Фаска (геометрия)

В разделах ниже описаны детально пять правильных многогранников с фаской. Каждый показан в версии с рёбрами одинаковой длины и в канонической версии, в которой все рёбра касаются одной и той же полувписанной сферы. (Они выглядят заметно по-другому для тел, содержащих треугольные грани.) Показанные двойственные многогранники являются двойственными для канонических версий.

Исходный	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}
С фаской

Тетраэдр с фаской
(с равными длинами рёбер)
Нотация Конвея	cT
Многогранник Голдберга	GPIII(2,0) = {3+,3}2,0
Граней	4 треугольника 6 шестиугольников
Рёбер	24 (2 типа)
Вершин	16 (2 типа)
Конфигурация вершины	(12) 3.6.6 (4) 6.6.6
Группы симметрии	Тетраэдральная (Td)
Двойственный многогранник	альтернированный триакисоктаэдр
Свойства	выпуклый, грани равносторонние
развёртка

Тетраэдр с фаской (или альтернировнный усечённый куб) — это выпуклый многогранник, построенный как альтернированно усечённый куб или как операция фаски на тетраэдре, заменяющая его 6 рёбер шестиугольниками.

Многогранник является многогранником Голдберга G_III(2,0), содержащим треугольные и шестиугольные грани.

Фаски тетраэдра и связанные тела

тетраэдр с фаской (канонический)	двойственный для тетратетраэдра (октаэдра)	тетраэдр с фаской (канонический)
альтернированный триакисоктаэдр	октаэдр	альтернированный триакисоктаэдр

Куб с фаской
(с равными длинами сторон)
Нотация Конвея	cC = t4daC
Многогранник Голдберга	GPIV(2,0) = {4+,3}2,0
Вершин	6 квадратов 12 шестиугольников
Рёбер	48 (2 типа)
Вершин	32 (2 типа)
Конфигурация вершины	(24) 4.6.6 (8) 6.6.6
Симметрия	Октаэдральная симметрия, [4,3], (*432) Th, [4,3+], (3*2)
Двойственный многогранник	Тетракискубооктаэдр
Свойства	выпуклый, зоноэдр, грани равносторонние
развёртка

Куб с фаской — это выпуклый многогранник с 32 вершинами, 48 рёбрами и 18 гранями — 12 шестиугольников и 8 квадратов. Многогранник строится как снятие фаски у куба. Квадраты уменьшаются в размерах и новые шестиугольные грани добавляются вместо всех исходных рёбер. Его двойственным является тетракискубооктаэдр.

Многогранник не совсем точно называется усечённым ромбододекаэдром, хотя это имя и предполагает ромбокубооктаэдр. Более правильно называть его четыреусечённым ромбододекаэдром, поскольку усекаются только вершины порядка 4.

Шестиугольные грани являются равносторонними, но не являются правильными. Они образуются усечёнными ромбами, имеют 2 внутренних угла около 109.47° (=${\displaystyle \cos ^{-1}(-{\frac {1}{3}})}$) и 4 внутренних угла 125.26°, в то время как у правильного шестиугольника все углы равны 120°.

Поскольку все грани многогранника имеют чётное число сторон с симметрией вращения 180°, многогранник является зоноэдром. Он является также многогранником Голдберга GP_IV(2,0) или {4+,3}_2,0, содержащим квадратные и шестиугольные грани.

Куб с фаской — это сумма Минковского ромбододекаэдра и куба с длиной стороны 1, когда восемь вершин ромбододекаэдра лежат в точках ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\pm 1)}$, а шесть вершин являются перестановками ${\displaystyle (\pm 2,0,0)}$.

Усечённый октаэдр выглядит похожим образом, но его шестиугольники соответствуют 8 вершинам куба, а не его 12 рёбрам.

Куб с фаской и связанные тела

Куб с фаской (канонический)	ромбододекаэдр	Октаэдр с фаской
Тетракискубооктаэдр	кубооктаэдр	триакискубооктаэдр

Октаэдр с фаской
(с равными длинами сторон)
Нотация Конвея	cO = t3daO
Граней	8 треугольников 12 шестиугольников
Рёбер	48 (2 типа)
Вершин	30 (2 типа)
Конфигурация вершины	(24) 3.6.6 (6) 6.6.6
Симметрия	Октаэдральная симметрия, [4,3], (*432)
Двойственный многогранник	Триакискубооктаэдр
Свойства	выпуклое

В геометрии октаэдр с фаской — это выпуклый многогранник, построенный из ромбододекаэдра путём усечения 8 вершин (порядка 3).

