Решения уравнений Эйнштейна

Эта классификация основана на виде тензора энергии-импульса ${\displaystyle T_{\alpha \beta }}$ и здесь можно выделить несколько типов решений:

• Вакуумные решения — такие решения получаются, если:

${\displaystyle T_{\alpha \beta }=0.}$

Таким образом уравнения Эйнштейна сводятся к:

${\displaystyle G_{\alpha \beta }+\Lambda g_{\alpha \beta }=0}$ или ${\displaystyle R_{\alpha \beta }=\Lambda g_{\alpha \beta }.}$

В математике такие решения носят название пространств Эйнштейна, их исследованиям в рамках римановой и псевдоримановой геометрии посвящено множество работ.

Простейшее из таких решений при ${\displaystyle \Lambda =0}$ — пространство-время Минковского, описывающее абсолютно пустое пространство в отсутствие космологической постоянной. Эти решения также могут описывать пространство-время вокруг массивного компактного объекта (вплоть до его поверхности или сингулярностей). К таким относятся метрики Шварцшильда, Шварцшильда — Деситтера, Керра, Райсснера — Нордстрёма, Керра — Ньюмена, Ньюмена — Унти — Тамбурино (НУТ), Тауба — НУТ, Коттлера, Эреца — Розена, Кьюведо и другие.

Важным с физической точки зрения классом таких решений являются также волновые решения, описывающие распространение гравитационных волн через пустое пространство.

• Полевые решения — иногда в качестве источника гравитационного поля рассматриваются различные поля. В случае безмассового поля чаще всего берут:

• электромагнитное поле (электровакуумные решения, порождаемые, как говорят, уравнениями Эйнштейна — Максвелла)

${\displaystyle T^{\alpha \beta }={\frac {1}{4\pi }}\left(F^{\alpha }{}_{\lambda }F^{\lambda \beta }+{\frac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }\right);}$

• нелинейное электромагнитное поле (в 2024 году получены новые точные электровакуумные решения с нелинейной электродинамикой, описывающие регулярные чёрные дыры или голые сингулярности^[1]);

• безмассовое скалярное поле (скалярные решения)

${\displaystyle T^{\alpha \beta }=8\pi \left(\phi ^{;\alpha }\phi ^{;\beta }+{\frac {1}{2}}\phi _{;\mu }\phi ^{;\mu }g^{\alpha \beta }\right).}$

Из массивных полей используется скалярное поле (обычно с нетривиальным самодействием) — так получают бозонные звёзды, — или классическое дираковское поле (биспинорное).

• Распределённые решения — такого рода решения описывают разнообразные виды материи, для которой обычно применяется «текучее» приближение: пылевидная, газообразная или жидкая материя. Правомерность приближения связана с тем, что обычно в гравитационных задачах небесной механики и астрофизики материя испытывает очень большие напряжения, так что становится текучей и неизотропностью напряжений в ней можно пренебречь.

Здесь тензор ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ строится для распределённой массы (поля энергии-массы) и можно выделить два основных используемых представления распределённой материи:

• идеальная жидкость (жидкостные решения)

${\displaystyle T_{\alpha \beta }=(\rho +p)u_{\alpha }u_{\beta }+pg_{\alpha \beta },}$

где ${\displaystyle u^{\alpha }}$ интерпретируется как 4-вектор скорости жидкости в данной точке, ${\displaystyle u^{\alpha }u_{\alpha }=-1}$, ${\displaystyle \rho }$ — плотность энергии жидкости, а ${\displaystyle p}$ — её давление, которые должны быть связаны уравнением состояния ${\displaystyle p=f(\rho ,T)}$ (${\displaystyle T}$ — температура жидкости);

• анизотропная жидкость (в 2025 году представлены новые точные решения для анизотропных жидкостей, применяемые для моделирования компактных звёзд, таких как 4U 1538-52^[2]);

• невзаимодействующая пыль (пылевые решения) — частный случай предыдущего при ${\displaystyle p\equiv 0}$

${\displaystyle T_{\alpha \beta }=\rho u_{\alpha }u_{\beta }.}$

Можно показать, что при движении пыли каждый её элемент двигается по геодезической линии порождаемой метрики.

Вообще можно составить полную алгебраическую классификацию возможных тензоров второй валентности — например, тензора Эйнштейна или энергии-импульса. Варианты таких классификаций: тензорная классификация Сегрэ, разработанная для случая четырёхмерного пространства-времени А. З. Петровым (выводимая также в «Теории поля» Ландау и Лифшица), и спинорная классификация Р. Пенроуза. Все перечисленные выше тензоры энергии-импульса являются по этим классификациям алгебраически специальными.

