Десятичный логарифм

Логарифмы были независимо открыты шотландским математиком Джоном Непером и швейцарским математиком Йостом Бюрги в начале XVII века. В 1614 году Непер напечатал сочинение «Описание удивительной таблицы логарифмов», где дал таблицы логарифмов, но способ вычисления не указал. После смерти учёного вышло сочинение «Устройство удивительной таблицы логарифмов» (1619), которое издал его сын Роберт Непер. Бюрги опубликовал книгу в 1620 году под названием «Арифметические и геометрические таблицы прогрессий»^[1].

Генри Бригс (1556—1630) —английский математик, профессор геометрии в Оксфорде и Лондоне, сыграл ключевую роль в практическом внедрении логарифмов и создании первых таблиц десятичных логарифмов Он дважды посещал Непера (в 1615 и 1616 гг.) с целью усовершенствовать систему логарифмов и сделать её более удобной для вычислений, в частности, приспособить к десятичной системе счисления^[2][3]. Десятичные логарифмы были изобретением Непера, но в 1617 и 1624 гг. именно Бриггс опубликовал первые таблицы десятичных логарифмов^[4][5].

Работа над совершенствованием логарифмических таблиц велась многими математиками на протяжении более двух столетий. После публикации первых таблиц Бригсом (1617, 1624), голландский книготорговец Андриан Флакк (1600—1667) издал расширенные таблицы от 1 до 100 000 с тригонометрическими функциями. Эдмунд Гунтер (1581—1626) вычислил таблицы синусов и тангенсов. Значительный вклад внёс Георг Вега (1754—1802), чьи таблицы, впервые напечатанные в Вене в 1783 году, многократно переиздавались. Окончательную обработку и исправление таблиц выполнил немецкий математик К. Бремикер (1804—1877) в Берлине в 1857 году. Таким образом, создание точных логарифмических таблиц было результатом коллективных усилий поколений математиков^[6].

Впервые в России таблицы десятичных логарифмов, в основу которых были положены таблицы Влакка, были изданы в 1703 году под названием «Таблицы логарифмов и синусов, тангенсов и секансов тщанием и засвидетельствованием математических и навигацких учителей Андрея Фархвардсона, Стефана Гвина и Леонтия Магницкого»^[7]. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов^[8]:

1. Брадис В. М. Четырёхзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Таблицы Брадиса, издаваемые с 1921 года, использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.
2. Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Профессиональный сборник для точных вычислений.

В нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительны^[9]:

	Формула	Пример
Произведение	${\displaystyle \lg(xy)=\lg(x)+\lg(y)}$	${\displaystyle \lg(10000)=\lg(100\cdot 100)=\lg(100)+\lg(100)=2+2=4}$
Частное от деления	${\displaystyle \lg \!\left({\frac {x}{y}}\right)=\lg(x)-\lg(y)}$	${\displaystyle \lg \left({\frac {1}{1000}}\right)=\lg(1)-\lg(1000)=0-3=-3}$
Степень	${\displaystyle \lg(x^{p})=p\lg(x)}$	${\displaystyle \lg(10000000)=\lg(10^{7})=7\lg(10)=7}$
Корень	${\displaystyle \lg {\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\lg(x)}{p}}}$	${\displaystyle \lg {\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\lg 1000={\frac {3}{2}}=1{,}5}$

Аналогичные тождества справедливы для модулей чисел, что позволяет использовать свойства логарифмов, когда под знаком логарифма могут стоять отрицательные выражения:

${\displaystyle \lg |xy|=\lg(|x|)+\lg(|y|),}$

${\displaystyle \lg \!\left|{\frac {x}{y}}\right|=\lg(|x|)-\lg(|y|).}$

Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:

${\displaystyle \lg(x_{1}x_{2}\dots x_{n})=\lg(x_{1})+\lg(x_{2})+\dots +\lg(x_{n})}$

Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов (до изобретения калькуляторов) существенно облегчало вычисления. Например, умножение многозначных чисел ${\displaystyle x,y}$ с помощью логарифмических таблиц производилось по следующему алгоритму:

1. Найти в таблицах логарифмы чисел ${\displaystyle x,y}$.
2. Сложить эти логарифмы, получая (согласно первому свойству) логарифм произведения ${\displaystyle x\cdot y}$.
3. По логарифму произведения найти в таблицах само произведение.

Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично производились возведение в степень и извлечение корня.

Связь десятичного и натурального логарифмов:

${\displaystyle \ln x\approx 2{,}30259\ \lg x;\quad \lg x\approx 0{,}43429\ \ln x}$

Знак логарифма зависит от логарифмируемого числа: если оно больше 1, логарифм положителен, если оно между 0 и 1, то отрицателен. Пример:

${\displaystyle \lg \,0{,}012=\lg \,(10^{-2}\times 1{,}2)=-2+\lg \,1{,}2\approx -2+0{,}079181=-1{,}920819}$

Чтобы унифицировать действия с положительными и отрицательными логарифмами, у последних целая часть (характеристика) надчёркивалась сверху:

${\displaystyle \lg \,0{,}012\approx -2+0{,}079181={\bar {2}}{,}079181}$

Мантисса логарифма, выбираемая из таблиц, при таком подходе всегда неотрицательна.

Для вычисления десятичных логарифмов используются различные численные методы. Одним из основных является разложение в ряд Тейлора (ряд Маклорена) для функции натурального логарифма с последующим переходом к десятичному логарифму^[10].

Ряд для натурального логарифма имеет вид:

${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\dots }$, где ${\displaystyle |x|\leqslant 1,x\neq -1}$^[11].

Для ускорения сходимости ряда применяют более эффективные разложения:

${\displaystyle \ln {\frac {1+x}{1-x}}=2\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+\dots \right)}$, где ${\displaystyle |x|<1}$.

После вычисления натурального логарифма переходят к десятичному по формуле:

${\displaystyle \lg x={\frac {\ln x}{\ln 10}}\approx 0{,}43429448\cdot \ln x}$.

Современные алгоритмы в компьютерах используют комбинацию методов: аргументное приведение (сведение к диапазону ${\displaystyle [1,2]}$), полиномиальную аппроксимацию и таблицы предвычисленных значений для повышения точности и быстродействия ^[12].

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим функцию десятичного логарифма: ${\displaystyle y=\lg \,x.}$ Она определена при всех ${\displaystyle x>0.}$ Область значений: ${\displaystyle E(y)=(-\infty ;+\infty )}$. График этой кривой часто называется логарифмикой^[13].

Функция монотонно возрастает, непрерывна и дифференцируема всюду, где она определена. Производная для неё даётся формулой:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\lg \,x={\frac {\lg \,e}{x}}}$

Ось ординат ${\displaystyle (x=0)}$ является вертикальной асимптотой, поскольку:

${\displaystyle \lim _{x\to 0+0}\lg \,x=-\infty }$

Десятичные логарифмы находят широкое применение в различных областях науки и техники^[14]:

Акустика и электротехника. Уровень звукового давления измеряется в децибелах (дБ) по формуле: ${\displaystyle L=10\lg {\frac {P}{P_{0}}}}$, где ${\displaystyle P}$ — измеряемая мощность, ${\displaystyle P_{0}}$ — пороговая мощность^[15]. Децибел позволяет удобно представлять огромные диапазоны интенсивности звука.

Химия. Водородный показатель pH определяется как отрицательный десятичный логарифм концентрации ионов водорода: ${\displaystyle {\text{pH}}=-\lg[{\text{H}}^{+}]}$^[16]. Шкала pH обычно лежит в пределах от 0 до 14, где pH = 7 соответствует нейтральной среде^[17].

Сейсмология. Магнитуда землетрясения по шкале Рихтера вычисляется как десятичный логарифм амплитуды сейсмических волн. Увеличение магнитуды на 1 означает десятикратное увеличение амплитуды колебаний^[18].

