Эксперимент Кавендиша

Одна из первых попыток определения плотности Земли была предпринята профессором гидрографии Гавра французом Пьером Бугером во время геодезической миссии в Перу в 1735—1739 годах. Бугер провёл несколько экспериментов чтобы определить взаимосвязь между плотностью вулкана Чимборасо и средней плотностью Земли, измеряя отклонения от вертикали отвеса вблизи этой большой горы. Исаак Ньютон ранее рассматривал проведение эксперимента как практическую демонстрацию созданной им теории гравитации в своём сочинении «Начала», но в конце концов отверг эту идею. Результаты Бугера были не очень точными и повторяющимися, так как одно измерение давало плотность Земли в четыре раза больше плотности горы, а другое в двенадцать раз больше^[3][4].

Вторым экспериментом по определению плотности Земли был эксперимент Шихаллона, проведённый около середины 1774 года. В 1772 году комитет учёных из Лондонского королевского общества, в который входили Королевский астроном, преподобный Невил Маскелайн, Генри Кавендиш, Бенджамин Франклин, Дэйнс Баррингтон и преподобный Сэмюэл Хорсли, высказал мнение, что они могут определить притяжение горы к Земле по отклонению отвеса, и летом 1773 года астроному Чарльзу Мейсону было поручено выбрать походящую гору. Мейсон выбрал шотландскую гору Шихаллион в графстве Пертшир из-за её симметрии и изолированности. Эксперимент проводил Маскелайн, а данные обрабатывались Чарльзом Хаттоном. Окончательная обработка полученных экспериментальных результатов показали, что плотность Земли равна 4,500 г/см³, что на 20 % ниже принятого в настоящее время значения 5,515 г/см³^[4][5].

Примерно в 1768 году преподобный Джон Мичелл, британский физик и геолог, также спроектировал и построил крутильные весы с целью определения средней плотности Земли. Этот прибор был похож на тот, который разработал француз Шарль Огюстен де Кулон, который использовал его для измерения небольших притяжений и отталкиваний электрических зарядов в 1784 году^[6]. Мичелл, скорее всего, не знал о работе Кулона, когда разрабатывал свою конструкцию крутильных весов^[7]. Он умер, так и не сумев завершить придуманный им эксперимент, а построенный инструмент унаследовал преподобный Фрэнсис Джон Хайд Волластон, профессор натурфилософии Кембриджского университета, который передал его Генри Кавендишу; оба были членами Королевского общества^[7][8].

Определение плотности Земли было важно в то время по нескольким причинам:

1. Оно бы подтвердило бы ньютоновскую физику, соединив принцип всемирного тяготения, объединивший небесную и земную механику, с геологией^[3];
2. В геологии конца XVIII века возникла полемика между двумя представлениями о внутреннем составе Земли: нептунианской теорией немца Авраама Готлоба Вернера, считавшего океан, воду, ответственными за образование минерального царства, и плутоновской теорией шотландца Джеймса Геттона, который приписывает основные земные геологические образования внутреннему теплу Земли. Определение средней плотности Земли позволило бы выяснить твёрдость или текучесть недр планеты^[3];
3. Плотность Земли позволяла вычислить её массу, что было важно для астрономов восемнадцатого века, поскольку уже известные соотношения масс Луны, Солнца и остальных планет Солнечной системы можно было уточнить, исходя из найденного значения^[3].

Генри Кавендиш начал свои эксперименты летом 1797 года в возрасте 67 лет в саду своего дома в Клэфэм-Коммон^[en], ныне жилом районе на юге Лондона, где он поместил крутильные весы внутри комнаты здания размером 17,7×7,9 м^[9]. Первый эксперимент он провёл 5 августа 1797 года, и до 23 сентября провёл ещё семь подобных опытов. Семь месяцев спустя, между 29 апреля и 30 мая 1798 года, он сделал ещё девять серий наблюдений, и последние два эксперимента — с помощью своего секретаря Джорджа Гилпина^[10].