• Решения с ${\displaystyle \Lambda \,=0}$ — это решения уравнений Эйнштейна без лямбда-члена.

• Решения с ${\displaystyle \Lambda \,\neq 0}$ — это решения уравнений Эйнштейна с лямбда-членом, наличие которого усложняет решение, но позволяет получать стационарные метрики. Простейшее из таких решений — метрика де Ситтера.

Пространство анти-де Ситтера (${\displaystyle \Lambda <0}$) является максимально симметричным решением с отрицательной кривизной.

В стандартной космологической модели (ΛCDM) космологическая постоянная интерпретируется как тёмная энергия, вызывающая ускоренное расширение Вселенной^[3].

Однако данные наблюдений проектов Dark Energy Spectroscopic Instrument (DESI) и Dark Energy Survey (DES), полученные в 2024—2026 годах, указывают на возможную динамическую природу тёмной энергии. Это ставит под сомнение её представление в виде неизменной космологической постоянной в рамках стандартной модели ΛCDM^[4].

• Точные решения

Систематизация известных точных решений опирается на фундаментальные каталоги и монографии, основным из которых является справочник «Точные решения уравнений Эйнштейна» (Х. Штефани и др.)^[5].

• Приближённые решения — получаются, например, при нерелятивистском приближении некоторых параметров уравнений Эйнштейна — постньютоновский формализм (современные вычисления консервативной динамики в рамках которого достигли 5,5PN и 6PN порядков^[6]), или при разложении по малым параметрам.

Приближённые решения применяются для генерации теоретических шаблонов гравитационных волн. Для этого используются такие подходы, как формализм эффективного одного тела (EOB) и феноменологические модели, позволяющие анализировать данные с гравитационно-волновых детекторов^[7].

• Стационарные решения — имеют времениподобное векторное поле Киллинга. Для них существует инерциальная система отсчёта, где метрический тензор не зависит от времени.

• Статические решения — их поле Киллинга времениподобно и ортогонально по отношению к семейству пространственноподобных поверхностей постоянного времени. К таким решениям относится метрика Шварцшильда.
• Нестатические решения — описывают изменяющееся гравитационное поле, но для них можно найти группу наблюдателей, которые не отмечают никаких изменений гравитационного поля. К ним относится метрика Керра.

• Нестационарные решения

• Волновые решения — описывают гравитационные волны.
• Космологические модели — описывают эволюцию Вселенной в целом (например, метрика Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера)^[8].
• Модели гравитационного коллапса — описывают процесс сжатия массивных объектов под действием собственной гравитации (например, решение Оппенгеймера — Снайдера)^[9]. Современные аналитические модели (2024—2025) выходят за рамки классической модели, учитывая анизотропные жидкости, диссипативные процессы и модифицированные теории гравитации^[10][11][12].

• Изотропные решения — их кривизна меняется одинаково вдоль любой оси, проведённой из заданной точки.

• Однородные решения — решения, изотропные по отношению к любой их точке, то есть они имеют одинаковую кривизну в любой точке пространства.

К однородным, но анизотропным решениям относятся модели Бьянки, используемые для изучения ранней Вселенной^[13].

• Сферически-симметричные решения — кривизна постоянна на поверхностях, имеющих геометрию двумерных сфер. Центр симметрии таких сфер как реальное событие пространства-времени может вообще не существовать, как в случае кротовых нор. Эти решения используются для описания пространства вокруг статичных чёрных дыр, кротовых нор и невращающихся звёзд.

• Анизотропные решения.

• Аксиально-симметричные решения — кривизна постоянна на линиях, имеющих геометрию параллельных друг другу окружностей. При существовании событий самой оси симметрии можно выбрать точку на ней и сказать, что кривизна зависит как от расстояния до этой точки, так и от полярного угла (в сферической системе координат). Эти решения могут быть сопоставлены вращающимся чёрным дырам, звёздам, галактикам.

К ним также относятся точные невакуумные решения для дифференциально вращающейся материи (например, стационарные пространства-времена, поддерживаемые спиральностью)^[14].

• Зеркально-симметричные решения — их метрика симметрична относительно трёхмерной плоскости.
• Несимметричные решения.

Эта классификация основана на поведении решения на светоподобной бесконечности.

• Асимптотически-плоские решения — такие решения возникают обычно при нулевой космологической постоянной и компактном носителе тензора энергии-импульса. На светоподобных бесконечностях (или по крайне мере на их частях) такое пространство-время достаточно быстро стремится к плоскому пространству Минковского. Это решения очень важны с физической точки зрения, так как они с хорошим приближением описывают островны́е системы — уединённые системы астрономических тел, такие как чёрные дыры, планетарные системы, кратные звёзды и даже галактики.