Многогранник можно назвать усечённым ромбододекаэдром, усечением порядка 3 вершин ромбододекаэдра.

8 вершин усекаются так, что все рёбра получают равную длину. Исходные 12 ромбических граней становятся плоскими шестиугольниками, а усечённые вершины превращаются в треугольники.

Шестиугольные грани имеют равные стороны, но грани правильными не являются.

Додекаэдр с фаской
(с равными длинами сторон)
Нотация Конвея tation	cD = t5daD = dk5aD
Многогранник Голдберга	GV(2,0) = {5+,3}2,0
Фуллерен	C80[1]
Вершин	12 пятиугольников 30 шестиугольников
Рёбер	120 (2 типа)
Вершин	80 (2 типа)
Конфигурация вершины	(60) 5.6.6 (20) 6.6.6
Группы симметрии	Икосаэдральная (Ih)
Двойственный многогранник	пентакисикосидодекаэдр
Свойства	выпуклый, грани равносторонние

Додекаэдр с фаской — это выпуклый многогранник с 80 вершинами, 120 рёбрами и 42 гранями — 30 шестиугольников и 12 пятиугольников. Многогранник строится путём снятия фаски у правильного додекаэдра. Пятиугольники уменьшаются в размерах и добавляются новые шестиугольные грани на месте всех исходных рёбер. Многогранник двойственен пентакисикосидодекаэдру.

Многогранник не вполне правильно называется усечённым ромботриаконтаэдром. Правильнее было бы называть пятиусечённым ромботриаконтаэдром, поскольку усекаются только вершины порядка 5.

Додекаэдр с фаской и связанные тела

додекаэдр с фаской (канонический)	ромботриаконтаэдр	икосододекаэдр с фаской (канонический)
пентакисикосидодекаэдр	икосододекаэдр	триакис икосододекаэдр

Икосододекаэдр с фаской
( с равными длинами сторон)
Нотация Конвея	cI = t3daI
Граней	20 треугольников 30 шестиугольников
Рёбер	120 (2 типа)
Вершин	72 (2 типа)
Конфигурация вершины	(24) 3.6.6 (12) 6.6.6
Симметрия	Ih, [5,3], (*532)
Двойственный многогранник	триакис икосододекаэдр
Свойства	выпуклый

В геометрии икосаэдр с фаской — это выпуклый многогранник, построенный из ромботриаконтаэдра путём усечения 20 вершин порядка 3. Шестиугольные грани можно сделать равносторонними, но они не будут правильными.

Многогранник можно также назвать усечённым ромботриаконтаэдром, усечением вершин ромботриаконтаэдра порядка 3.

Операция снятия фаски, применённая кратно, создаёт многогранник с возрастающим числом граней, в которых рёбра предыдущего многогранника заменяются шестиугольниками. Операция снятия фаски преобразует GP(m,n) в GP(2m,2n).

Правильный многогранник GP(1,0) создаёт последовательность многогранников Голдберга GP(1,0), GP(2,0), GP(4,0), GP(8,0), GP(16,0)...

	GP(1,0)	GP(2,0)	GP(4,0)	GP(8,0)	GP(16,0)...
GPIV {4+,3}	C	Куб с фаской	ccC	cccC
GPV {5+,3}	D	Додекаэдр с фаской	ccD	cccD	ccccD
GPVI {6+,3}	H	cH	ccH	cccH	ccccH

Усечённый октаэдр или усечённый икосаэдр, GP(1,1) создаёт последовательность Голдберга GP(1,1), GP(2,2), GP(4,4), GP(8,8)....

	GP(1,1)	GP(2,2)	GP(4,4)...
GPIV {4+,3}	tO	ctO	cctO
GPV {5+,3}	tI	ctI	cctI
GPVI {6+,3}	Усечённая шестиугольная мозаика	ctH	cctH

Усечённый Тетракисгексаэдр или пентакисдодекаэдр, GP(3,0), создаёт последовательность Голдберга GP(3,0), GP(6,0), GP(12,0)...

	GP(3,0)	GP(6,0)	GP(12,0)...
GPIV {4+,3}	tkC	ctkC	cctkC
GPV {5+,3}	Усечённый пентакисдодекаэдр	ctkD	cctkD
GPVI {6+,3}	tkH	ctkH	cctkH

Подобно операции расширения, операция фаски может быть применена в любой размерности. Для многогранников в 3-мерном пространстве операция утраивает число вершин. В более высоких размерностях создаются новые ячейки вокруг каждого ребра, при этом ячейки являются призмами, содержащими две копии исходной грани с пирамидами, добавленными к сторонам призмы.