Астрономия. Звёздные величины (блеск звёзд) измеряются по логарифмической шкале: разница в 5 звёздных величин соответствует изменению яркости ровно в 100 раз^[19].

Логарифмические шкалы. Десятичные логарифмы используются для построения логарифмических шкал на графиках, что позволяет наглядно представлять данные, изменяющиеся в широких пределах^[20].

Научная (экспоненциальная) нотация. Любое число можно представить в виде ${\displaystyle a\times 10^{n}}$, где ${\displaystyle 1\leqslant a<10}$, а ${\displaystyle n}$ — целое число. Десятичный логарифм такого числа равен ${\displaystyle \lg(a\times 10^{n})=\lg a+n}$, где ${\displaystyle n}$ — характеристика, а ${\displaystyle \lg a}$ — мантисса^[21].

Сравнение с другими логарифмами. Кроме десятичного логарифма (${\displaystyle \lg x}$), широко используются:

• Натуральный логарифм (${\displaystyle \ln x}$ или ${\displaystyle \log _{e}x}$) с основанием ${\displaystyle e\approx 2{,}71828}$
• Двоичный логарифм (${\displaystyle \log _{2}x}$ или ${\displaystyle \operatorname {lb} x}$) с основанием 2

Связь между ними выражается формулами перехода:

${\displaystyle \lg x={\frac {\ln x}{\ln 10}}\approx 0{,}43429\ln x}$

${\displaystyle \ln x={\frac {\lg x}{\lg e}}\approx 2{,}30259\lg x}$.

Единицы измерения информации. Формула Хартли для измерения количества информации использует логарифм: ${\displaystyle I=\log _{a}N}$, где ${\displaystyle N}$ — количество равновероятных исходов, ${\displaystyle I}$ — количество информации^[22]. При измерении в битах используется двоичный логарифм (${\displaystyle a=2}$), при измерении в хартли (декадах) — десятичный логарифм (${\displaystyle a=10}$). Одна декада (хартли) соответствует количеству информации, необходимому для выбора одного из десяти равновероятных событий.

Таблица характерных значений десятичных логарифмов:

Число	Логарифм	Приближённое значение
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \lg 1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \lg 2}$	${\displaystyle 0{,}30103}$
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle \lg 3}$	${\displaystyle 0{,}47712}$
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle \lg 4}$	${\displaystyle 0{,}60206}$
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle \lg 5}$	${\displaystyle 0{,}69897}$
${\displaystyle 6}$	${\displaystyle \lg 6}$	${\displaystyle 0{,}77815}$
${\displaystyle 7}$	${\displaystyle \lg 7}$	${\displaystyle 0{,}84510}$
${\displaystyle 8}$	${\displaystyle \lg 8}$	${\displaystyle 0{,}90309}$
${\displaystyle 9}$	${\displaystyle \lg 9}$	${\displaystyle 0{,}95424}$
${\displaystyle 10}$	${\displaystyle \lg 10}$	${\displaystyle 1}$

Примеры вычислений с использованием свойств логарифмов:

1. Умножение с помощью логарифмов:

  Найти произведение ${\displaystyle 37{,}5\times 24{,}8}$.
  
  Решение:
  * ${\displaystyle \lg 37{,}5\approx 1{,}57403}$
  * ${\displaystyle \lg 24{,}8\approx 1{,}39445}$
  * ${\displaystyle \lg(37{,}5\times 24{,}8)=1{,}57403+1{,}39445=2{,}96848}$
  * По таблицам антилогарифмов: ${\displaystyle 37{,}5\times 24{,}8\approx 930}$[23].

2. Возведение в степень:

  Вычислить ${\displaystyle 1{,}05^{10}}$.
  