Для таких решений группа асимптотических симметрий пространства-времени (группа Бонди — Метцнера — Сакса) позволяет определить сохраняющийся 4-вектор энергии-импульса и рассчитать переход энергии системы в гравитационное излучение. Расширенные симметрии группы BMS напрямую связаны с гравитационным эффектом памяти, включая такие его проявления, как спиновый и центр-массовый эффекты^[15].

• Космологические решения — основа физической космологии. Они описывают структуру и эволюцию Вселенной, полагаемой приблизительно однородной и изотропной. Такие решения относятся к распределённым, поскольку обычно для их задания на настоящем этапе эволюции Вселенной рассматривается пылеобразная материя из пылинок-галактик.

Сейчас общепризнанным базовым космологическим решением, описывающим эволюцию Вселенной «в целом», является решение Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера. Ранее рассматривались и другие решения — метрики Эйнштейна, Леметра, Эддингтона.

• Асимптотически анти-де-ситтеровские (AdS) решения — метрики с постоянной отрицательной скалярной кривизной. К этому классу относятся, в частности, решения для чёрных дыр в пространстве AdS. Данные решения играют центральную роль в AdS/CFT-соответствии (голографическом принципе)^[16][17].

• Замкнутые решения — в принципе, уравнения Эйнштейна, как локальные уравнения, слабо ограничивают глобальную топологию решения, которая задаётся начальными условиями. Таким образом, можно построить решения уравнений даже для высокопатологических случаев топологии. Простейшим примером может быть пространство Минковского, свёрнутое в тор отождествлением гиперплоскостей ${\displaystyle x^{\alpha }=0}$ и ${\displaystyle x^{\alpha }=x_{0}^{\alpha }}$ по любому количеству измерений, даже по времени.

Тем не менее, некоторые ограничения уравнения Эйнштейна всё же налагают, например, пространство постоянной положительной скалярной кривизны обязательно должно быть замкнуто.

Алгебраическая классификация тензора Вейля (классификация Петрова) разделяет возможные алгебраические симметрии тензора в каждой точке пространства-времени. Она основана на поиске главных изотропных направлений тензора Вейля. В зависимости от кратности этих направлений выделяют шесть типов:

• Тип I (наиболее общий) — существуют четыре различных вещественных главных изотропных направления. Соответствует наиболее общему гравитационному полю (например, от изолированного источника с произвольным распределением массы).
• Тип II — два из четырёх направлений сливаются. Представляет собой алгебраически общий, переходный случай.
• Тип D — направления сливаются попарно, образуя два двойных главных изотропных направления. Ассоциируется с гравитационным полем изолированных, стационарных, осесимметричных объектов, таких как вращающиеся (метрика Керра) или заряженные (метрика Рейсснера — Нордстрёма) чёрные дыры.
• Тип III — три направления сливаются. Описывает переходное гравитационное поле, которое может включать продольные компоненты гравитационного излучения.
• Тип N — все четыре направления сливаются в одно. Представляет чистое гравитационное излучение (например, плоские гравитационные волны).
• Тип O — тензор Вейля равен нулю (конформно-плоские пространства-времена). Означает отсутствие свободной гравитации, примером являются космологические модели Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера.

Для автоматической классификации метрик по типам Петрова применяются как традиционные системы компьютерной алгебры (такие как пакеты для Maple/Mathematica и CLASSI) и алгоритм Картана — Карлхеде^[18][19], так и современные подходы на базе машинного обучения (например, с использованием Python и PyTorch)^[20][21].

Принцип самосогласованности Новикова — принцип, призванный разрешить парадоксы, связанные с путешествиями во времени, теоретически допускаемыми некоторыми решениями уравнений Эйнштейна, разрешающими существование замкнутых времениподобных линий.

Среди решений уравнений Эйнштейна, допускающих существование замкнутых времениподобных кривых (ЗВК), выделяют:

• Метрика Гёделя — точное решение, описывающее вращающуюся Вселенную;
• проходимые (траверсируемые) кротовые норы — гипотетические «туннели» в пространстве-времени;
• другие решения, такие как бесконечные вращающиеся цилиндры (цилиндр Типлера) и пространства-времена вблизи некоторых вращающихся чёрных дыр (например, метрика Керра)^[22].

Принцип самосогласованности Новикова остаётся гипотезой, а его статус является предметом научных дискуссий^[23]. Альтернативным взглядом на проблему причинности является гипотеза о защищённости хронологии, предложенная Стивеном Хокингом. Согласно этой гипотезе, законы физики запрещают создание макроскопических замкнутых времениподобных кривых, тем самым «защищая» историю от парадоксов и делая машины времени невозможными^[24][25].