Обычно можно найти много книг^[11][12], в которых ошибочно утверждается, что целью Кавендиша было определение гравитационной постоянной ${\textstyle G}$, и об этой ошибке сообщали несколько авторов^[4][10]. На самом деле единственной целью Кавендиша было определение средней плотности Земли, что он называл «взвешиванием мира». Гравитационная постоянная не фигурирует в оригинальной статье Кавендиша 1798 года «Эксперименты по определению плотности Земли» (англ. Experiments to Determine the Density of the Earth)^[7] и нет никаких указаний на то, что он рассматривал её определение как экспериментальную цель. Одно из первых упоминаний о ${\textstyle G}$, обозначенное как ${\textstyle f}$, появляется в 1844 году в 4-м издании книги Николя Дегена (фр. Nicolas Deguin) Cours élémentaire de Physique, но без написания полной формулы закона всемирного тяготения Ньютона. Впервые полная формула была написана в 1873 году в мемуарах Мари-Альфреда Корню и Баптистина Бая «Новое определение постоянной притяжения и средней плотности Земли» (фр. Détermination nouvelle de la constante de l'attraction et de la densité moyenne de la Terre) в виде^[4][13]:

${\displaystyle F=f\cdot {\frac {m\cdot m'}{r^{2}}}\,.}$

Крутильные весы Мичелла, перестроенные и улучшенные Кавендишем, состояли из нескольких частей:

1. Горизонтальное деревянное коромысло незначительной массы и длиной 183 см (6 футов) было подвешено на тонкой проволоке длиной 102 см (40 дюймов) точно посередине. На каждом конце коромысла находилась небольшая свинцовая сфера диаметром 5,08 см (2 дюйма) с массой 0,73 кг (b на рисунках)^[8]. Вся конструкция заключена в ящик из красного дерева, АААА, для предотвращения сквозняков и перепадов температуры, с небольшими отверстиями на торцах, закрытыми стеклом, что позволяло наблюдать за положением этих сфер. Небольшая сила позволяла этому горизонтальному коромыслу вращаться вокруг оси вращения, отмеченной проволокой, если та была достаточно тонкой^[9][7].
2. Рядом с каждой из вышеупомянутых сфер b у Кавендиша была ещё одна неподвижная сфера, также сделанная из свинца, но гораздо более тяжёлая, 158 кг^[15] (диаметром около 1 фута). Они указаны на рисунках в двух разных позициях, WW и ww. Чтобы разместить их очень близко к маленьким сферам, Кавендиш разработал механизм, который активирует их перемещение на расстоянии, чтобы избежать помех — отмечено как ММ. Гравитационное действие этих сфер должно было притягивать маленькие сферы к шарам на коромысле, производя небольшое закручивание проволоки^[7][16].
3. Чтобы измерить отклонение малых сфер, Кавендиш расположил градуированную шкалу из слоновой кости внутри деревянного ящика, защищающего коромысло, расположенную рядом с маленькими сферами и освещённую лучом света снаружи. Шкала имела отдельные деления на расстоянии 0,13 см (1/20 дюйма). На конце коромысла находился небольшой кусочек слоновой кости, выполнявший роль шкалы нониуса и разделявший деления шкалы на 5 частей, то есть величиной около 0,25 мм^[7][2]. На многих схемах крутильных весов, встречающихся в литературе, указано, что несущая проволока имела зеркало, позволяющее наблюдать за производимым отклонением. Эта система является усовершенствованием, сделанным после эксперимента Кавендиша другими исследователями. Кавендиш измерял отклонение прямо на шкале возле маленьких сфер^[3].
4. Для предотвращения возмущений, вызванных сквозняками и колебаниями температуры, Кавендиш поместил весы в закрытой комнате, на рисунке обозначенном вершинами GGGG. Большие сферы можно было перемещать из другой соседней комнаты с помощью механизма, обозначенного PRR, активируемого в точке m. Кавендиш мог измерить небольшое кручение весов с помощью телескопа, отмеченного буквой Т, чтобы наблюдать отклонения на шкале из слоновой кости, освещённой светом от свечей, отмеченной буквой l^[3].