  Решение:
  * ${\displaystyle \lg 1{,}05\approx 0{,}02119}$
  * ${\displaystyle \lg(1{,}05^{10})=10\cdot 0{,}02119=0{,}2119}$
  * ${\displaystyle 1{,}05^{10}\approx 1{,}629}$[24].

Интерполяция в логарифмических таблицах. Если нужное число отсутствует в таблице, применяют линейную интерполяцию. Например, для нахождения ${\displaystyle \lg 2{,}3456}$ по четырёхзначным таблицам:

• ${\displaystyle \lg 2{,}345\approx 0{,}37014}$
• ${\displaystyle \lg 2{,}346\approx 0{,}37033}$
• Разница: ${\displaystyle 0{,}00019}$
• ${\displaystyle \lg 2{,}3456\approx 0{,}37014+0{,}6\times 0{,}00019\approx 0{,}37025}$^[25].

Интеграл от логарифмической функции. Неопределённый интеграл от десятичного логарифма вычисляется по формуле:

${\displaystyle \int \lg x\,dx={\frac {x\ln x-x}{\ln 10}}+C=x(\lg x-\lg e)+C}$.

Определённый интеграл:

${\displaystyle \int _{a}^{b}\lg x\,dx=\left[{\frac {x\ln x-x}{\ln 10}}\right]_{a}^{b}}$, где ${\displaystyle 0<a<b}$.

Пределы и неопределённости. При вычислении пределов часто возникают неопределённости с участием логарифмов:

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\lg x=0}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {\lg x}{x}}=0}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {\lg x}{x-1}}=\lg e\approx 0{,}43429}$^[26].

Для раскрытия неопределённостей вида ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$ и ${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}$ применяют правило Лопиталя.

Логарифмирование комплексных чисел. Комплексный логарифм является многозначной функцией. Для комплексного числа ${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$ десятичный логарифм определяется через натуральный:

${\displaystyle \operatorname {Ln} z={\frac {\ln |z|+i(\arg z+2\pi k)}{\ln 10}}}$, где ${\displaystyle k=0,\pm 1,\pm 2,\dots }$^[27].

Главное значение комплексного логарифма (при ${\displaystyle k=0}$):

${\displaystyle \lg z={\frac {\ln |z|+i\arg z}{\ln 10}}}$, где ${\displaystyle -\pi <\arg z\leqslant \pi }$^[28].

Производные высших порядков:

${\displaystyle (\lg x)^{(n)}=(-1)^{n-1}{\frac {(n-1)!\lg e}{x^{n}}}}$, где ${\displaystyle n\geqslant 1}$^[29].

⚠️Подсказка ОГЭ/ЕГЭ

В школьных экзаменах (особенно в профильном ЕГЭ) десятичный логарифм встречается регулярно: в текстовых задачах с физическим смыслом, в уравнениях и неравенствах.

Вот 5 главных фактов, которые нужно помнить:

• Что это такое? Значок ${\displaystyle \lg x}$ — это просто сокращённая запись логарифма по основанию 10. То есть ${\displaystyle \lg x=\log _{10}x}$. Букву «o» и десятку просто опускают для краткости.
• Как быстро считать? Чтобы вычислить ${\displaystyle \lg x}$, нужно ответить на вопрос: «В какую степень нужно возвести 10, чтобы получить это число?»
  • ${\displaystyle \lg 100=2}$ (так как ${\displaystyle 10^{2}=100}$)
  • ${\displaystyle \lg 1000=3}$ (так как ${\displaystyle 10^{3}=1000}$)
  • ${\displaystyle \lg 1=0}$ (так как ${\displaystyle 10^{0}=1}$)
  • ${\displaystyle \lg 0{,}1=-1}$ (так как ${\displaystyle 10^{-1}=0{,}1}$)
• Свойства. Для ${\displaystyle \lg x}$ работают все стандартные формулы логарифмов:
  • Сумма: ${\displaystyle \lg(x\cdot y)=\lg x+\lg y}$
  • Разность: ${\displaystyle \lg \left({\frac {x}{y}}\right)=\lg x-\lg y}$
  • Степень: ${\displaystyle \lg(x^{p})=p\cdot \lg x}$
• Не забываем про ОДЗ! Как и у любого логарифма, выражение под знаком ${\displaystyle \lg }$ должно быть строго положительным. То есть для ${\displaystyle \lg(x)}$ обязательно условие: ${\displaystyle x>0}$. Это критически важно при решении неравенств (задание второй части).
• Решение неравенств. Так как основание десятичного логарифма (10) больше единицы, функция возрастает. Это значит, что при «отбрасывании» логарифмов в неравенствах знак неравенства не меняется.