Экспериментальные проверки принципа лоренц-инвариантности, фундаментального для общей теории относительности, проводятся на основе анализа данных от мощных космических катаклизмов, в частности, гамма-всплесков. Одним из значимых исследований в этой области стал анализ данных от исключительно мощного гамма-всплеска GRB 221009A, результаты которого были опубликованы в 2026 году в журнале «Письма в ЖЭТФ»^[26]. Учёные проанализировали фотоны сверхвысоких энергий (≳10 ТэВ и ≳100 ТэВ), зарегистрированные обсерваториями LHAASO и «Ковёр-3». Основная идея проверки заключалась в поиске зависимости скорости света в вакууме от энергии фотона, что свидетельствовало бы о нарушении лоренц-инвариантности. Результаты анализа показали, что гипотеза о нарушении лоренц-инвариантности плохо объясняет совокупные данные экспериментов и требует параметров, которые уже исключены более ранними ограничениями^[26]. Таким образом, данные наблюдений гамма-всплеска GRB 221009A подтвердили отсутствие нарушений лоренц-инвариантности, что согласуется с предсказаниями общей теории относительности^[26]. В 2026 году были опубликованы результаты «строжайшей проверки» общей теории относительности с использованием данных гамма-всплеска GRB 221009A, а также наблюдений Атакамского космологического телескопа, подтвердившие справедливость теории на космологических масштабах^[27][28]. Новые строгие ограничения на нарушение лоренц-инвариантности были установлены в 2025 году на основе данных нейтринного телескопа KM3NeT. Анализ зарегистрированного события сверхвысокой энергии KM3-230213A позволил наложить пределы на возможное сверхсветовое движение нейтрино^[29]. Значимым подтверждением теоремы об «отсутствии волос» и соответствия астрофизических чёрных дыр метрике Керра стал анализ гравитационно-волнового события GW250114, зафиксированного в январе 2025 года. Независимые вычисления массы и спина образовавшейся чёрной дыры по основной моде колебаний и по её обертонам совпали с высокой точностью^[30]. Кроме того, в 2025 году тесты общей теории относительности в сильных гравитационных полях, проведённые на основе многолетних наблюдений двойного пульсара PSR J0737-3039, были отмечены научной премией «Frontiers of Science»^[31].

Общая теория относительности применяется к задаче трёх тел для объяснения наблюдаемого дефицита циркумбинарных экзопланет (планет, вращающихся вокруг двойных звёзд). Согласно исследованиям, релятивистские эффекты способны дестабилизировать орбиты планет в тесных двойных системах. Механизм дестабилизации орбит циркумбинарных планет связан с вековым резонансом (апсидальным коротационным резонансом) между релятивистской прецессией двойной звезды и ньютоновской прецессией планеты^[32]. При совпадении частот этих прецессий происходит эффективный обмен угловым моментом, из-за чего орбита планета становится сильно вытянутой и эксцентричной. В результате планета либо разрушается приливными силами, либо поглощается одной из звёзд, либо выбрасывается из системы. Компьютерное моделирование подтверждает способность этого релятивистского механизма объяснить около 80 % случаев отсутствия планет в тесных двойных системах^[33].

Разработка новых математических и концептуальных подходов к проблеме сингулярностей в уравнениях Эйнштейна является одной из ключевых задач современной теоретической физики. Сингулярности, предсказываемые общей теорией относительности (ОТО) в центрах чёрных дыр и в момент Большого взрыва, представляют собой точки, где кривизна пространства-времени становится бесконечной, а законы физики перестают действовать^[34]. Для решения этой проблемы предложен ряд новых подходов:

• Модификации ОТО: предложен механизм устранения сингулярностей чёрных дыр без привлечения экзотической материи путём добавления в уравнения Эйнштейна бесконечного ряда поправок, значимых в режимах экстремальной гравитации. В результате сингулярность заменяется областью с конечной высокой кривизной^[35][36].
• Новые геометрические формализмы: развивается математический аппарат для описания негладких пространств-времени (например, «лоренцевы пространства длин»), позволяющий анализировать области вблизи сингулярностей без опоры на традиционные методы дифференциальной геометрии^[37].
• Концепция «механического отказа»: предложен взгляд на сингулярность не как на физический объект с бесконечной плотностью, а как на точку, в которой математическое описание пространства-времени как континуума механически «ломается», подобно неприменимости модели непрерывной жидкости на молекулярном уровне.
• Подходы в рамках квантовой гравитации: предполагается, что на планковских масштабах структура пространства-времени отличается от гладкого континуума ОТО. Некоторые модели показывают формирование регулярной метрики в центре вместо сингулярности, а такие теории, как петлевая квантовая гравитация, предсказывают смену коллапса «квантовым отскоком»^[38].