Уравнение Толмена — Оппенгеймера — Волкова

Уравнение Толмена — Оппенгеймера — Волкова имеет вид:^[1][2][3]

${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}\rho \left(1+{\frac {P}{\rho c^{2}}}\right)\left(1+{\frac {4\pi r^{3}P}{mc^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2Gm}{rc^{2}}}\right)^{-1}.}$

Здесь ${\displaystyle r}$ — радиальная координата, отсчитываемая от центра объекта; ${\displaystyle \rho (r)}$ и ${\displaystyle P(r)}$ — соответственно плотность и давление вещества в точках с радиальной координатой ${\displaystyle r}$ (то есть на сфере радиуса ${\displaystyle r}$, центр которой совпадает с центром объекта); ${\displaystyle m(r)}$ — функция массы, равная эффективной гравитационной массе вещества, заключённого внутри сферы радиусом ${\displaystyle r}$; ${\displaystyle G}$ — гравитационная постоянная; ${\displaystyle c}$ — скорость света в вакууме.

Уравнение выводится путём решения уравнений Эйнштейна при условии статической сферически-симметричной метрике пространства-времени. Решение, удовлетворяющее этому условию, приводит к уравнению Толмена — Оппенгеймера — Волкова, а также накладывает ограничение на метрику, которая принимает вид:^[1]

${\displaystyle ds^{2}=e^{\nu (r)}c^{2}\,dt^{2}-\left[1-{\frac {2Gm(r)}{rc^{2}}}\right]^{-1}dr^{2}-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right),}$

где ${\displaystyle \nu (r)}$ — функция радиальной координаты ${\displaystyle r}$, удовлетворяющая условию^[1]

${\displaystyle {\frac {d\nu }{dr}}=-\left({\frac {2}{P+\rho c^{2}}}\right){\frac {dP}{dr}}.}$

Решение уравнения Толмена — Оппенгеймера — Волкова с учётом конкретного уравнения состояния ${\displaystyle F(\rho ,P)=0}$, связывающего плотность и давление вещества, полностью определяет структуру сферически-симметричного объекта, находящегося в равновесии. Если пренебречь членами порядка ${\displaystyle 1/c^{2}}$, то уравнение Толмена — Оппенгеймера — Волкова превращается в обычное, нерелятивистское уравнение гидростатического равновесия, описывающее равновесную структуру сферически-симметричного объекта в случае, когда эффекты общей теории относительности несущественны (т. е. гравитация описывается законом всемирного тяготения Ньютона).

Если уравнение Толмена — Оппенгеймера — Волкова используется для моделирования ограниченного в пространстве шарообразного объекта (массой ${\displaystyle M}$ и радиусом ${\displaystyle R}$), окружённого вакуумом, то на границе объекта, т. е. при ${\displaystyle r=R}$, следует задать два граничных условия:

• условие нулевого давления ${\displaystyle P(R)=0}$;
• условие ${\displaystyle e^{\nu (R)}=1-2Gm/c^{2}R}$, необходимое для того, чтобы метрика пространства-времени на границе объекта была непрерывной и вне объекта переходила в метрику Шварцшильда, которая является единственным статическим сферически-симметричным решением уравнений Эйнштейна в вакууме:

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}\,dr^{2}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}).}$

Функция массы ${\displaystyle m(r)}$ – это эффективная гравитационная масса вещества, заключенного внутри сферы радиусом ${\displaystyle r}$, измеряемая по гравитационному полю, ощущаемому удалённым наблюдателем. Она удовлетворяет условию ${\displaystyle m(0)=0}$^[1] и уравнению:

${\displaystyle {\frac {dm}{dr}}=4\pi r^{2}\rho .}$

Если граница объекта находится при ${\displaystyle r=R}$, то непрерывность метрики пространства-времени и определение ${\displaystyle m(r)}$ требуют выполнения равенства:

${\displaystyle M=m(R)=\int \limits _{0}^{R}4\pi r^{2}\rho \,dr.}$

Здесь ${\displaystyle M}$ — это полная масса объекта, также измеренная по гравитационному полю, ощущаемому удалённым наблюдателем^[4]. С другой стороны, вычисление массы путём интегрирования плотности объекта по его объёму даст бо́льшее значение:

${\displaystyle M_{1}=\int \limits _{0}^{R}{\frac {4\pi r^{2}\rho }{\sqrt {1-{\frac {2Gm}{rc^{2}}}}}}\,dr.}$

Разница между этими двумя величинами, равная

${\displaystyle \delta M=\int \limits _{0}^{R}4\pi r^{2}\rho \left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {2Gm}{rc^{2}}}}}}\right)\,dr,}$

представляет собой гравитационную энергию связи объекта, делённую на ${\displaystyle c^{2}}$. Эта величина всегда отрицательна.

В случае статического сферически-симметричного распределения идеальной жидкости пространство-время описывается следующей метрикой:^[5][6]

${\displaystyle c^{2}\,d\tau ^{2}=g_{\alpha \beta }\,dx^{\alpha }\,dx^{\beta }=e^{\nu (r)}c^{2}\,dt^{2}-e^{\lambda (r)}\,dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}{\theta }\,d\varphi ^{2},}$

где ${\displaystyle \nu (r)}$ и ${\displaystyle \lambda (r)}$ — некоторые функции радиальной координаты ${\displaystyle r}$; коэффициенты ${\displaystyle e^{\nu (r)}}$ и ${\displaystyle e^{\lambda (r)}}$ описывают соответственно изменение темпа течения времени и отклонение геометрии трёхмерного пространства от евклидовой (эти коэффициенты определяются распределением вещества)^[7]; ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ — индексы, пробегающие значения от 0 до 3, по дважды повторяющимся индексам подразумевается суммирование.