Крутильные весы были удивительно точны для своего времени. Сила кручения, создаваемая притяжением шаров, была очень мала, 1,74 · 10⁻⁷ Н, что примерно равно 24 · 10⁻⁹ веса маленьких шаров. Эквивалентно силе, необходимой для удержания 0,0155 мг вещества. При подъёме песчинки диаметром 1 мм требуется усилие, примерно в 90 раз превышающее силу, измеренную по шкале Кавендиша^[3].

Метод Кавендиша, используемый для расчёта плотности Земли, заключался в измерении периода колебаний горизонтального коромысла, которое колеблется, приближаясь к большой сфере и удаляясь от неё^[14].

Когда большая сфера приближается на небольшое расстояние (9 дюймов или 22,9 см) к маленькой сфере, то сила гравитационного притяжения становится чувствительной и коромысло с маленькими сферами начинает вращаться в сторону больших сфер. По мере приближения малых сфер к более крупным сила притяжения увеличивается, так как она обратно пропорциональна расстоянию между их центрами, ${\displaystyle F\propto 1/r^{2}\,}$. В то же время это вызывает закручивание проволоки, поддерживающей коромысло, и возвращающую силу, противодействующую скручиванию. Эта рекуперативная сила увеличивается по мере приближения маленьких сфер к большим, поскольку она пропорциональна углу вращения (закон Гука), пока не сравняется с силой, которая их притягивает. В это время силы уравновешиваются, но коромысло с маленькими сферами обладает определённой скоростью (инерцией), что заставляет её продолжать движение в том же направлении. Однако сила возврата, противодействующая движению, становится больше, чем сила гравитационного притяжения, и успевает остановить движение коромысло. Таким образом, маленькие сферы останавливаются и меняют направление своего движения. Когда они снова проходят через положение равновесия, их скорость не равна нулю, что заставляет их продолжать движение. Сила кручения теперь действует в том же направлении, что и гравитационное притяжение, тормозя оба коромысла, и движение сфер медленно останавливается. Затем сферы начинают двигаться в противоположном направлении. То есть совершается колебательное движение, подобное движению простого маятника^[3].

Период колебаний, измеренный Кавендишем, составил около 15 минут, что даёт представление о медленном движении коромысла. Кавендиш измерил время трёх полных колебаний, а затем определил период, разделив общее время на количество колебаний^[17]. Можно показать, что период связан с силой тяжести и силой восстановления проволоки. Колебание затухает и его амплитуда, не превышающая 2 см, несколько уменьшается при каждом колебании, хотя это и не влияет на не зависящий от него период. Чтобы полностью прекратить колебательное движение, потребовалось много часов, но вскоре Кавендиш изменил положение больших сфер на другой стороне и сумел реактивировать колебания и провести новые измерения^[3].

Определив период этих малых колебаний, можно вычислить силу гравитационного притяжения малого шара со стороны большого шара известной массы М и сравнить её с силой притяжения такого же малого шара к Земле. Таким образом, Земля может быть описана как в N раз более массивная, чем толстая сфера^[10]. Все это основано на теории всемирного тяготения Исаака Ньютона, согласно которой сила притяжения пропорциональна произведению масс M и m и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними:

${\displaystyle F\propto {\frac {M\cdot m}{r^{2}}}\,.}$

После того как были произведены расчёты и сделан ряд поправок, результат, полученный Кавендишем, состоял в том, что средняя плотность Земли в 5,448 раз превышала плотность воды при температуре от 19 °С до 21 °С (0,998 г/см³). Эта величина отличается всего на 1,4 % от принятого в настоящее время значения, что в 5,526 раз больше плотности воды, или 5,515 г/см^3[3].