Пример: если ${\displaystyle \lg x<2}$, то ${\displaystyle \lg x<\lg 100}$, откуда ${\displaystyle x<100}$ (и с учётом ОДЗ правильный ответ: ${\displaystyle 0<x<100}$).

Лайфхак для первой части: Если ${\displaystyle \lg }$ встретился вам в текстовой физической задаче (например, на вычисление уровня шума), не пугайтесь! Просто подставьте известные числа в формулу — обычно там всё сокращается до ${\displaystyle \lg 10}$ или ${\displaystyle \lg 100}$ и решается в одно действие.

Логарифмы по основанию 10 до изобретения в 1970-е годы компактных электронных калькуляторов широко применялись для вычислений. Как и любые другие логарифмы, они позволяли многократно упростить и облегчить трудоёмкие расчёты, заменяя умножение на сложение, а деление на вычитание; аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня. Но десятичные логарифмы обладали преимуществом перед логарифмами с иным основанием: целую часть логарифма числа ${\displaystyle x}$ (характеристику логарифма) ${\displaystyle [\lg x]}$ легко определить.

• Если ${\displaystyle x\geqslant 1}$, то ${\displaystyle [\lg x]}$ на 1 меньше числа цифр в целой части числа ${\displaystyle x}$. Например, сразу очевидно, что ${\displaystyle \lg 345}$ находится в промежутке ${\displaystyle (2,3)}$.
• Если ${\displaystyle 0<x<1}$, то ближайшее к ${\displaystyle \lg x}$ целое в меньшую сторону равно общему числу нулей в ${\displaystyle x}$ перед первой ненулевой цифрой (включая ноль перед запятой), взятому со знаком минус. Например, ${\displaystyle \lg 0{,}0014}$ находится в интервале ${\displaystyle (-3,-2)}$.

Кроме того, при умножении числа на ${\displaystyle 10^{n}}$ его десятичный логарифм увеличивается на ${\displaystyle n}$, а при делении на ${\displaystyle 10^{n}}$ — уменьшается на ${\displaystyle n.}$ Например:

${\displaystyle \lg 8314{,}63=\lg 8{,}31463+3}$

Отсюда следует, что для вычисления десятичных логарифмов достаточно составить таблицу логарифмов для чисел в диапазоне от ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle 10}$^[30]. Такие таблицы, начиная с XVII века, выпускались большим тиражом и служили незаменимым расчётным инструментом учёных и инженеров.

Поскольку применение логарифмов для расчётов с появлением вычислительной техники почти прекратилось, в наши дни десятичный логарифм в значительной степени вытеснен натуральным^[31]. Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении логарифмических шкал.

Обратите внимание, что у всех приведённых в таблице чисел ${\displaystyle n}$ одна и та же мантисса ${\displaystyle M}$, поскольку:

${\displaystyle \lg(n)=\lg \left(x\times 10^{C}\right)=\lg(x)+\lg \left(10^{C}\right)=\lg(x)+C}$,

где ${\displaystyle 1\leqslant x<10}$ — значащая часть числа ${\displaystyle n}$.

