Циркулянт

Циркулянт или циркулянтная матрица — это матрица вида

C={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\\a_{n}&a_{1}&\cdots &a_{n-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{2}&a_{3}&\cdots &a_{1}\\\end{pmatrix}},

где все $a_{i}$ — комплексные числа^[1]^[2]. Циркулянт можно также кратко описать как $C_{ij}=a_{j-i+1{\pmod {n}}},\ i,j=1,\ldots ,n$ ^[3]^[4]. Таким образом, циркулянт — это матрица, в которой любая следующая строка (столбец), начиная с первой (с первого) получается циклической алфавитной перестановкой элементов предыдущей строки (столбца). Любая циркулянтная матрица по определению является тёплицевой.

Также циркулянтом часто называют определитель такой матрицы^[5].

Пусть $A$ и $B$ — циркулянтные матрицы. Тогда выполняются следующие свойства^[6]^[7].

$AB=BA$ и $AB$ — циркулянт.
Матрицы ${\overline {A}}$ (поэлементно комплексно сопряжённая), $A^{\mathrm {T} }$ (транспонированная) и $A^{*}$ (эрмитово сопряжённая) — циркулянтные.
Матрица $A^{k}$ циркулянтная при $k\geqslant 0$ .
Если $A$ невырождена, то $A^{-1}$ циркулянтная.
Матрица $A$ — персимметричная и нормальная.

Обозначим $\zeta$ первообразный корень из единицы степени $n$ . Тогда имеет место следующая формула для определителя циркулянта $C$ :

\operatorname {det} C=\prod \limits _{k=0}^{n-1}(a_{1}+a_{2}\zeta ^{k}+\ldots +a_{n-1}\zeta ^{k(n-2)}+a_{n}\zeta ^{k(n-1)})

Доказательство

Обозначим $f(x)=a_{1}+a_{2}x+\ldots +a_{n}x^{n-1}$ и $\zeta _{k}=\zeta ^{k}$ . Умножим циркулянт справа на определитель Вандермонда вида $|\zeta _{j}^{i-1}|_{n\times n}$ :

{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\\a_{n}&a_{1}&\cdots &a_{n-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{2}&a_{3}&\cdots &a_{1}\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}1&1&\cdots &1\\\zeta _{1}&\zeta _{2}&\cdots &\zeta _{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\zeta _{1}^{n-1}&\zeta _{2}^{n-1}&\cdots &\zeta _{n}^{n-1}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}f(\zeta _{1})&f(\zeta _{2})&\cdots &f(\zeta _{n})\\\zeta _{1}f(\zeta _{1})&\zeta _{2}f(\zeta _{2})&\cdots &\zeta _{n}f(\zeta _{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\zeta _{1}^{n-1}f(\zeta _{1})&\zeta _{2}^{n-1}f(\zeta _{2})&\cdots &\zeta _{n}^{n-1}f(\zeta _{n})\end{vmatrix}}=

$=f(\zeta _{1})f(\zeta _{2})\ldots f(\zeta _{n})\cdot {\begin{vmatrix}1&1&\cdots &1\\\zeta _{1}&\zeta _{2}&\cdots &\zeta _{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\zeta _{1}^{n-1}&\zeta _{2}^{n-1}&\cdots &\zeta _{n}^{n-1}\end{vmatrix}}$

Далее сокращаем определитель Вандермонда как ненулевой.■

Иными словами, собственные числа циркулянта равны дискретному преобразованию Фурье вектора $\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)$ ^[5].

Примеры

Для $n=2$ определитель циркулянта равен:

\operatorname {det} {\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}\\a_{2}&a_{1}\end{pmatrix}}=(a_{1}-a_{2})(a_{1}+a_{2})=a_{1}^{2}-a_{2}^{2}

Для $n=3,\zeta ^{3}=1,\zeta \neq 1$ :

\operatorname {det} {\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\a_{3}&a_{1}&a_{2}\\a_{2}&a_{3}&a_{1}\end{pmatrix}}=(a_{1}+a_{2}+a_{3})(a_{1}+a_{2}\zeta +a_{3}\zeta ^{2})(a_{1}+a_{2}\zeta ^{2}+a_{3}\zeta )=a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+a_{3}^{3}-3a_{1}a_{2}a_{3}

Антициркулянт

Антициркулянт — это матрица аналогичного вида^[8]:

{\begin{pmatrix}a_{1}&-a_{n}&-a_{n-1}&\cdots &-a_{2}\\a_{2}&a_{1}&-a_{n}&\cdots &-a_{3}\\a_{3}&a_{2}&a_{1}&\cdots &-a_{4}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n}&a_{n-1}&a_{2}&\cdots &a_{1}\\\end{pmatrix}}.