Несмотря на то, что опыт Кавендиша считается первым определением гравитационной постоянной, он не только не приводил её значение, но и не мог сослаться на закон всемирного тяготения в современной форме, потому, что до конца XIX века его в такой форме не записывали^[18]. Во времена Кавендиша не существовало единства мнений среди учёных в определении силы, периода колебаний и рассуждения велись используя сравнения и аналогии^[3][19]. Для математического анализа Кавендиш использовал аналогию крутильных весов с математическим маятником, период которого известен^[18]. Для математического маятника в крайнем положении возвращающая сила ${\displaystyle F_{0}}$ действует на вес груза ${\displaystyle W}$ и стремится вернуть его в положение равновесия. Длина дуги, на которую сдвинут груз ${\displaystyle S}$, относится к длине подвеса ${\displaystyle l}$ как ${\displaystyle F_{0}/W\,.}$ Для математического маятника период равен ${\displaystyle T_{0}\,.}$ Он связан с периодом крутильного маятника ${\displaystyle T}$ под действием другой силы ${\displaystyle F}$ соотношением ${\displaystyle F/F_{0}=T_{0}^{2}/T^{2}\,.}$ С другой стороны возвращающая сила, действующая на крутильные весы, может быть записана в виде ${\displaystyle F=W\cdot S/l\cdot T_{0}^{2}/T^{2}}$^[20]. Эксперимент позволил определить значение${\displaystyle F/T=B/(818T^{2})\,,}$ где ${\displaystyle B}$ — число делений шкалы крутильных весов. С другой стороны, Кавендиш рассмотрел отношение притяжения двух свинцовых сфер к весу груза (то есть его притяжение к Земле). Вместо свинца он рассмотрел шар аналогичной массы из воды. Тогда ${\displaystyle {\frac {F}{W}}=10,64\times 0,9779\times \left({\frac {6}{8,85}}\right)^{2}\left({\frac {D_{w}d_{w}^{3}}{d_{w}^{2}}}\right)\left({\frac {d_{e}^{2}}{D_{e}d_{e}^{3}}}\right)\,,}$ где индексы ${\displaystyle _{w}}$ и ${\displaystyle _{e}}$ относятся к воде и Земле, ${\displaystyle D}$ — плотность, ${\displaystyle d}$ — диаметр, 10,64 — коэффициент разницы массы между шаром из свинца и шаром из воды радиусом 1 фут, 0,9779 — коэффициент, введённый для устранения ошибки в измерениях, а отношение 6/8,86 есть отношение радиуса сферы воды к расстоянию между центрами шаров в дюймах. Теперь можно выделить относительную плотность Земли, зная её диаметр (41800000 футов):

${\displaystyle D={\frac {D_{e}}{D_{w}}}={\frac {818T^{2}}{8739000B}}}$^[18].

Кавендиш провёл три измерения и ввывел среднее значение, которое оказалось неправильным из-за арифметической ошибки. Её исправил Бэйли и получил значение ${\displaystyle D=5,448}$^[21].

Определения терминов, используемых в формулах, приведены в подписи в конце этого раздела.

Приведённый ниже вывод формулы^[22] для определения плотности Земли использует современную терминологию. Он не соответствует методу, которому следовал Кавендиш^[23][19].

Момент силы ${\displaystyle \tau }$, по определению является произведением силы на расстояние, отделяющее точку её приложения от оси вращения. Это соответствует произведению гравитационного притяжения между двумя сферами F и расстояния между каждой маленькой сферой и осью вращения коромысла, несущей две маленькие сферы, L/2. Так как имеются две пары сфер (2 большие и 2 маленькие) и каждая пара создаёт силу на расстоянии L/2 от оси весов, то момент силы равен 2·F·L/2 = F·L. В крутильных маятниках, как и в крутильных весах, момент силы ${\displaystyle \tau }$, пропорционален углу поворота ${\displaystyle \theta }$ весов, константой пропорциональности выступает коэффициент кручения, ${\displaystyle \kappa }$, это ${\displaystyle \tau =\kappa \cdot \theta }$. Таким образом, приравнивая обе формулы, получается следующее выражение^[23]:

${\displaystyle \kappa \cdot \theta \ =L\cdot F\,.\qquad \qquad \qquad (1)}$

Сила гравитационного притяжения F между маленькой сферой массы m и большой сферой массы M, расстояние между центрами которых равно r, определяется выражением закона всемирного тяготения Исаака Ньютона:

${\displaystyle F=G\cdot {\frac {m\cdot M}{r^{2}}}\,.}$

Подставив это выражение для F в уравнение (1), получается^[23]

${\displaystyle \kappa \cdot \theta \ =L\cdot G\cdot {\frac {m\cdot M}{r^{2}}}\,.\qquad \qquad \qquad (2)}$