В предположении идеальной жидкости тензор энергии-импульса диагонален (в сферической системе координат с началом координат в центре объекта) с собственными значениями плотности энергии и давления:^[8]

${\displaystyle T_{0}^{0}=\rho c^{2}}$

и

${\displaystyle T_{i}^{j}=-P\delta _{i}^{j},}$

где ${\displaystyle \rho (r)}$ и ${\displaystyle P(r)}$ — соответственно плотность и давление жидкости; ${\displaystyle \delta _{i}^{j}}$ — символ Кронекера; ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ — индексы, пробегающие значения от 1 до 3.

Уравнение Толмена — Оппенгеймера — Волкова выводится путём решения уравнений Эйнштейна, которое устанавливает связь между геометрией пространства-времени и характеристиками материи, которая находится в этом пространстве времени:

${\displaystyle G_{\alpha \beta }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\alpha \beta },}$

где ${\displaystyle G_{\alpha \beta }}$ — тензор Эйнштейна, описывающий геометрию пространства-времени; ${\displaystyle T_{\alpha \beta }}$ — тензор энергии-импульса, описывающий свойства материи.

Уравнение для компоненты ${\displaystyle G_{00}}$ имеет вид:

${\displaystyle {\frac {e^{\nu }}{r^{2}}}\left[1-{\frac {d}{dr}}(re^{-\lambda })\right]={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\rho c^{2}e^{\nu }.}$

Интегрирование этого выражения от 0 до ${\displaystyle r}$ даёт:

${\displaystyle e^{-\lambda }=1-{\frac {2Gm}{rc^{2}}},}$

где ${\displaystyle m(r)}$ — функция массы.

Уравнение для компоненты ${\displaystyle G_{11}}$ имеет вид:

${\displaystyle {\frac {-r\nu '+e^{\lambda }-1}{r^{2}}}=-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}Pe^{\lambda },}$

который можно упростить, используя полученное выражение для ${\displaystyle e^{\lambda }}$:

${\displaystyle {\frac {d\nu }{dr}}={\frac {1}{r}}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}\left({\frac {2Gm}{c^{2}r}}+{\frac {8\pi G}{c^{4}}}r^{2}P\right).}$

Другое уравнение получается из условия непрерывности тензора энергии-импульса: ${\displaystyle \nabla _{\alpha }T_{\,\beta }^{\alpha }=0}$. С учётом двух других условий:

• ${\displaystyle \partial _{t}\rho =\partial _{t}P=0}$ (поскольку конфигурация предполагается статической),
• ${\displaystyle \partial _{\varphi }P=\partial _{\theta }P=0}$ (поскольку конфигурация также изотропна),

получается равенство:

${\displaystyle \nabla _{\alpha }T_{1}^{\alpha }=-{\frac {dP}{dr}}-{\frac {1}{2}}\left(P+\rho c^{2}\right){\frac {d\nu }{dr}}=0,}$

или^[9]

${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {1}{2}}\left(\rho c^{2}+P\right){\frac {d\nu }{dr}}.}$

Это даёт два равенства, содержащих производную ${\displaystyle d\nu /dr}$. Исключив из них ${\displaystyle d\nu /dr}$, можно получить равенство:

${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {1}{r}}\left({\frac {\rho c^{2}+P}{2}}\right)\left({\frac {2Gm}{c^{2}r}}+{\frac {8\pi G}{c^{4}}}r^{2}P\right)\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1},}$

из которого непосредственно следует уравнение Толмена — Оппенгеймера — Волкова:

${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {G}{r^{2}}}\left(\rho +{\frac {P}{c^{2}}}\right)\left(m+4\pi r^{3}{\frac {P}{c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}.}$

Ричард Толмен исследовал сферически-симметричные метрики пространства-времени в 1934 и 1939 годах^[10][11]. Приведённая в данной статье форма уравнения была выведена Робертом Оппенгеймером и Джорджем Волковым в статье 1939 года «О массивных нейтронных ядрах»^[1]. В этой работе уравнение состояния вырожденного ферми-газа нейтронов было использовано для расчёта верхнего предела гравитационной массы нейтронной звезды, который получился равным ~0,7 M_⊙. Поскольку это уравнение состояния нереалистично для нейтронной звезды, полученный ими предел массы также неверен.

На основе современных данных наблюдений гравитационных волн, излучаемых при слиянии компонентов двойной нейтронной звезды (например, GW170817), и информации о совпровождающем гравитационно-волновые всплески электромагнитном излучении (килоновых), установлено, что максимальный предел массы нейтронных звёзд близок к 2,17 M_⊙^{[12][13][14][15][16]}. Более ранние оценки этого предела варьировались от 1,5 до 3,0 M_⊙^[17].

В постньютоновском приближении, которое применимо для не очень сильных гравитационных полей (незначительно отклоняющихся от тех значений, при которых применим нерелятивистский закон всемирного тяготения Ньютона), уравнение можно разложить в ряд по степеням множителя ${\displaystyle 1/c^{2}}$:

${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}\rho \left(1+{\frac {P}{\rho c^{2}}}+{\frac {4\pi r^{3}P}{mc^{2}}}+{\frac {2Gm}{rc^{2}}}\right)+O(c^{-4}).}$