное в науку»^[15].

В 1891 году шотландский математик Джордж Кристалл призывал: «[Принцип Лапласа] мёртв, [его] следует достойно похоронить вне поля зрения и не бальзамировать в учебниках и экзаменационных работах… Неосторожности великих людей следует тихо позволить забыть»^[19].

Несмотря на теоретическую опалу, байесовские методы продолжали использоваться в прикладных областях. Французский математик Жозеф Бертран в своём учебнике Calcul des probabilités (1889)^[20] доказывал, что теорема Байеса — единственный способ для артиллерийских офицеров корректно учитывать множество неопределённостей (местоположение цели, плотность воздуха, направление ветра). С 1890 по 1935 год французские и русские артиллеристы использовали байесовские методы Бертрана для наведения орудий^[15].

В 1894 году французский офицер Альфред Дрейфус был ложно обвинён в шпионаже на основании псевдонаучной графологической экспертизы Альфонса Бертильона, пытавшегося придать своим выводам видимость теории вероятностей. На пересмотрах дела в 1899 году в Ренне и в 1904—1906 годах в Кассационном суде математики Анри Пуанкаре, Гастон Дарбу и Поль Аппель выступили экспертами и показали несостоятельность выкладок Бертильона. В своём отчёте они разъяснили принципы «вероятности причин» (то есть байесовского подхода) и продемонстрировали, что вероятность четырёх совпадений, оценённая Бертильоном как 0,0016, при корректном подсчёте составляет около 0,7, а сами методы экспертизы лишены научной ценности^[5].

Байесовские методы также использовались при создании телефонной системы Bell, при разработке первой в США системы социального страхования и во многих других инженерных задачах^[5].

В первой трети XX века идеи, позднее названные байесовскими, получили новое философское основание. Ф. Рамсей (1926) и Б. де Финетти (1937) предложили понимать вероятность как согласованную степень убеждённости; де Финетти ввёл понятие обменяемости и показал, что любая обменная последовательность представляется смесью схем Бернулли, что придало подходу Байеса строгий смысл^[21][22]. Г. Джеффрис в «Теории вероятностей» (1939) развил «объективную» версию байесовского подхода и предложил общий способ построения априорных распределений^[23], а монография Л. Сэвиджа (1954) обобщила субъективную линию и вернула широкое внимание к работам Рамсея и де Финетти^[24].

Как показал позднее в открытых публикациях И. Дж. Гуд, во время Второй мировой войны Алан Тьюринг и его коллеги в Блетчли-парке использовали в статистической криптоаналитике методы, близкие байесовским (процедура «банбуризмус», мера «веса свидетельств»)^[25]. В годы холодной войны байесовская теория поиска пригодилась в спасательных операциях: в 1966 году группа Дж. Кревена с её помощью нашла водородную бомбу, потерянную в море у Паломареса после столкновения бомбардировщика B-52 с заправщиком, а в 1968 году тот же подход позволил локализовать затонувшую атомную подводную лодку USS Scorpion^[5].

Современная Байесовская статистика, основанная на использовании априорных распределений, функции правдоподобия и апостериорных распределений, пережила настоящий расцвет в конце XX — начале XXI века благодаря развитию вычислительной техники^[5]. Решающую роль сыграла вычислительная революция: методы Монте-Карло с марковскими цепями (Метрополис с соавторами, 1953^[26]; Хастингс, 1970^[27]) после работы А. Гельфанда и А. Смита (1990)^[28] стали рабочим инструментом вычисления апостериорных распределений.

В 2010-х — 2020-х годах распространение вероятностных языков программирования — BUGS^[29], Stan^[6], PyMC, Turing.jl, NumPyro — сделало байесовские методы одним из основных средств анализа данных. По состоянию на 2026 год они применяются в самых разных областях: Машинное обучение, Фильтрация спама, Распознавание речи, Медицинская диагностика, Эконометрика, Искусственный интеллект, Генетика и Космология^[5]. Отдельным направлением стало байесовское планирование экспериментов и оценка поведения больших языковых моделей: в 2025 году Apple Machine Learning Research представила метод BED-LLM^[30], а исследователи UC Irvine — работу «Bayesian Evaluation of Large Language Model Behavior»^[31].