Для определения коэффициента крутящего момента ${\displaystyle \kappa \,}$, проволоки, можно измерить собственный период колебаний T крутильных весов, который выражается через момент инерции, I, и коэффициент кручения ${\displaystyle \kappa }$, согласно выражению^[24]

${\displaystyle T=2\cdot \pi \cdot {\sqrt {I/\kappa }}\,.\qquad \qquad \qquad (3)}$

Учитывая, что масса деревянного коромысла пренебрежимо мала по сравнению с массами маленьких сфер, момент инерции весов обусловлен только двумя маленькими сферами и справедливо равенство^[25]:

${\displaystyle I=m\cdot (L/2)^{2}+m\cdot (L/2)^{2}=m\cdot L^{2}/2\,,}$

где выражение (3) можно заменить и период примет вид

${\displaystyle T=2\cdot \pi \cdot {\sqrt {\frac {m\cdot L^{2}}{2\cdot \kappa }}}\,.}$

Выразив из предыдущей формулы ${\displaystyle \kappa }$^[24]

${\displaystyle \kappa ={\frac {2\cdot \pi ^{2}\cdot m\cdot L^{2}}{T^{2}}}\,,}$

в выражении (2) можно произвести замену и перестановку, выделив константу G^[26]:

${\displaystyle G={\frac {2\cdot \pi ^{2}\cdot L\cdot r^{2}}{M\cdot T^{2}}}\cdot \theta \,.\qquad \qquad \qquad (4)}$

Притяжение, оказываемое Землёй на массу m (массу маленьких сфер), находящуюся вблизи её поверхности, то есть на её вес, составляет:

${\displaystyle m\cdot g=G\cdot {\frac {m\cdot M_{Terra}}{R_{Terra}^{2}}}\,.}$

Выделяя массу Земли, получается выражение

${\displaystyle M_{Terra}={\frac {g\cdot R_{Terra}^{2}}{G}}\,.}$

Подставляя значение G из периода колебаний, получаем массу Земли

${\displaystyle M_{Terra}={\frac {g\cdot R_{Terra}^{2}}{{\frac {2\cdot \pi ^{2}\cdot L\cdot r^{2}}{M\cdot T^{2}}}\cdot \theta }}={\frac {g\cdot R_{Terra}^{2}\cdot M\cdot T^{2}}{2\cdot \pi ^{2}\cdot L\cdot r^{2}\cdot \theta }}\,.}$

Плотность Земли, ${\displaystyle \rho _{Terra}}$, это отношение её массы, ${\displaystyle M_{Terra}}$ к её объёму — объёму шара^[9]:

${\displaystyle \rho _{Terra}={\frac {M_{Terra}}{{\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot R_{Terra}^{3}}}\,.}$

Символ	Размерность	Определение
${\displaystyle \theta \,}$	${\displaystyle {\mbox{рад}}\,}$	Угловое отклонение положения малых сфер относительно их положения равновесия
${\displaystyle F\,}$	${\displaystyle {\mbox{Н}}\,}$	Гравитационная сила между массами M и m
${\displaystyle G\,}$	${\displaystyle {\mbox{м}}^{3}{\mbox{кг}}^{-1}{\mbox{с}}^{-2}\,}$	Гравитационная постоянная
${\displaystyle m\,}$	${\displaystyle {\mbox{кг}}\,}$	Масса маленьких сфер
${\displaystyle M\,}$	${\displaystyle {\mbox{кг}}\,}$	Масса больших сфер
${\displaystyle r\,}$	${\displaystyle {\mbox{м}}\,}$	Расстояние между центрами малых и больших сфер
${\displaystyle L\,}$	${\displaystyle {\mbox{м}}\,}$	Расстояние между центрами двух маленьких сфер
${\displaystyle \kappa \,}$	${\displaystyle {\mbox{Н}}\,{\mbox{м}}\,{\mbox{рад}}^{-1}\,}$	Коэффициент кручения проволоки
${\displaystyle I\,}$	${\displaystyle {\mbox{кг}}\,{\mbox{м}}^{2}\,}$	Момент инерции коромысла
${\displaystyle T\,}$	${\displaystyle {\mbox{с}}\,}$	Период колебаний коромысла
${\displaystyle g\,}$	${\displaystyle {\mbox{м}}\,{\mbox{с}}^{-2}\,}$	Ускорение силы тяжести на поверхности Земли
${\displaystyle M_{Terra}\,}$	${\displaystyle {\mbox{кг}}\,}$	Масса Земли
${\displaystyle R_{Terra}\,}$	${\displaystyle {\mbox{м}}\,}$	Радиус Земли
${\displaystyle \rho _{Terra}\,}$	${\displaystyle {\mbox{кг}}\,{\mbox{м}}^{-3}\,}$	Плотность Земли