Десятичные логарифмы сохранили своё значение в тех областях науки и техники, где исторически утвердились логарифмические шкалы. Такие шкалы особенно удобны тогда, когда рассматриваемые величины меняются в очень широких пределах — в десятки, тысячи, миллионы и миллиарды раз. В этих случаях логарифмирование позволяет заменить сравнение огромных отношений более компактными числовыми разностями. Иными словами, умножение масштаба в несколько раз превращается в прибавление сравнительно небольшого числа.

Это особенно важно в следующих областях.

• Акустика и электротехника.

В акустике, радиотехнике и теории сигналов уровни мощности и амплитуды традиционно измеряются в децибелах. Для отношения мощностей используется формула

${\displaystyle L=10\lg {\frac {P}{P_{0}}},}$

где ${\displaystyle P}$ — измеряемая мощность, а ${\displaystyle P_{0}}$ — опорная мощность. Если сравниваются не мощности, а амплитуды (например, напряжение, ток, звуковое давление), то при одинаковых условиях часто применяется формула

${\displaystyle L=20\lg {\frac {A}{A_{0}}}.}$

Логарифмическая шкала здесь удобна потому, что слух человека воспринимает изменение громкости не линейно, а примерно по логарифмическому закону, а сами физические интенсивности звука могут отличаться в колоссальное число раз. Например, увеличение мощности сигнала в 10 раз соответствует увеличению уровня всего на 10 дБ, а увеличение в 100 раз — на 20 дБ. Благодаря этому очень большие диапазоны значений можно записывать компактно и удобно сравнивать между собой.

• Химия.

В химии и биохимии десятичный логарифм используется в определении pH:

${\displaystyle \mathrm {pH} =-\lg[\mathrm {H} ^{+}],}$

где ${\displaystyle [\mathrm {H} ^{+}]}$ — концентрация (в более строгой записи — активность) ионов водорода. Логарифмическая форма здесь особенно полезна, потому что концентрация ионов водорода в растворах может изменяться в огромных пределах. Например:

• если ${\displaystyle [\mathrm {H} ^{+}]=10^{-7}}$, то ${\displaystyle \mathrm {pH} =7}$;
• если ${\displaystyle [\mathrm {H} ^{+}]=10^{-3}}$, то ${\displaystyle \mathrm {pH} =3}$;
• если ${\displaystyle [\mathrm {H} ^{+}]=10^{-10}}$, то ${\displaystyle \mathrm {pH} =10}$.

Таким образом, изменение pH на 1 означает изменение концентрации ионов водорода ровно в 10 раз. Это делает шкалу pH чрезвычайно удобной для лабораторной практики, медицины, экологии, почвоведения и пищевой химии.

• Сейсмология.

В сейсмологии логарифмический принцип используется при определении магнитуды землетрясения, в том числе в классической шкале Рихтера. Магнитуда связана с десятичным логарифмом амплитуды зарегистрированных сейсмических колебаний:

${\displaystyle M=\lg {\frac {A}{A_{0}}},}$

где ${\displaystyle A}$ — измеренная амплитуда, а ${\displaystyle A_{0}}$ — опорная величина, зависящая от условий измерения.

Логарифмическая запись необходима потому, что амплитуды сейсмических волн и энергии землетрясений могут различаться в огромных пределах. Увеличение магнитуды на 1 означает увеличение амплитуды колебаний примерно в 10 раз. При этом выделяемая энергия возрастает ещё быстрее — приблизительно в 31,6 раза. Поэтому логарифмическая шкала позволяет компактно описывать как слабые, так и чрезвычайно сильные землетрясения в единой системе.

Во всех этих случаях использование десятичного логарифма объясняется не только исторической традицией, сложившейся ещё в эпоху логарифмических таблиц и инженерных расчётов, но и практическими преимуществами. Логарифмические шкалы:

• сжимают огромные диапазоны значений;
• переводят отношения величин в разности;
• упрощают сравнение результатов измерений;
• делают числовые оценки более наглядными для человека.

Именно поэтому, несмотря на исчезновение логарифмических таблиц из повседневной вычислительной практики, десятичные логарифмы по-прежнему широко используются в прикладных науках.