Персимметричная матрица

Персимметричная матрица — матрица, симметричная относительно побочной диагонали, то есть такая ${\displaystyle (n\times n)}$-матрица ${\displaystyle A}$, для которой ${\displaystyle a_{ij}=a_{n-j+1,n-i+1}}$ для любых ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$^[1].

Например, персимметричная матрица размерности 5×5 имеет вид:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{14}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{23}&a_{13}\\a_{41}&a_{42}&a_{32}&a_{22}&a_{12}\\a_{51}&a_{41}&a_{31}&a_{21}&a_{11}\end{bmatrix}}}$.

Может быть определена через понятие перъединичной матрицы ${\displaystyle J}$: матрица ${\displaystyle A}$ персимметрична, если ${\displaystyle AJ=JA^{\intercal }}$.

Любая линейная комбинация персимметричных матриц является персимметричной матрицей. Матрица, обратная к невырожденной персимметричной матрице, также является невырожденной персимметричной матрицей. Если ${\displaystyle B}$ — симметричная матрица, то ${\displaystyle BJ}$ и ${\displaystyle JB}$ — персимметричные матрицы (одна получается из другой транспонированием).

Симметричная персимметричная матрица называется бисимметричной.