После эксперимента Кавендиша другие учёные повторили эксперимент с той же сборкой, внося улучшения. С середины XIX века и далее проводились опыты с целью определения гравитационной постоянной ${\textstyle G}$, а не плотность Земли. Эти эксперименты имели следующие особенности:

• Немец Фердинанд Райх повторил измерение плотности Земли с помощью весов, очень похожих на те, которыми пользовался Кавендиш^[27], и получил новые значения средней плотности Земли, ρ = 5,49 г/см³^[28] в 1837 году и ρ = 5,58 г/см³ в 1852 году^[29].
• Фрэнсис Бейли повторил эксперимент с крутильными весами и в 1842 году получил значение ρ = 5,67 г/см³^[30]. Его опыты финансировались правительством с целью улучшить измерения Кавендиша. Теория была построена Джорджем Эйри. В его опытах размеры, вес шаров и способ их подвеса варьировались^[31].
• Французы Мари Альфред Корню и Баптистин Бай нашли в 1873 г.^[32] значения ρ в пределах от 5,50 до 5,56 г/см³^[13].
• В 1895 году Чарльз Вернон Бойз модифицировал оригинальный инструмент Мичелла и Кавендиша, уменьшив его до 1/18 части, заменив торсионную проволоку, первоначально сделанную из железа, тонкими кварцевыми волокнами диаметром 0,002 мм. Это нововведение позволяет использовать меньшие массы золота (m = 2,7 г, M = 7,5 кг) и меньшее расстояние 15 см^[33] при лучшем контроле температурных колебаний и отклонений от уклона земли. Он также разделяет положение пар сфер на 6 дюймов по вертикали, чтобы уменьшить влияние толстой сферы другой пары, и имеет зеркало на плече, отражающее луч света, что позволило определить с помощью телескопа малый угол отклонения^[34]. Его измерения дали значение ρ = 5,527 г/см³^[35].
• В 1897 году немецкий физик Карл Фердинанд Браун усовершенствовал крутильные весы, поместив их в контейнер, откуда он откачивал воздух, избегая таким образом сквозняков, влияющих на колебания. Он также использовал новый метод, расположив большие массы на одной линии с малыми массами коромысла, а затем изменил их расположение на 90°. В положениях с четырьмя выровненными сферами гравитационное притяжение сокращает период колебаний и удлиняет массы в скрещённых, более удалённых положениях. У него получилось значение ρ = 5,527 г/см³, как и у Бойза^[36].
• Метод Брауна также был использован в 1930 году Паулем Ренно Хейлом с различными материалами (золото, платина и стекло) и получил среднее значение плотности Земли ρ = 5,517 г/см³^[37]. Он повторил эксперимент в 1942 году вместе с Петером Хшановски, и получили значение ρ = 5,514 г/см³, проводя эксперимент с разными проволоками^[38]. Наконец, Габриэль Г. Лютер и Уильям Р. Таулер в 1982 г. использовали вольфрамовые сферы массой 10,5 кг и получили очень точное значение^[39][40].
• В 2008—2010 годах были опубликованы результаты ещё трёх экспериментов. Хотя авторы каждого из них заявляют о высокой точности полученного значения, их результаты различаются на величину больше заявленных экспериментальных погрешностей^[41].
• В 2021 году эксперимент был повторён на золотых шариках диаметром 2 мм и массой всего 90 мг. Сила, действующая между ними, не превышала 10⁻¹³ Н^[42].