Косоциркулянт

Матрица вида

\left({\begin{array}{ccccc}a_{1}&\varphi a_{n}&\varphi a_{n-1}&\cdots &\varphi a_{2}\\a_{2}&a_{1}&\varphi a_{n}&\cdots &\varphi a_{3}\\a_{3}&a_{2}&a_{1}&\cdots &\varphi a_{4}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &a_{1}\end{array}}\right)

называется $\varphi$ -косоциркулянтом порядка $n$ при $\varphi \neq 0$ ^[9].

Очевидно, что циркулянт является $(1)$ -косоциркулянтом, а антициркулянт — $(-1)$ -косоциркулянтом.

↑ Aldrovandi, 2001, p. 83.
↑ С. А. Давыдов, Ю. Д. Шкуратов, “Использование матриц-циркулянтов над $\mathbb{F}_2$ при построении эффективных линейных преобразований с высокими показателями рассеивания”, Матем. вопр. криптогр., 15:2 (2024), 29–46 (неопр.). www.mathnet.ru. Дата обращения: 21 мая 2026.
↑ Davis, 1979, p. 66.
↑ ЦИРКУЛЯНТЫ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ И СПОСОБЫ ИХ ФОРМИРОВАНИЯ (неопр.). КиберЛенинка. Дата обращения: 21 мая 2026.
↑ ¹ ² Aldrovandi, 2001, p. 84.
↑ Метод регуляризации сдвигом: Теория и приложения
↑ Bernstein, D. S. Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas (англ.). — 2nd ed.. — Princeton University Press, 2009. — P. 356. — ISBN 978-0-691-13287-7.
↑ Bini, Pan, 1994, p. 132.
↑ Воеводин, Тыртышников, 1987, с. 47.

Мальцев, А. И. Основы линейной алгебры (рус.). — М.: Наука, 1975. — 400 с.
Davis, P. J. Circulant Matrices (англ.). — John Wiley & Sons, 1979. — ISBN 0-471-05771-1.
Aldrovandi, R. Special matrices of mathematical physics: stochastic, circulant and Bell matrices (англ.). — World Scientific, 2001. — ISBN 9810247087.
Bini, D., Pan, V. Y. Polynomial and matrix computations (англ.). — Birkhäuser Boston, 1994. — ISBN 0-8176-3786-9.
Воеводин, В. В., Тыртышников, Е. Е. Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами (рус.). — М.: Наука, 1987. — 320 с.

Weisstein, Eric W. Circulant Matrix (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[_967f73c60ad72d5b-1] Aldrovandi, 2001, p. 83.

[2] С. А. Давыдов, Ю. Д. Шкуратов, “Использование матриц-циркулянтов над $\mathbb{F}_2$ при построении эффективных линейных преобразований с высокими показателями рассеивания”, Матем. вопр. криптогр., 15:2 (2024), 29–46 (неопр.). www.mathnet.ru. Дата обращения: 21 мая 2026.

[_2e3f5954a267ea7a-3] Davis, 1979, p. 66.

[4] ЦИРКУЛЯНТЫ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ И СПОСОБЫ ИХ ФОРМИРОВАНИЯ (неопр.). КиберЛенинка. Дата обращения: 21 мая 2026.

[_967f73c60ad72d5c-5] ¹ ² Aldrovandi, 2001, p. 84.

[6] Метод регуляризации сдвигом: Теория и приложения

[7] Bernstein, D. S. Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas (англ.). — 2nd ed.. — Princeton University Press, 2009. — P. 356. — ISBN 978-0-691-13287-7.

[_04dbdc2072ec29d1-8] Bini, Pan, 1994, p. 132.

[_8c6936b3282d4ccf-9] Воеводин, Тыртышников, 1987, с. 47.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

Циркулянт

Свойства

Определитель

Связанные определения

Антициркулянт

Косоциркулянт

Примечания

Литература

Ссылки

Категории